Dir ist schleierhaft, was multidimensionale Skalierung bedeutet und was du mit ihr anstellen kannst? Kein Problem. In diesem Video zeigen wir dir, was sich dahinter verbirgt.
Inhaltsübersicht
Multidimensionale Skalierung einfach erklärt
Die multidimensionale Skalierung, abgekürzt MDS, ist ein Bündel von Verfahren der multivariaten Statistik. Ihr Ziel ist es, die Objekte räumlich so anzuordnen, dass die Distanzen zwischen den Objekten im Raum möglichst exakt den Unähnlichkeiten entsprechen. Je weiter die Objekte voneinander entfernt sind, desto unähnlicher, und je näher beieinander sie sind, desto ähnlicher sind sie.
Die Lösung der multidimensionalen Skalierung, die sogenannte Konfiguration, wird meist in zwei oder drei Dimensionen geschätzt, was die Interpretierbarkeit erleichtert. Die Güte der Konfiguration lässt sich mit dem Stress-2-Test nach Kruskal ermitteln. Diesen zeigen wir dir später in einem Beispiel.
Mit dem Idealpunkt- und Vektormodell lässt sich der gefundene Objektraum interpretieren. Du bist gerade komplett verwirrt? Keine Sorge. Wir zeigen dir anhand eines Rechenbeispiels, was sich hinter diesen theoretischen Ausführungen verbirgt.
Rechenbeispiel multidimensionale Skalierung
Stell dir vor, du stellst Lebkuchen her und willst sie in deiner Stadt auf dem Markt verkaufen. Dazu hast du dir eine ganz besondere Variante ausgedacht, die sich hinsichtlich des Schokoladenanteils und der Anzahl an verwendeten Nüssen von anderen Sorten unterscheidet. Auf dem Weihnachtsmarkt bieten noch drei andere Personen Lebkuchen an. Der Lehrstuhl für Marketing der örtlichen Universität hat eine Ähnlichkeitsstudie durchgeführt, bei der Passanten paarweise die Ähnlichkeit der Lebkuchen beurteilen sollen.
Das Ergebnis der Studie siehst du im Video. Dabei bedeutet eins das ähnlichste Paar und sechs das unähnlichste. Auf Basis dieser Daten wurde ein zweidimensionaler Objektraum aufgestellt. Die jeweiligen Koordinaten siehst du in der Tabelle im Video.
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Stress-2-Test anwenden
Nun willst du wissen, wie gut die Lösung der mit der Ähnlichkeits-MDS erstellten Koordinaten ist. Dazu benötigen wir den Stress-2-Test. Du unterstellst dabei eine Euklidmetrik.
Zunächst bringen wir die Ähnlichkeiten in eine aufsteigende Reihenfolge. Jetzt müssen wir die reproduzierten Distanzen ermitteln. Hierfür verwenden wir die Euklidmetrik.
Für die ähnlichste Distanz AD berechnen wir somit die Wurzel aus (1,5 − 2)² plus (4 − 3)² und erhalten gerundet 1,12. So gehen wir auch für alle anderen Distanzen vor.
Wir sehen, dass BD unähnlicher geschätzt worden ist als AC. Nach der Distanz jedoch lässt sich erkennen, dass BD ähnlicher ist. Dies wird als Disparität bezeichnet. Wenn bei einem Objektpaar der Platz stimmt, entspricht die Disparität der Distanz. Nur bei AC und BD kann nicht einfach die Distanz übernommen werden, da hier die Rangfolge der Ähnlichkeit nicht mit der Position aufgrund der Distanz übereinstimmt. Hier wird der Durchschnitt der Distanzen als Wert für die Disparität verwendet. In unserem Falle also (2,92 + 2,24) / 2 = 2,58.
Somit haben wir fast alle notwendigen Werte für den Stress 2. Uns fehlt nur noch die durchschnittliche Distanz. Dazu rechnen wir die Distanzen zusammen und teilen durch sechs. So erhalten wir einen Wert von 2,2.
Jetzt lässt sich der Stress 2 ermitteln. Dieser ist umso besser, je höher die Übereinstimmung zwischen den erfragten und reproduzierten Distanzen ist. Für die Berechnung gehen wir Schritt für Schritt vor.
Zunächst widmen wir uns dem Zähler. Dabei summieren wir die quadrierte Differenz zwischen der Distanz und der Disparität. Da bei einigen Objektpaaren die Distanz mit der Disparität übereinstimmt, können diese weggelassen werden. Somit sieht der Zähler so aus: (2,92 − 2,58)² + (2,24 − 2,58)².
Beim Nenner ist die Rechnung deutlich aufwändiger, da alle Objektpaare notwendig sind. Hier wird von der Distanz die durchschnittliche Distanz abgezogen und ins Quadrat gestellt. Dies wird über alle Paare durchgeführt und summiert. Also sieht der Nenner so aus: (… − 2,2)² + …
Nachdem wir nun den Zähler und den Nenner ermittelt haben, können wir den Stress 2 berechnen. Mit dem Wert 0,3 liegt nach Kruskal eine ausreichende Güte der Ähnlichkeits-MDS vor.
Idealpunkt- und Idealvektormodell
Der Professor des Lehrstuhls weist darauf hin, dass der Lebkuchenmarkt in deiner Stadt in zwei Segmente aufgeteilt werden kann. Das erste Segment folgt dabei einem Idealpunkt– und das zweite einem Idealvektormodell. Vektormodell heißt, dass Personen des zweiten Bereiches Lebkuchen umso positiver beurteilen, je mehr Schokolade und Nüsse enthalten sind.
Nun willst du deinen zu erwartenden Marktanteil berechnen. Dazu verwendest du erneut die Euklid-Distanz und diese probabilistischen Modelle zur Ermittlung der Kaufwahrscheinlichkeit.
Zunächst berechnen wir die Kaufwahrscheinlichkeit für Segment 1. Dazu müssen wir die Distanzen der vier Lebkuchenarten zum Idealpunkt ermitteln. Da wir erneut von einer Euklidmetrik ausgehen, sieht für den Punkt A die Distanz so aus: … Für die anderen drei Punkte lauten die Distanzen B = 1,41, C = 1,12 und D = 1.
Nachdem wir nun alle Distanzen zum Idealpunkt berechnet haben, können wir die Kaufwahrscheinlichkeit für A ermitteln. Somit haben wir bereits den ersten Teil geschafft.
Das Vektormodell wird allerdings deutlich aufwändiger. Zunächst müssen wir den Idealvektor aufstellen. Dieser verläuft durch den Nullpunkt, weshalb er y = b·x lautet. Wir wissen, dass der Vektor eine Steigung von 35 Grad besitzt. Mithilfe des Tangens können wir den Wert b ermitteln. Wir erhalten für b 0,70. Damit haben wir den Idealvektor bereits erstellt.
Jetzt müssen wir für die vier Lebkuchenarten eine Projektionsgerade aufstellen, die senkrecht auf dem Idealvektor steht. Alle vier Projektionsgeraden weisen die gleiche Steigung auf, die sich so berechnen lässt: Steigung = −1 / tan(35°). Das ergibt −1,43.
Nun benötigen wir noch die jeweiligen y-Achsenabschnitte der Projektionsgeraden. Dazu setzen wir einfach den Punkt A in die Gleichung ein und erhalten für A 6,15. Somit haben wir für A die Gerade erstellt. Dies muss auch für die restlichen Punkte gemacht werden. Damit haben wir folgende Projektionsgeraden für B, C und D: …
Jetzt können wir die Schnittpunkte der Projektionsgeraden und des Idealvektors berechnen. Dazu setzen wir einfach beide Geraden gleich. Bei A sieht das dann so aus: … Somit erhalten wir für den Wert x 2,89. Diesen setzen wir in eine der beiden Gleichungen ein. Somit bekommen wir auch die y-Koordinate von 2,02. Das müssen wir für alle anderen Punkte genauso machen.
Nun können wir die Distanzen der Schnittpunkte zum Nullpunkt ermitteln. Diese benötigen wir zur Berechnung der Kaufwahrscheinlichkeit bei einem Idealvektor. Wir verwenden wieder die Euklidmetrik, weshalb bei Punkt A die Distanz lautet: Wurzel aus 2,89² plus 2,02² = 3,52. Auch das müssen wir für die übrigen Schnittpunkte machen.
Jetzt haben wir alles, was nötig ist, um die Kaufwahrscheinlichkeit deiner Lebkuchen A zu berechnen. Wir setzen die Werte einfach ein und erhalten 0,3040.
Nun kannst du den Marktanteil deiner Lebkuchen ermitteln. Dafür multiplizieren wir die Kaufwahrscheinlichkeit des Segmentes mit dem Segmentanteil. Jetzt weißt du, dass du einen Marktanteil von 16,67 % erreichen kannst.
Marktforschung verstehen
Die multidimensionale Skalierung gehört zur Marktforschung und zeigt Abstände und Ähnlichkeiten zwischen Produkten im Markt. Wer sich mit Marktforschung beschäftigt, wertet Daten zu Kunden, Produkten und Kaufverhalten aus. So wird klar, wie sich Angebote im Markt unterscheiden und wie sich Zielgruppen einordnen lassen. Im Wirtschaftsbereich findest du passende Videos zu diesem und verwandten Themen.