Analysis

Ganzrationale Funktionen

In diesem Artikel erklären wir dir alles Wichtige zum Thema ganzrationale Funktionen, die manchmal auch Polynomfunktion heißen. Dabei gehen wir anhand ausgewählter Beispiele auf ihre verschiedenen Eigenschaften, Nullstellen und Grenzwerte ein. Am Ende des Textes findest du zudem einige Aufgaben zum selber Üben. 

Um ganzrationale Funktionen noch besser zu verstehen, schau dir unser Video%verlinken an! Hier findest du alles Wichtige direkt am Beispiel erklärt! 

Inhaltsübersicht

Ganzrationale Funktionen einfach erklärt

Ganzrationale Funktionen oder Polynomfunktionen, werden stets in Abgrenzung zu den gebrochen rationalen Funktionen%verlinken definiert. Polynomfunktionen sind – wie der Name bereits sagt – immer die Summe einzelner polynomieller Bestandteile in einer Variablen x

Allgemeine Funktionsgleichung für ganzrationale Funktionen

f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots + a_2x^2+a_1x+a_0

Je nachdem, welche Werte du für n und für a_i mit i =1,\ldots, n einsetzt, erhältst du verschiedene Polynomfunktionen beziehungsweise ganzrationale Funktionen mit unterschiedlichen Funktionsgraphen. 

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Beispiele für ganzrationale Funktionen

Was ist eine ganzrationale Funktion?

Bei Polynomfunktionen gibt es verschiedene Begriffe, die du kennen solltest. Betrachten wir dazu den lila Graphen aus obiger Abbildung mit der Funktionsgleichung

g(x)=0,5x^4-3x^3+5x^2-2x+0,5.

Der ganze Ausdruck wird als ganzrationale Funktion beziehungsweise Polynomfunktion 4. Grades bezeichnet, da der höchste Exponent n=4 ist. Manchmal spricht man auch von einem Polynom%verlinken der Ordnung 4. Dieser höchste Exponent entscheidet, wie die Funktion global betrachtet aussieht, und wie sie sich an den Rändern des Definitionsbereichs verhält. Die Faktoren vor den Potenzen, das heißt in diesem Falle 0,5, -3, 5, -2 und 0,5 werden Koeffizienten genannt, der Faktor vor der höchsten Potenz (hier 0,5) heißt Leitkoeffizient

Merke: Ganzrationale Funktionen, die nur aus dem Leitkoeffizienten und einer Potenz bestehen, werden auch Potenzfunktionen%verlinken genannt!

Besondere Polynomfunktionen

Verschiedene Polynomfunktionen kennst du bereits:

Konstante Funktion

Konstante Funktionen bezeichnet man oft als Polynomfunktion 0. Grades, weil sie unabhängig von x sind. Diese Benennung ist deshalb sinnvoll, da für alle x-Werte x0=1 ist. Die wichtigsten Eigenschaften zusammengefasst lauten:

  • allgemeine Funktionsgleichung: f(x)=c
  • Funktionsgraph: waagrechte Gerade, die die y-Achse bei c schneidet
  • Beispiel: f(x)=2 mit Leitkoeffizient a0=2
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Beispiel: Konstante Funktion

Lineare Funktion

Lineare Funktionen entsprechen den ganzrationalen Funktionen 1. Grades. Hier ist nur eine x-Variable in ihrer ersten Potenz enthalten, das heißt x1 =x. Die wichtigsten Eigenschaften lauten zusammengefasst: 

  •  allgemeine Funktionsgleichung: f(x)= mx+b
  • Funktionsgraph: Gerade mit Steigung m und y-Achsenabschnitt b
  • Beispiel: f(x)=0,5x+3 mit Steigung m=a1=0,5 und y-Achsenabschnitt b=a0=3
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Beispiel: Lineare Funktion

Quadratische Funktion

Quadratische Funktionen werden auch als Polynomfunktionen vom Grad 2 bezeichnet. Sie beschreiben die Parabeln im Koordinatensystem. Zusammengefasst gilt hier:

  • allgemeine Funktionsgleichung: f(x)=ax2+bx+c oder Scheitelpunktform : f(x)=a(x-d)2+e
  • Funktionsgraph: Parabel 
  • Beispiel: f(x)=-x2+2x-1 mit Leitkoeffizient a=a_2=-1, b=a1=2 und c=a0=-1
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Beispiele: Quadratische Funktionen

Kubische Funktion

Eine ganzrationale Funktion 3. Grades wird kubische Funktion genannt. Hier lassen sich die wichtigsten Punkte wie folgt zusammenfassen:

  • allgemeine Funktionsgleichung: f(x)=a3x3+a2x2+a1x+a0
  • Funktionsgraph: Parabelähnlicher Graph vom Grad 3
  • Beispiel: f(x)=2x3-4x2+3x-1
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Beispiele: Funktionen 3. Grades

Ganzrationale Funktion 4. Grades 

Zuletzt wollen wir noch die ganzrationalen Funktionen vom Grad 4 betrachten. Diese haben keinen besonderen Namen mehr. 

  • allgemeine Funktionsgleichung: f(x)=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0
  • Funktionsgraph: Parabelähnlicher Graph vom Grad 4
  • Beispiel: f(x)=x4-x3-2x2+3x+5
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Beispiel: Funktion 4. Grades

Ganzrationale Funktionen: Beispiele und Nichtbeispiele

Einige Beispiele hast du im vorherigen Kapitel bereits gesehen. Jetzt fragst du dich vielleicht, inwiefern sich Polynomfunktionen von Nicht-Polynomfunktionen unterscheiden. 

Einige weitere Beispiele für ganzrationale Funktionen sind

  • f(x)=x^7-8
  • f(x) = 4x^5+3x^2+2x-10
  • f(x) = -3x^10+5x^7-3x^3

Keine Polynomfunktionen sind im Gegensatz dazu %verlinken

Ganzrationale Funktionen Eigenschaften

Untersuchen wir nun systematisch die Eigenschaften verschiedener Polynomfunktionen. Ganzrationale Funktionen unterscheiden sich bezüglich Symmetrie und ihren Grenzwerten je nachdem, welchen Grad sie haben. Daher treffen auch wir diese Unterscheidung. 

Symmetrie

Eine Funktion heißt achsensymmetrisch, wenn gilt

f(x)=f(-x).

Damit sind ganzrationale Funktionen genau dann achsensymmetrisch zur x-Achse, wenn sie nur gerade Exponenten enthalten. An einem Beispiel siehst du direkt, dass sich hier die negativen Vorzeichen alle gegenseitig aufheben.

f(-x)= 2(-x)^6-8(-x)^4+4(-x)^2-2 =2x^6-8x^4+4x^2-2 =f(x).

Enthalten ganzrationale Funktionen dahingegen nur ungerade Exponenten, so sind sie punktsymmetrisch zum Ursprung, das heißt

f(-x)=-f(x).

Auch hier siehst du das direkt am Beispiel der Polynomfunktion f(x)=-x^7+2x^5-8x^3+5x:

f(-x)=-(-x)^7+2(-x)^5-8(-x)^3+5(-x) = x^7-2x^5+8x^3-5x = -f(x)

Merke: Enthält eine Polynomfunktion sowohl gerade als auch ungerade Exponenten, so ist sie weder punktsymmetrisch noch achsensymmetrisch! Das siehst du auch direkt in obiger Abbildung!

Grenzwerte

Auch die Grenzwerte verschiedener Polynomfunktionen unterscheiden sich, je nach Grad der ganzrationalen Funktion und Vorzeichen des Leitkoeffizienten a_n

Gerader Grad

Ganzrationale Funktionen mit geradem Exponenten ähneln global betrachtet einer quadratischen Funktion. Sie können zwar verschiedene Extremstellen und mehrere lokale Minima und Maxima besitzen, letztenendes laufen die beiden Parabel-Äste aber in die gleiche Richtung. Dabei gibt es zwei Möglichkeiten:

  • Der Leitkoeffizient hat ein positives Vorzeichen: Dann ist die Parabel nach oben geöffnet

\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} f(x) = \infty     und    \lim\limits_{x\rightarrow \infty} f(x) = \infty.

  •  Der Leitkoeffizient hat ein negatives Vorzeichen: Hier ist die Parabel nach unten geöffnet

\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} f(x) = -\infty     und    \lim\limits_{x\rightarrow \infty} f(x) = -\infty.

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Polynomfunktionen mit gerader Ordnung

Ungerader Grad

Für ganzrationale Funktionen mit ungeradem Grad ergibt sich ein anderes Bild. Sie zeigen global betrachtet Ähnlichkeit mit dem Graphen einer Funktion 3. Grades, wobei auch hier das Vorzeichen des Leitkoeffizienten a_n über das Verhalten im Unendlichen bestimmt:

  • Der Leitkoeffizient hat ein positives Vorzeichen

\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} f(x) = -\infty     und    \lim\limits_{x\rightarrow \infty} f(x) = \infty.

  •  Der Leitkoeffizient hat ein negatives Vorzeichen 

\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} f(x) = \infty     und    \lim\limits_{x\rightarrow \infty} f(x) = -\infty.

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Polynomfunktionen mit ungerader Ordnung

Nullstellen berechnen

Um die Nullstellen einer Polynomfunktion zu berechnen, gibt es verschiedene Möglichkeiten, abhängig vom Grad den die ganzrationale Funktion hat. Allgemein berechnest du immer

f(x)=0.

Für lineare Funktionen kann man diesen Term einfach auflösen, bei den quadratischen Termen hilft die Mitternachtsformel%verlinken oder die pq-Formel%verlinken weiter. Bei Polynomfunktionen mit höherer Ordnung gibt es hingegen keine einfachen Lösungsformeln mehr, hier kann man entweder Ausklammern oder eine Polynomdivision durchführen – sofern eine Nullstelle bekannt ist. Das genaue Vorgehen erklären wir dir für jeden Funktionstyp einzeln im separaten Video Nullstellen berechnen%verlinken

Im Allgemeinen gilt jedoch, dass die Anzahl der reellen  Nullstellen einer Polynomfunktion kleiner gleich dem Grad der Polynomfunktion ist. Das heißt, dass zum Beispiel eine ganzrationale Funktion vom Grad 5 höchstens 5 Nullstellen besitzen kann.

Extrema

Ganzrationale Funktionen haben meist mehrere (lokale) Extrempunkte, beispielsweise Minima, Maxima oder Sattelpunkte. Um sie zu bestimmen, gehst du wie folgt vor:

  • Schritt 1: Berechne zuerst die Ableitung der Polynomfunktion und verwende dazu die Faktor- und Potenzregeln.
  • Schritt 2: Berechne die Nullstellen der Ableitung. Das sind die x-Koordinaten der Extrempunkte.
  • Schritt 3: Bestimme die zugehörige y-Koordinate durch Einsetzen in die ursprüngliche Funktion.
  • Schritt 4: Bestimme die Art der Extrempunkte : Maximum, Minimum oder Sattelpunkt?

Allgemein ist die Ableitung f'(x) für ganzrationale Funktionen f(x) vom Grad n immer eine Polynomfunktion vom Grad (n-1). Das bedeutet gleichzeitig, dass eine Polynomfunktion vom Grad n maximal (n-1) Extrempunkte besitzen kann. 

Ganzrationale Funktionen Aufgaben

Im Folgenden zeigen wir dir verschiedene Aufgaben mit Lösungen zum Thema ganzrationale Funktionen.

Aufgabe 1: Bestimme die Funktionsgleichung für ganzrationale Funktionen

a) Gesucht ist eine ganzrationale Funktion 3. Grades, die eine einfache Nullstelle im Ursprung besitzt und eine doppelte Nullstelle bei x=4

b) Gesucht ist eine ganzrationale Funktion 4. Grades, die eine doppelte Nullstelle bei x=2 besitzt, durch den Punkt P(0|4) verläuft und symmetrisch zur y-Achse ist. Überlege dir zuerst, wie der Funktionsgraph aussehen muss. 

Aufgabe 2: Kurvendiskussion für ganzrationale Funktionen

Gegeben ist die ganzrationale Funktion f(x)=x^3-4x^2+4x.

a) Welchen Grad hat die Polynomfunktion? Bestimme auch ihren Leitkoeffizienten.

b) Bestimme alle Nullstellen der Funktion.

c) Wie verhält sich die ganzrationale Funktion an den Rändern ihres Definitionsbereichs?

d) Berechne alle Extrempunkte der Polynomfunktion.

e) Zeichne die ganzrationale Funktion.

Lösungen

Aufgabe 1: Bestimme die Funktionsgleichung für ganzrationale Funktionen

a) Am einfachsten kannst du die gesuchte Gleichung der Polynomfunktion bestimmen, wenn du sie in faktorisierter Form aufschreibst. Da f(x) eine einfache Nullstelle bei x=0 und eine doppelte Nullstelle bei x=4 hat, ist die Funktionsgleichung

f(x)=x(x-4)^2 = x^3-8x^2-16x

b) Hier ist eine ganzrationale Funktion 4. Grades gesucht, die eine doppelte Nullstelle bei x=2 haben soll. Ihre faktorisierte Form enhält somit in jedem Fall den Faktor (x-2)^2. Da die Funktion symmetrisch zur y-Achse sein soll, muss sie auch eine doppelte Nullstelle bei x=-2 haben, das heißt den Faktor (x+2)^2 enthalten. Wir erhalten also die Gleichung

f(x)=(x-2)^2(x+2)^2.

Diese ganzrationale Funktion verläuft aber noch nicht durch den Punkt P(0|4), wir müssen sie daher noch entsprechend strecken beziehungsweise stauchen. Das entspricht der Bestimmung des Leitkoeffizienten, wozu wir den Punkt P in die Funktionsgleichung einsetzen:

4=a(0-2)^2(0+2)^2 = a \cdot 4 \cdot 4 = a \cdot 16

Diese Gleichung lässt sich mit a=\frac{1}{4} lösen und liefert die Funktionsgleichung

f(x)=\frac{1}{4}(x-2)^2(x+2)^2=\frac{1}{4}x^4-2x^2+4.

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Aufgabe 1: Symmetrische ganzrationale Funktion vom Grad 4

 

Aufgabe 2: Kurvendiskussion für ganzrationale Funktionen

a) Die ganzrationale Funktion f(x)=2x^3-8x^2+8x ist eine Polynomfunktion vom Grad 3. Ihr Leitkoeffizient ist a_3=2.

b) Um die Nullstelle zu berechnen, kann man x direkt ausklammern

0=x^3-4x^2+4x = x(x^2-4x+4)

Damit ist x_1=0 und wir müssen nur noch die Nullstellen der quadratischen Polynomfunktion x^2-4x+4 berechnen. 

0=x^2-4x+4=(x-2)^2

Die Polynomfunktion hat also die einfache Nullstelle x_1=0 und eine doppelte Nullstelle bei x_2=2.

c) Die Polynomfunktion hat die beiden Limiten \lim\limits_{x\rightarrow \infty} x^3-4x^2+4x = \infty und \lim\limits_{x\rightarrow -\infty} x^3-4x^2+4x = -\infty.

d) Um die Extrempunkte zu bestimmen, berechnen wir die Nullstellen der Ableitung.

f'(x)=6x^2-16x+8 = 0 \quad \quad \quad \Longleftrightarrow \quad \quad \quad x_{1,2} = \cfrac{16 \pm \sqrt{(-16)^2-4\cdot 6 \cdot 8}}{2\cdot6} 

\Longleftrightarrow \quad \quad \quad x_1 = \frac{2}{3}, \quad x_2=2

Bei x_1=\frac{2}{3} hat die Polynomfunktion ein lokales Maximum, bei x_2=2 ein lokales Minimum. 

e) Der Funktionsgraph der Polynomfunktion sieht folgendermaßen aus:

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Aufgabe 2: Funktionsgraph von der Polynomfunktion f(x)

 


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