Was ist die Determinante?

Die Determinante ist eine Zahl, die du aus einer quadratischen Matrix berechnest und die zeigt, ob ihre Spalten (oder Zeilen) linear unabhängig sind. Ist die Determinante , ist die Matrix nicht invertierbar. Ist sie , sind die Spalten linear unabhängig.

Was ist die fundamentale Hauptmatrix?

Die fundamentale Hauptmatrix (auch Hauptfundamentalmatrix) ist eine spezielle Fundamentalmatrix eines linearen DGL-Systems , deren Spalten ein Fundamentalsystem bilden und die zusätzlich die Anfangsbedingung erfüllt. Sie beschreibt damit die Entwicklung von Anfangswerten bei zu Lösungen für andere .

Was ist eine Fundamentallösung einer Differentialgleichung?

Eine Fundamentallösung (oft Grundlösung) ist eine einzelne Lösung eines homogenen linearen DGL-Systems, die zusammen mit weiteren Fundamentallösungen ein linear unabhängiges Lösungssystem bildet. Aus diesen Fundamentallösungen kannst du jede andere Lösung als Linearkombination mit Konstanten zusammensetzen.

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Fundamentalsystem und Wronski-Determinante

Name: Fundamentalsystem - Wronski-Determinante
Uploaded: 2026-04-08T16:48:07Z
Duration: 4 min 23 s
Description: Du möchtest wissen, was ein Fundamentalsystem ist? Im Folgenden erklären wir dir genauer, was es mit der Fundamentalmatrix und der Wronski-Determinante auf sich hat.

Du möchtest wissen, was ein Fundamentalsystem ist? Im Folgenden erklären wir dir genauer, was es mit der Fundamentalmatrix und der Wronski-Determinante auf sich hat.

Inhaltsübersicht

Fundamentalsystem, Fundamentalmatrix und Wronski-Determinante Definitionen

Sind die Vektoren $y_1,\ y_2,\ \ldots\ ,\ y_n$ Lösungen der homogenen Differentialgleichung, dann ist auch jede Linearkombination der Lösungen eine Lösung des Differentialgleichungs-Systems. Ein System von Lösungsvektoren $\left\{y_1,\ldots,y_n\right\}$ heißt linear unabhängig, wenn

$\alpha_1y_1+\ldots+a_my_m=0\ \rightarrow\ a_i=0$

nur die triviale Lösung, also wenn alle Koeffizienten a_i=0 sind, die dargestellte Gleichung löst.

Definition Fundamentalsystem, Fundamentalmatrix und Wronski-Determinante

Ein linear unabhängiges System $\left\{y_1,\ldots,y_n\right\}$ heißt Fundamentalsystem. Die Lösungen $y_1,\ldots,y_n$ heißen Grundlösungen. Du kannst prüfen, ob ein System linear unabhängig ist, indem du die Determinante der Fundamentalmatrix berechnest. Die Fundamentalmatrix stellst du so auf:

$Y\left(x\right)=[y_1(x)|\ldots|y_n(x)]$

Die Spalten sind die Lösungsvektoren y_1 bis y_n des linearen DGL-Systems erster Ordnung. Die Determinante der Fundamentalmatrix heißt Wronski-Determinante.

$\exists\ x:\ \det{Y(x)}\neq0$

Ist diese für mindestens ein x ungleich Null, sind die Lösungen linear unabhängig und es liegt ein Fundamentalsystem vor. Das umgedrehte E $\exists$ ist der Existenzquantor. Er bedeutet: „Es existiert ein x“ Die allgemeine Lösung ist dann:

$y\left(x\right)=c_1y_1\left(x\right)+\ldots+c_ny_n\left(x\right)$ $y\left(x\right)=c_1y_1\left(x\right)+\ldots+c_ny_n\left(x\right)=[y_1(x)|\ldots\left|y_n\left(x\right)\right]\left[\begin{matrix}c_1\\\vdots\ \\c_n\\\end{matrix}\right]=Y\left(x\right)c$

Die mit Koeffizienten c_1 bis c_n multiplizierten summierten Grundlösungen y_1 bis y_n . Du kannst die Lösung auch kompakt in Abhängigkeit von der Fundamental Matrix schreiben.

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Fundamentalsystem und Wronski-Determinante — häufigste Fragen

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Beispiel

Als nächstes schauen wir uns ein Beispiel an.

Dieses System hat dann die Lösungen y_1 und y_2 . Dann ergibt sich als Wronski-Determinante: $-\sin^2{x}-\cos^2{x}$ . Das ergibt -1, da $\sin^2{x}+\cos^2{x}$ gleich 1 ist. -1 ist ungleich Null und damit sind die Lösungen linear unabhängig. Die allgemeine Lösung des DGL-Systems lautet also so:

$y\left(x\right)=c_1\binom{\sin{x}}{\cos{x}}+c_2\binom{\cos{x}}{-\sin{x}}=\left(\begin{matrix}\sin{x}&\cos{x}\\\cos{x}&-\sin{x}\\\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c_1\\c_2\\\end{matrix}\right)$

Fundamentalsystem und Wronski-Determinante — häufigste Fragen

(ausklappen)

Was ist die Determinante?

Die Determinante ist eine Zahl, die du aus einer quadratischen Matrix berechnest und die zeigt, ob ihre Spalten (oder Zeilen) linear unabhängig sind. Ist die Determinante , ist die Matrix nicht invertierbar. Ist sie $\neq 0$ , sind die Spalten linear unabhängig.
Was ist die fundamentale Hauptmatrix?

Die fundamentale Hauptmatrix (auch Hauptfundamentalmatrix) ist eine spezielle Fundamentalmatrix eines linearen DGL-Systems , deren Spalten ein Fundamentalsystem bilden und die zusätzlich die Anfangsbedingung erfüllt. Sie beschreibt damit die Entwicklung von Anfangswerten bei zu Lösungen für andere .
Was ist eine Fundamentallösung einer Differentialgleichung?

Eine Fundamentallösung (oft Grundlösung) ist eine einzelne Lösung eines homogenen linearen DGL-Systems, die zusammen mit weiteren Fundamentallösungen ein linear unabhängiges Lösungssystem bildet. Aus diesen Fundamentallösungen kannst du jede andere Lösung als Linearkombination mit Konstanten $c_1,\dots,c_n$ zusammensetzen.