Quadratische Funktionen
Du willst alles über quadratische Funktionen und Parabeln lernen? Hier im Artikel erklären wir es dir von Scheitelpunkt und Nullstellen bis hin zu den Extremwertaufgaben. Am Ende des Textes findest du zusätzlich einige Aufgaben mit Lösungen zum selber Üben.
Du streamst lieber Videos, statt lange Texte zu lesen? Dann schau dir einfach unser kurzes Video an, um quadratische Funktionen und Parabeln noch besser zu verstehen!
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Quadratische Funktionen einfach erklärtim Text
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Normalparabelim Text
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Verschiebung einer Parabel in y-Richtungim Text
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Verschiebung einer Parabel in x-Richtungim Text
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Streckung / Stauchung einer Parabelim Text
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Quadratische Funktionen Darstellungsweiseim Text
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Funktionsgleichung bestimmenim Text
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Nullstellen berechnenim Text
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Scheitelpunkt berechnen – Parabelim Text
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Extremwertaufgabenim Text
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Quadratische Funktionen Aufgabenim Text
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Potenzfunktionenim Text
Quadratische Funktionen einfach erklärt
Quadratische Funktionen haben immer ein x hoch 2, wie zum Beispiel
- f(x) = x2,
- f(x) = x2 + 2
- f(x) = x2 + x + 1.
Dabei darf aber kein höherer Exponent als 2 vorkommen, also kein x2, x3, x4 und so weiter. Kommt nur x vor und kein x2, dann ist es auch keine quadratische Funktion, sondern eine lineare Funktion.
Die allgemeine Form einer quadratischen Funktion lautet deshalb
f(x) = ax2 + bx + c.
Für a kannst du alle Zahlen außer der Null einsetzen, denn wenn a = 0 wäre, dann würde das x2 wegfallen und du hast keine quadratische Funktion mehr. Für b und c kannst du hingegen wirklich alle beliebigen Zahlen einsetzen und damit verschiedene quadratische Funktionen bauen.
Normalparabel
Die typische und einfachste quadratische Funktion ist die Normalparabel.
Die Funktionswerte der Normalparabel lassen sich mit der folgenden Wertetabelle berechnen:
x | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
f(x)= x 2 | 16 | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 |
Alternativ kannst du die Funktionswerte der Normalparabel auch in ein Koordinatensystem zeichnen:
Du siehst sofort, dass die Normalparabel als Definitionsbereich alle reellen Zahlen hat, das heißt . Aber die Funktionswerte sind nur positive Zahlen, somit ist der Wertebereich
. Des Weiteren ist die Normalparabel symmetrisch zur y-Achse und sie nimmt ihren minimalen Wert im Ursprung
an. Dieses Minimum wird Scheitel oder Scheitelpunkt genannt.
Merke: Quadratische Funktionen sind alle ähnlich zur Normalparabel. Die Parabeln können gestreckt, gestaucht und/oder im Koordinatensystem verschoben sein.
Verschiebung einer Parabel in y-Richtung
Quadratische Funktionen lassen sich im Koordinatensystem verschieben. Am leichtesten ist dabei eine Verschiebung der Normalparabel in y-Richtung durch einen Parameter .
Der Parameter verschiebt die komplette Parabel nach oben (für ) oder unten (für
).
Merke: gibt dir für quadratische Funktionen immer die y-Koordinate des Scheitels an!
Verschiebung einer Parabel in x-Richtung
Analog kannst du quadratische Funktionen auch in x-Richtung, das heißt nach rechts oder nach links verschieben. Dazu veränderst du die Funktionsgleichung der Normalparabel mit dem Parameter .
Dabei verschiebt den Scheitel der Parabel um
nach links,
verschiebt ihn nach rechts.
Merke: Der Parameter gibt dir für quadratische Funktionen die x-Koordinate des Scheitelpunktes der Parabel an.
Merke: Quadratische Funktionen haben die Form der zweiten binomischen Formel!
Streckung / Stauchung einer Parabel
Zuletzt können sich quadratische Funktionen noch hinsichtlich ihres Öffnungsgrades unterscheiden. Je nachdem spricht man auch von einer gestreckten oder gestauchten Parabel.
Davon abhängig, ob oder
ist, ist die Parabel entweder nach oben oder nach unten geöffnet. Für
wird die Parabel steiler, das heißt gestreckt, für
wird sie gestaucht.
Merke: Der Parameter muss immer ungleich Null sein, da du sonst keine quadratische Funktion mehr betrachtest!
Quadratische Funktionen Darstellungsweise
Für beliebig im Koordinatensystem verschobene quadratische Funktionen und Parabeln ergeben sich drei verschiedene Darstellungsweisen:
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Scheitelpunktform:
mit Scheitel
-
Faktorisierte Form:
mit Nullstellen
und
-
Allgemeine Form:
.
Jede dieser drei Formeln hat Vor- und Nachteile, je nachdem, wofür du dich interessierst. Beispielsweise ist die Scheitelpunktform besonders praktisch, weil man hier die Koordinaten des Scheitelpunkts der Parabel direkt ablesen kann, so hat dahingegen die faktorisierte Form den Vorteil, dass du hier die Nullstellen der Parabel gegeben hast!
Du kannst die verschiedenen Darstellungsformen für quadratische Funktionen auch ineinander umwandeln. Willst du beispielsweise die Normalform einer Parabel in Scheitelpunktform bringen, so benötigst du dazu die quadratische Ergänzung .
Funktionsgleichung bestimmen
Um die Funktionsgleichung von quadratischen Funktionen zu bestimmen, gibt es verschiedene Möglichkeiten, die wir dir ausführlich in einem eigenen Video erklären.
Allgemein lässt sich jedoch feststellen, dass du verschiedene Möglichkeiten hast, die Funktionsgleichung zu bestimmen – je nachdem, welche Informationen gegeben sind. Das zeigen wir dir am besten an einem Beispiel.
Beispiel 1: Funktionsgleichung von Parabeln bestimmen
Angenommen, du willst die Funktionsgleichung einer Parabel berechnen, die ihren Scheitel bei hat und durch den Punkt
verläuft.
Dann befolgst du am besten diese Schritt-für-Schritt-Anleitung:
- Schritt 1: Schreibe die Funktionsgleichung in Scheitelpunktform auf:
.
-
Schritt 2: Setze die Koordinaten des Scheitelpunktes
mit
und
ein. Damit ergibt sich
.
-
Schritt 3: Um
zu berechnen, setzt du als nächstes den Punkt
in die Funktionsgleichung ein:
-
Schritt 4: Setze
in die Funktionsgleichung ein und multipliziere den Funktionsterm aus
Nullstellen berechnen
Je nachdem, wie die Parabeln im Koordinatensystem liegen, haben sie entweder eine, zwei oder gar keine Nullstelle. Das siehst du auch direkt im obigen Bild.
Um die Nullstellen der Parabeln zu berechnen, gibt es verschiedene Tricks und Formeln, je nachdem wie du die quadratische Funktion angegeben hast. Ausführlich erklärt findest du alle Möglichkeiten im Artikel Nullstellen berechnen .
Hast du quadratische Funktionen in faktorisierter
Form gegeben , so kann man die Nullstellen bei
und
direkt ablesen.
Für quadratische Funktionen in der allgemeinen Form kannst du die Nullstellen aus den Parametern
,
und
berechnen. Dazu verwendest du die Mitternachtsformel
.
Für quadratische Funktionen mit , oder wenn du den Term vorher durch
teilst, sagt man, die Parabel liegt in Normalform vor. Hier kannst du alternativ auch die pq-Formel
verwenden.
Für besonders schöne quadratische Funktionen kannst du alternativ auch den Satz von Vieta anwenden:
Hat die beiden Nullstellen
und
, so können sie wie folgt berechnet werden
(I) und (II)
Falls quadratische Funktionen in Scheitelpunktform vorliegen, ist es am leichtesten, wenn du die Funktionsgleichung nach auflöst, indem du die Wurzel ziehst. Hier brauchst du weder Mitternachtsformel noch Vieta.
Scheitelpunkt berechnen – Parabel
Wie du den Scheitelpunkt für quadratische Funktionen am besten berechnest, erklären wir dir im Artikel Scheitelpunktform ausführlich und mit vielen Beispielen. Dort gehen wir auch explizit auf die Berechnung der Scheitelpunktform mittels quadratischer Ergänzung ein.
Im Allgemeinen haben quadratische Funktionen der Form ihren Scheitel stets im Punkt
. Ist die Parabel in allgemeiner Form gegeben, so musst du den Scheitelpunkt mit der folgenden Formel berechnen:
hat den Scheitelpunkt
Beispiel 2: Scheitelpunkt einer Parabel berechnen
Gegeben sei eine quadratische Funktion , deren Scheitelpunkt wir berechnen wollen. Dieser liegt laut obiger Formel bei
.
Wir setzen also die Werte ,
und
ein und erhalten den Scheitelpunkt der Parabel bei
Extremwertaufgaben
Wie du bereits weißt, erreichen quadratische Funktionen im Scheitelpunkt ihr Extremum . So hat beispielsweise eine nach unten geöffnete Parabel im Scheitel ihren maximaler Wert. Diese Information kann man dazu gebrauchen, um sogenannte Extremwertaufgaben zu lösen. Damit du siehst, wie du in einem solchen Fall vorgehst, haben wir dir im nächsten Abschnitt eine Beispielaufgabe (Aufgabe 4) vorbereitet.
Quadratische Funktionen Aufgaben
Hier zeigen wir dir mehrere Aufgaben mit Lösungen zum Thema quadratische Funktionen.
Aufgabe 1: Funktionsgleichung für quadratische Funktionen
Bestimme die quadratische Funktion durch die drei Punkte ,
und
und zeichne die Parabel.
Aufgabe 2: Nullstellen von Parabeln
Berechne für die quadratische Funktionen jeweils die Nullstellen:
a)
b)
Aufgabe 3: Scheitelpunkt einer Parabel
Bestimme den Scheitelpunkt der Parabel, indem du die quadratische Funktion auf Scheitelpunktform bringst.
Aufgabe 4: Quadratische Funktionen – Extremwertproblem
Du möchtest ein möglichst großes rechteckiges Grundstück umzäunen, das mit einer Seite an eine Mauer angrenzt. Dafür stehen die Zaun zur Verfügung.
Lösungen
Aufgabe 1: Funktionsgleichung für quadratische Funktionen
Um die Funktionsgleichung der Parabel durch A, B und C zu bestimmen, gehst du folgendermaßen vor:
- Schritt 1: Schreibe die quadratische Funktion in ihrer allgemeinen Form auf
-
Schritt 2: Setze die drei Punkte
,
, und
in die quadratische Funktion ein
(I)
(II)
(III)
-
Schritt 3: Löse das Gleichungssystem möglichst geschickt. In unserem Fall können wir aus Gleichung (I) direkt ablesen, dass
gelten muss. Dies setzen wir nun in die beiden anderen Gleichungen ein und erhalten
(II)
(III)
Lösen wir (II) nach auf und setzen es in die dritte Gleichung ein, so erhalten wir
(II‘)
(III‘)
Einsetzen von in (II‘) ergibt
.
- Schritt 4: Setze alle gefundenen Werte in die quadratische Funktion ein
Aufgabe 2: Nullstellen von Parabeln
a) Die quadratische Funktion hat eine doppelte Nullstelle beim Scheitelpunkt
. Das erkennst du entweder an der Scheitelpunktform oder wenn du den Term in faktorisierter Form aufschreibst
. Alternativ kannst du die Parabel auch zeichnen und die Werte ablesen.

Entweder, du setzt ,
und
in die Mitternachtsformel ein und bestimmst das Ergebnis. Alternativ kannst du auch beide Seiten durch zwei teilen und die neue quadratische Funktion
mittels pq-Formel lösen. Dann ist für
und
Die Parabel hat somit zwei Nullstellen bei und
.
Aufgabe 3: Scheitelpunkt einer Parabel
Um die quadratische Funktion auf Scheitelpunktform zu bringen, musst du quadratisch ergänzen:
Der Scheitel der Parabel hat daher die Koordinaten .
Aufgabe 4: Quadratische Funktionen – Extremwertproblem
Um das Extremwertproblem zu lösen, benötigst du das Wissen über quadratische Funktionen und Parabeln und gehst wie folgt vor:
-
Schritt 1: Stelle die Zielfunktion auf. Maximiert werden soll hier der Flächeninhalt eines Rechtecks
, mit Länge
und Breite
.
-
Schritt 2: Prüfe die Nebenbedingungen. Du hast maximal
Zaun zur Verfügung, weißt aber, dass eine Seite durch die Steinmauer begrenzt wird. Daher gilt für den Umfang des Rechtecks
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Schritt 3: Löse die Nebenbedingung nach
auf:
- Schritt 4: Setze die Nebenbedingung in die Zielfunktion ein, um eine quadratische Funktion zu erhalten
- Schritt 5: Bringe die quadratische Funktion mit quadratischer Ergänzung auf Scheitelpunktform:
Der Scheitel der Parabel liegt beim Punkt . Damit ist
und der maximale Flächeninhalt beträgt
. Daraus kannst du die Breite
des Rechtecks bestimmen als
Potenzfunktionen
Nach den quadratischen Funktionen gibt es auch Funktionen höhereren Grades. Dazu gehören zum Beispiel Potenzfunktionen. In unserem Video dazu erklären wir dir alles, was du zu den Potenzfunktionen wissen musst. Schau es dir gleich an!