Sind Zeigerdiagramme für Gleichstromkreise nützlich?

Zeigerdiagramme sind für Gleichstromkreise nur eingeschränkt nützlich, weil bei Gleichstrom keine Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung auftritt. Spannungs- und Stromzeiger wären dann zeitlich konstant und liegen als reine Realwerte auf der Realachse. Für die typische Zeiger-Interpretation in der Wechselstromtechnik bringt das kaum Zusatznutzen.

Wie kommt man von Realteil und Imaginärteil zu Betrag und Phasenwinkel eines Zeigers?

Von Realteil und Imaginärteil kommt man zu Betrag und Phasenwinkel, indem man den Betrag als Länge und den Winkel als Richtung des Zeigers in der Zahlenebene bestimmt. Für gilt und mit korrektem Quadranten. Beispiel: , .

Woran erkennt man im Zeigerdiagramm, ob der Strom der Spannung vorausläuft oder hinterherläuft?

Im Zeigerdiagramm erkennt man „vorauslaufen“ oder „hinterherlaufen“, indem man die Phasenwinkel von Strom- und Spannungszeiger vergleicht. Hat der Stromzeiger den größeren Winkel (weiter gegen den Uhrzeigersinn), läuft der Strom der Spannung voraus. Hat der Stromzeiger den kleineren Winkel, läuft der Strom hinterher.

Warum liegt die Impedanz einer Spule auf der positiven Imaginärachse und die eines Kondensators auf der negativen?

Die Impedanz einer Spule liegt auf der positiven Imaginärachse, weil für die Spule gilt und der Faktor einen positiven imaginären Anteil erzeugt. Die Impedanz eines Kondensators liegt auf der negativen Imaginärachse, weil ist. Dadurch zeigt der Zeiger der Spule nach „oben“ und der des Kondensators nach „unten“.

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Zeigerdiagramm

Wichtige Inhalte in diesem Video

In diesem Artikel lernst du die komplexen Zahlen kennen und wir erklären dir die Impedanz und Phasenverschiebung im Zeigerdiagramm. Um einen Überblick über das Thema zu erhalten schau doch einfach in unser Video rein.

Inhaltsübersicht

Zeigerdiagramm einfach erklärt

Das Zeigerdiagramm in der Elektrotechnik hilft dir dabei das Phasenverhältnis, also den Winkel zwischen Strömen und Spannungen einer Schaltung darzustellen. Es findet vor allem Anwendung in der Wechselstromtechnik, da hier komplexe Zeiger von großer Bedeutung sind. Anstatt Ströme und Spannungen zu berechnen, kannst du sie also direkt mit dem Zeigerdigramm bestimmen.

Komplexe Zahlen

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(01:22)

Im den folgenden Abschnitten frischen wir kurz dein Wissen über die komplexen Zahlen auf, da sie als Grundlage für das Verständnis des Zeigerdiagramms dienen. Komplexe Zahlen können auf zwei verschiedene Weisen dargestellt werden. Zum einen in der algebraischen Form und zum anderen in der eulerschen Form.

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Algebraische Form

Aus der algebraischen Form kannst du direkt den Realteil und den Imaginärteil einer komplexen Zahl ablesen, da sie aus deren Summe gebildet wird:

$\vec{Z}=Re\{\vec{Z}\}+Im\{\vec{Z}\}$

Beispielsweise kannst du dadurch eine komplexe Spannung folgendermaßen angeben:

$\vec{U}=5V+j7V$

Eulersche Form

Die eulersche Form wird aus dem Betrag und dem Winkel des Vektors bestimmt den die komplexe Zahl mit dem Ursprung der Gaußschen Zahlenebene aufspannt.

$\vec{Z}= |Z| \cdot e^{j\phi}$

Entsprechend kann eine komplexe Spannung wie folgt ausgedrückt werden:

$\vec{U}= 9V \cdot e^{j30°}$

Zeigerdiagramm

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(01:54)

Mit diesem Wissen kannst du nun den Vektor beziehungsweise Zeiger deiner Spannung in einem Zeigerdiagramm einzeichnen.

Zeigerdiagramm, komplexe Zahlen, algebraische Form, Realteil, Imaginärteil — Zeigerdiagramm

Bei der Darstellung als Zeiger in einem Zeigerdiagramm gibt es eine Realteil-Achse, üblicherweise die x-Achse, und eine Imaginärteil-Achse. Im kartesischen Koordinatensystem entspricht sie der y-Achse.

$\mathbit{Re}\left\{\mathbf{5}+\mathbit{j}\mathbf{7}\right\}=\mathbf{5}$ $\quad \mathbit{Im}\left\{\mathbf{5}+\mathbit{j}\mathbf{7}\right\}=\mathbf{7}$

Komplexe Impedanz

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(02:27)

Bisher haben wir nur Gleichstrom betrachtet, aber aus der Steckdose kommt bekanntlich Wechselstrom. Die Wechselstromlehre wird auch als komplexe Wechselstromlehre bezeichnet, denn der sinusförmige Verlauf von Strom oder Spannung kann als komplexer Zeiger interpretiert werden. Dazu machen wir folgende Annahmen:

Der Widerstand einer Spule ist ${\underline{Z}}_L=j\cdot\omega\cdot L$ mit $\omega=2\pi\cdot f$
Analog dazu gilt für den Widerstandswert eines Kondensators ${\underline{Z}}_C=\frac{1}{j\cdot\omega\cdotC}$
Wie du siehst ist der Widerstandswert nun rein imaginär. Komplexe Widerstände bezeichnet man auch als Impedanz. Für sie gilt: Z= $R+j\ X$

Das ohmsche Gesetz wird in der komplexen Wechselstromlehre damit zu:

$U= Z \cdot I$

Komplexe Zahlen und Impedanz – Beispiel

Um das Rechnen mit komplexen Zahlen und Impedanz zu üben , schauen wir uns ein Beispiel dazu an. Gesucht ist der komplexe Strom für die komplexe Spannung U = $\left(50+j\cdot 70\ \right) V$ und den komplexen Widerstand Z=j10 Ω . $\underline{I}=\underline{\frac{\underline{U}}{Z}}=\frac{50+j70 V}{j10 \Omega} =7-j5A$

Impedanz, komplexe Zahlen, Widerstand, Realteil, Imaginärteil — Impedanz und komplexe Zahlen – Beispiel

Auch der Strom ist jetzt komplex, denn er besteht aus einem Real- und einem Imaginärteil. Außerdem ist der Imaginärteil unserer Spannung positiv, der des Stromes jedoch negativ

Phasenverschiebung

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(04:44)

Spulen und Kondensatoren erzeugen also nicht nur elektrische Felder, sondern bewirken auch, dass das Maximum von Strom und Spannung nicht mehr gleichzeitig auftritt. Das bedeutet eine Phasenverschiebung: Strom und Spannung liegen dann nämlich nicht mehr in Phase. Dazu gibt es zwei Merkregeln:

Kondensator – Strom eilt vor
Induktivität – Strom kommt zu spät.

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Im Zeigerdiagramm zeigt sich, dass bei Spule und Kondensator die Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung genau 90 Grad ist. Wir fassen nochmal zusammen: Ströme, Spannungen und Widerstände sind komplex und werden als komplexe Zeiger dargestellt. Dazu noch eine Veranschaulichung: Stell dir vor, dass sich die Zeiger mit der Kreisfrequenz Omega bei 50 Hertz, also ungefähr 300 Umdrehungen pro Sekunde gegen den Uhrzeigersinn drehen.

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Zeigerdiagramm — häufigste Fragen

(ausklappen)

Sind Zeigerdiagramme für Gleichstromkreise nützlich?

Zeigerdiagramme sind für Gleichstromkreise nur eingeschränkt nützlich, weil bei Gleichstrom keine Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung auftritt. Spannungs- und Stromzeiger wären dann zeitlich konstant und liegen als reine Realwerte auf der Realachse. Für die typische Zeiger-Interpretation in der Wechselstromtechnik bringt das kaum Zusatznutzen.
Wie kommt man von Realteil und Imaginärteil zu Betrag und Phasenwinkel eines Zeigers?

Von Realteil und Imaginärteil kommt man zu Betrag und Phasenwinkel, indem man den Betrag als Länge und den Winkel als Richtung des Zeigers in der Zahlenebene bestimmt. Für $Z = a + j \cdot b$ gilt $|Z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ und $\varphi = \arctan\!\left(\frac{b}{a}\right)$ mit korrektem Quadranten. Beispiel: $5 + j \cdot 7 \Rightarrow |Z| \approx 8{,}60$ , $\varphi \approx 54{,}5^\circ$ .
Woran erkennt man im Zeigerdiagramm, ob der Strom der Spannung vorausläuft oder hinterherläuft?

Im Zeigerdiagramm erkennt man „vorauslaufen“ oder „hinterherlaufen“, indem man die Phasenwinkel von Strom- und Spannungszeiger vergleicht. Hat der Stromzeiger den größeren Winkel (weiter gegen den Uhrzeigersinn), läuft der Strom der Spannung voraus. Hat der Stromzeiger den kleineren Winkel, läuft der Strom hinterher.
Warum liegt die Impedanz einer Spule auf der positiven Imaginärachse und die eines Kondensators auf der negativen?

Die Impedanz einer Spule liegt auf der positiven Imaginärachse, weil für die Spule $\underline{Z}_{L} = j \cdot \omega \cdot L$ gilt und der Faktor einen positiven imaginären Anteil erzeugt. Die Impedanz eines Kondensators liegt auf der negativen Imaginärachse, weil $\underline{Z}_{C} = \frac{1}{j \cdot \omega \cdot C} = -\frac{j}{\omega \cdot C}$ ist. Dadurch zeigt der Zeiger der Spule nach „oben“ und der des Kondensators nach „unten“.

Wechselstromtechnik verstehen

Das Zeigerdiagramm ist ein zentrales Werkzeug der Wechselstromtechnik und gehört zur Analyse von elektrischen Schaltungen. Du rechnest mit Spannungen und Strömen als komplexen Größen und setzt Bauteile über ihre Widerstände in der Rechnung an. So ordnest du Beträge und Winkel ein und erkennst, wie sich eine Phasenlage im Rechenergebnis und in der Skizze zeigt. Weitere Videos dazu findest du in unserem Elektrotechnikbereich.

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