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Richtungsfeld

Du möchtest wissen was das Richtungsfeld ist, wofür es verwendet wird und wie du es grafisch darstellst? Dann bist du hier genau richtig!

Inhaltsübersicht

Richtungsfeld Definition und Beispiel

Ein Richtungsfeld hilft dir, eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung grafisch darzustellen.

$y^\prime\left(x\right)=f(x,y(x))$

Richtungsfeld, Richtungsfeld zeichnen — Richtungsfeld

Die Differentialgleichung gibt in jedem Punkt die Steigung der Lösungskurve durch diesen Punkt an.

Richtungsfeld in 3 Schritten an einem Beispiel erklärt

Gegeben ist die DGL:

$y^\prime\left(x\right)=1+xy$

1. Schritt: Linienelemente eintragen

Zunächst trägst du an ausgewählten Punkten im x-y-Diagramm sogenannte Linienelemente, also kleine Vektoren ein, die die Steigung in diesem Punkt angeben. Zum Beispiel erhältst du an der Stelle x gleich Null, y gleich Null die Steigung Eins.

$x=0,y=0:y^\prime=1+0\ast0=1$

2. Schritt: Steigung im Koordinatensystem eintragen

Diese trägst du an der Position x gleich Null, y gleich Null in das x-y-Diagramm ein

$x=0,y=C:y^\prime=1+0\ast\ C=1$
$x=C,y=0:y^\prime=1+C\ast0=1$

Richtungsfeld, Richtungsfeld zeichnen — Richtungsfeld Beispiel

Auch entlang der x und der y-Achse ist die Steigung konstant Eins. Du siehst, dass alle Pfeile entlang dieser zwei Achsen in dieselbe Richtung zeigen.

3. Schritt: Rest des Diagrammes ausfüllen

Den Rest des x-y-Diagramms füllst du entsprechend aus – zum Beispiel auch an der Position P (-1,5/3). Dort ergibt sich eine negative Steigung von -3,5.

$x=-1,5;y=3:y^\prime=1+\left(-1.5\right)\ast3=-3,5$

Die Gesamtheit der Linienelemente bezeichnest du als Richtungsfeld.

Lösungskurve entlang des Richtungsfeldes grafisch bestimmen

Jetzt zeigen wir dir noch, wie du mithilfe des Richtungsfeldes grafisch eine Lösung konstruierst. Ausgehend von einem Anfangspunkt oder Randpunkt zeichnen wir eine Lösungskurve. Nehmen wir mal als Randwert:

$x_0=-2,\ y_0=-5$

Richtungsfeld, Richtungsfeld zeichnen — Richtungsfeld

Die Lösungskurve ist in jedem Punkt tangential zum Richtungsfeld. Also kannst du einfach den kleinen Pfeilen folgen und die Kurve zeichnen. Jetzt hast du näherungsweise den Verlauf der Lösung durch den geforderten Randwert konstruiert.

Jetzt weißt du, wie du ein Richtungsfeld einer Differentialgleichung zeichnest und eine Lösungskurve entlang des Richtungsfeldes grafisch bestimmst.

zur Videoseite: Richtungsfeld

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Charakteristisches Polynom

Anfangswertproblem

Randwertproblem

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