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Nullstellen berechnen

Wichtige Inhalte in diesem Video

Nullstellen berechnen einfach erklärt

Lineare Funktion Nullstelle

Quadratische Funktion Nullstellen

Du willst wissen, wie du eine Nullstelle berechnen kannst? Dann bist du bei unserem %Video und Beitrag genau richtig!

Inhaltsübersicht

Nullstellen berechnen einfach erklärt

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(00:15)

Die Nullstelle x₀ einer Funktion ist die Stelle, an der ihr Graph die x-Achse schneidet. Um sie zu bestimmen, setzt du die Funktion gleich 0.

f(x) = 0

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Zum Nullstellen berechnen kannst du je nach Art der Funktion unterschiedlich vorgehen:

Art der Funktion	Nullstellenberechnung	Beispiel
Lineare Funktion	Funktion gleich null setzen; nach x auflösen	f(x) = 2x – 3
Quadratische Funktion	Mitternachstformel / pq-Formel	f(x) = x² + 4x – 5
e -Funktion	natürlicher Logarithmus	f(x) = e^x-1 – 2
Ganzrationale Funktion	Polynomdivision	f(x) = x³ + 3x² – 4

Lineare Funktion Nullstelle

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(00:45)

Lineare Funktion

f(x) = m · x + t
höchstens eine Nullstelle

Bestimme die Nullstelle der Funktion f(x) = 2x – 3. Dazu setzt du die Funktion gleich 0.

2x – 3 = 0

Jetzt kannst du die Gleichung nach x umstellen . Zuerst bringst du die 3 auf die andere Seite.

2x – 3 = 0 | + 3

2x = 3

Um das x auszurechnen %auszurechnen? <span style="color: #ff00ff;">done</span> , teilst du durch 2.

2x = 3 | : 2

x = 1,5

Nullstelle bei x = 1,5.

Quadratische Funktion Nullstellen

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(01:40)

Quadratische Funktion

f(x) = ax² + bx + c
f(x) = x² + px + q
höchstens zwei Nullstellen

Berechne die Nullstellen der Funktion f(x) = x² + 4x – 5. Setzt du eine quadratische Funktion gleich 0, kannst du entweder die Mitternachtsformel oder die pq-Formel verwenden.

x² + 4x – 5 = 0

Mitternachtsformel

$x_{1,2} = \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$x_{1,2} = \cfrac{-4 \pm \sqrt{4^2-4\cdot1\cdot(-5)}}{2\cdot1}$

$x_{1,2} = \cfrac{-4 \pm \sqrt{36}}{2}$

$x_{1,2} = \cfrac{-4 \pm 6}{2}$

x₁ = 1 x₂ = -5

Nullstelle bei x₁ = 1 und x₂ = -5.

pq-Formel

Steht vor dem x² kein Vorfaktor, kannst du zum Bestimmen der Nullstellen auch die pq-Formel verwenden:

$x_{1,2} = -\cfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right) ^2-q}$

$x_{1,2} = -\cfrac{4}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{4}{2}\right) ^2+5}$

$x_{1,2} = -2 \pm \sqrt{4+5}$

$x_{1,2} = -2 \pm 3$

x = 1 x = -5

Faktorisierte Form

Am leichtesten kannst du die Nullstellen quadratischer Funktionen bestimmen, wenn du die Funktion in faktorisierter Form gegeben hast: f(x) = a (x – x₁)(x – x₂)

Ein Produkt ist immer dann Null, wenn einer seiner Faktoren null ist. Die Parabel hat somit die beiden Nullstellen x₁ und x₂.

Hier könntest du deine Funktion so umschreiben: f(x) = x² + 4x – 5 = (x – 1)(x – (-5))

e- Funktion Nullstellen berechnen

e- Funktion

f(x) = e^x
höchstens eine Nullstelle

Berechne die Nullstelle der e-Funktion f(x) = e^x-1 – 2. Setze die Funktion dafür gleich 0.

e^x-1 – 2 = 0

Isoliere e^x-1 und löse mithilfe des natürlichen Logarithmus auf.

e^x-1 – 2 = 0 | + 2

e^x-1 = 2 | ln(…)

x – 1 = ln(2) | + 1

x = ln(2) +1

Nullstelle bei x = ln(2) + 1.

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Ganzrationale / kubische Funktion Nullstellen berechnen

Ganzrationale Funktion

f(x) = ax³ + bx² +cx + d
höchstens drei Nullstellen

Für die Nullstellenberechnung einer kubischen Funktion, kannst du die Polynomdivision verwenden. Schaue dir direkt unser Video dazu an.

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