Schrödinger Gleichung
Was die Schrödinger Gleichung ist und was sie überhaupt aussagt, genau das erfährst du hier.
Schau dir auf jeden Fall noch das Video zum Artikel an. Darin sind alle wichtigen Informationen für dich audiovisuell aufbereitet.
Inhaltsübersicht
Schrödinger Gleichung einfach erklärt
Die Schrödinger Gleichung ist das Fundament für fast alle praktischen Anwendungen der Quantenmechanik. Sie beschreibt in Form einer partiellen Differenzialgleichung, die Veränderung eines physikalischen, nicht relativistischen Zustandes nach den Regeln der Quantenmechanik.
Dieser physikalische Zustand ist durch eine Wellenfunktion in der Schrödinger Gleichung repräsentiert. Die Wellenfunktion verändert sich mit der Zeit, aufgrund der Anwendung des Hamilton Operators auf diese. Beim Hamilton Operator handelt es sich um den Energie Operator der Quantenmechanik. Mit ihm gibst du Energiemesswerte und die Zeitentwicklung an.
Daher verändert die Wellenfunktion ihre Form in Abhängigkeit von der Zeit. Du beschreibst damit Prozesse wie die Ausbreitung, Streuung und Interferenz von Teilchen . Mit der Schrödinger Gleichung berechnest du die Energieniveaus der physikalischen Zustände.
Schrödinger Gleichung Herleitung
Du kannst die Schrödinger Gleichung nicht aus der klassischen Physik herleiten. Sie ist ein Postulat, das jedoch aus der Hamiltonfunktion eines gegebenen Problems herleitbar ist.
Eine solche Hamiltonfunktion hat die Form:
Hierbei steht für die Energie, für das Potential, für den Impuls, für die Masse, für den Ort und für die Zeit. Daraus leitest du die Schrödinger Gleichung her, indem du diese klassischen Größen durch entsprechende, quantenmechanische Operatoren ersetzt.
ist die imaginäre Einheit , eine partielle Ableitung (in diesem Fall nach der Zeit) und das reduzierte plancksche Wirkungsquantum . Zudem brauchst du für den Impulsoperator den sogenannten Nabla-Operator . Bei diesem Operator handelt es sich um einen Vektor , in welchem jedes Element die partielle Ableitung nach einer Raumdimension darstellt .
Wendest du diese Operatoren nun auf deine Wellenfunktion an erhältst du die Schrödinger Gleichung.
Hier siehst du einen neuen Operator . Dieser heißt Laplace-Operator und ergibt sich aus dem Skalarprodukt . Damit handelt es sich bei ihm um einen Vektor, in welchem jedes Element eine partielle, zweite Ableitung nach einer Raumdimension darstellt.
Schrödinger Gleichung Schule
In der Schule lernst du wahrscheinlich eine einfachere Form der Schrödinger Gleichung kennen. Diese ist die stationäre, eindimensionale Schrödinger Gleichung. Mit ihr ist es dir möglich einfachere Probleme zu lösen ohne Kenntnisse über Operatoren, komplexe Zahlen, partielle Ableitung und ähnliches zu haben.
Du fängst an, indem du dir die Schrödinger Gleichung aufschreibst:
Du schreibst den Hamilton-Operator aus und erhältst
Jetzt schreibst du den Nabla-Operator aus und löst die Klammern auf
Durch Äquivalenzumformung bringst du alle Terme auf eine Seite
Nun multiplizierst du mit und klammerst aus
Zur Vereinfachung wurde hier das Potential durch die, aus der Schule bekannte Schreibweise für die potentielle Energie , ersetzt.
Jetzt ersetzt du die zweite Ableitung durch die aus der Schule bekannten Form und schreibst das reduzierte plancksche Wirkungsquantum aus .
Auf diese Weise erhältst du die Schreibweise wie du sie in vielen Schulbüchern findest
Stationäre Schrödinger Gleichung
Im vorherigen Kapitel hast du bereits den Begriff der stationären Schrödinger Gleichung gelesen. Dabei handelt es sich um einen Spezialfall der Schrödinger Gleichung.
Sie beschreibt Systeme, bei welchen die Funktionswerte und nur vom Ort, nicht aber von der zeit abhängen. Eine andere Bezeichnung ist auch zeitunabhängig Schrödinger Gleichung.
Schrödinger Gleichung Potentialtopf
Mit der schulphysikalischen Gleichung berechnen wir jetzt ein bekanntes und häufig gesehenes Beispiel, den linearen Potentialtopf.
Die einfache, stationäre Schrödinger Gleichung lautet
Innerhalb des Potentialtopfes mit einer Länge ist die potentielle Energie Null . Die Gesamtenergie entspricht also der kinetischen Energie und vereinfacht unsere Gleichung somit zu
Eine bekannte und mögliche Lösungsfunktion ist die Wellenfunktion für stehende Wellen .
Für diese muss die Bedingung für stehende Wellen mit zwei festen Enden gültig sein.
und
Setzt du das in die Wellenfunktion ein, erhältst du
Nun brauchst du noch die zweite Ableitung dieser Funktion. Du erhältst
Formst du jetzt nach um liefert dir die Gleichung die diskreten Energiewerte des Potentialtopfes.
Die eingesetzte Wellenfunktion ist also eine Lösung der Schrödinger Gleichung.
Schrödinger Gleichung Wasserstoff
Zuletzt betrachte dir die Schrödinger Gleichung des Wasserstoff Atoms. Im Gegensatz zum linearen Potentialtopf gibt es nun drei Raumdimensionen. Damit hängt die Wellenfunktion nicht mehr nur noch von ab, sondern zudem noch von und .
Zudem bewegt sich das Elektron im elektrischen Potential
des Kerns. Damit ist die potentielle Energie nicht Null, sondern hängt vom Abstand des Elektrons
zum Kern ab.
Damit ergibt sich für die potentielle Energie in Abhängigkeit vom Abstand folgender Zusammenhang
Das ergibt das sogenannte Coulomb-Potential.
Eingesetzt in die Schrödinger Gleichung erhältst du für Wasserstoff
Da die ausführliche Lösung dieses Problems sehr aufwendig ist und den Rahmen dieses Artikels sprengen würde beschränken wir uns hier auf eine Betrachtung der Lösungen.
Das Potential im Wasserstoffatom ist radialsymmetrisch. Somit bietet es sich an die Ortskoordinaten durch Kugelkoordinaten auszudrücken. Dabei wird ein Punkt durch seinen Abstand vom Ursprung und zwei Winkel (Polarwinkel) und (Azimutwinkel) definiert.
Die Koordinaten rechnen sich wie folgt um:
Für den Grundzustand des Wasserstoffatoms erhältst du die Lösungsfunktion
Beachte, dass im Nenner des rechten Exponenten der numerische Wert des Bohr’schen Atomradius auftaucht.
Die sich daraus ergebenen Energieniveaus stimmen mit jenen der Bohr’schen Theorie
überein.
Die Zahl ist die Hauptquantenzahl . Sie kann nur Werte positiver, natürlicher Zahlen einnehmen.