μ-σ-Prinzip

μ-σ-Prinzip einfach erklärt

Gerade zu Beginn deiner Erfahrungen mit Investition und Finanzierung wirst du sehr häufig auf Modelle und Aufgaben treffen, in denen sichere Zahlungen unterstellt sind. Es herrscht also Sicherheit. Natürlich ist das in der Realität eher selten der Fall. Die Unsicherheit, die stattdessen vorherrscht, lässt sich sogar nochmals unterteilen.

Es gibt zum einen die vollkommene Ungewissheit, auch Risiko im weiteren Sinne genannt, bei der du keine Ahnung hast, mit welcher Wahrscheinlichkeit die verschiedenen Szenarien eintreten können. Und zum anderen gibt es das Risiko im engeren Sinne. Hier liegen dir die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Szenarien vor. Es gibt dabei objektive Wahrscheinlichkeiten, die zum Beispiel beim Lottospielen vorliegen, und subjektive Wahrscheinlichkeiten, die zum Beispiel beim Wetten auf den Champions-League-Sieger zum Einsatz kommen.

Hier schauen wir uns an, wie wir bei Unsicherheit im engeren Sinne den Nutzen von Finanztiteln anhand des μ-σ-Prinzip bewerten können. Die Bewertung von μ und σ mehrerer Investitionen erfolgt hier über die Risikopräferenzfunktion. Der Risikonutzen einer Investition ist gleich μ minus θ mal σ². θ beschreibt in diesem Fall die Risikoeinstellung des Entscheiders. μ und σ² sind wie immer Erwartungswert und Varianz.

Schauen wir uns das Vorgehen mal an einer Beispielaufgabe an. Du willst dich zwischen den beiden Investitionen A und B entscheiden. Beide haben eine einjährige Laufzeit und benötigen eine Anfangsinvestition von zwei Millionen Geldeinheiten. Investition A generiert mit gleicher Wahrscheinlichkeit ein Endvermögen in Höhe von 2,4 Millionen, 3,2 Millionen oder 4 Millionen Geldeinheiten. Investition B führt mit jeweils gleicher Wahrscheinlichkeit zum Endvermögen 2 Millionen, 3,8 Millionen oder 4,4 Millionen Geldeinheiten.

Bevor wir deine Risikopräferenzfunktion auf die beiden Investitionen anwenden können, müssen wir zunächst anhand der gegebenen Werte die Erwartungswerte und Varianzen der beiden Investitionen ermitteln. Für den Erwartungswert der Rendite von Investition A berechnen wir dafür zuerst für jedes mögliche Endvermögen die jeweilige Rendite der Investition. Dazu benutzen wir die Formel: Endvermögen minus Anfangsinvestition, geteilt durch Anfangsinvestition.

Wenn wir die Zahlen von Ausgangsmöglichkeit 1 bei Investition A einsetzen, also die Rendite R von Investition A bei Endvermögen 1 bestimmen, rechnen wir 2,4 minus 2 geteilt durch 2. Das Ergebnis ist 0,2, also gleich 20 %. Für die anderen beiden Möglichkeiten des Endvermögens ergeben sich die Renditen 60 % und 100 %. Für Investition B ergeben sich bei analoger Berechnung die Renditen 0 %, 90 % und 120 %.

Der Erwartungswert der Rendite einer Investition ergibt sich dann jeweils aus der Summe der Renditen, geteilt durch die Anzahl der Renditen. Für A erhalten wir also μ_rA gleich 0,2 plus 0,6 plus 1 geteilt durch 3 gleich 0,6. Für B ergibt sich analog der Erwartungswert 0,7.

Als nächstes müssen wir die Varianzen bestimmen. Die Varianz berechnest du bei gegebenen Renditewerten, indem du die jeweilige Gewichtung mal der quadrierten Abweichung des Renditewertes vom Erwartungswert berechnest und die Ergebnisse dann addierst. Wie in der Aufgabenstellung angegeben, ist das Eintreten der drei Endvermögenswerte gleich wahrscheinlich. Die Gewichtung ist also jeweils ein Drittel. Wenn wir die Werte einsetzen, ergibt sich für A eine Varianz von 0,1067. Bei Investition B ist die Varianz mit 0,26 deutlich höher.

Um jetzt zu bestimmen, welche Investition du als Entscheider wählen solltest, wenden wir deine Risiko-Nutzen-Funktion μ minus θ mal σ² an. In deinem Fall ist θ gleich 4, also größer 0. Das bedeutet, du bist risikoscheu. Du siehst die Varianz also nicht als Chance, eine höhere Rendite zu machen, sondern als Risiko, eine schlechtere Rendite zu machen. Dein Risikonutzen verkleinert sich also dadurch, dass viermal die Varianz vom Erwartungswert abgezogen wird.

Wärst du risikoneutral, wäre θ gleich 0 und dein Risikonutzen wäre gleich dem Erwartungswert der jeweiligen Investition. Und wärst du risikofreudig, wäre θ kleiner 0, also zum Beispiel minus 4. Dann würdest du — da Minus mal Minus Plus ergibt — zum Erwartungswert der Rendite die Varianz viermal dazu zählen. Dein Risikonutzen wäre dementsprechend größer als der Erwartungswert.

Wenn wir in unserem Beispiel jeweils den Erwartungswert und die Varianz einsetzen, ergeben sich die Risikonutzenwerte der Investitionen A und B, die bei der Anwendung deiner Nutzenfunktion entstehen. Investition A hat für dich den Risikonutzen 0,1732. Investition B hat, obwohl sie einen größeren Erwartungswert hat, aufgrund der größeren Varianz nur einen Risikonutzen von −0,34. Du würdest dich in unserem Beispiel also für die Investition A entscheiden.

Da Entscheider immer gemäß ihrer Risikoeinstellung entscheiden, bewerten sie die Situation natürlich auch unterschiedlich. Eine risikofreudige Person hätte in dieser Situation die Investition B gewählt, da diese für sie den größeren Risikonutzen hat. Eine risikofreudige Person geht aber zum Beispiel auch gerne mal ins Casino, während die risikoaverse Person am liebsten gar kein Risiko eingehen möchte. Wie du also sehen kannst, hängt die Entscheidung für oder gegen eine Investition oder Tätigkeit nicht nur mit den Zahlen, sondern auch mit der entscheidenden Person zusammen.

Übrigens: Anhand von typischen Risikopräferenzfunktionen lassen sich auch Indifferenzkurven konstruieren. An der y-Achse wird der Renditeerwartungswert in Prozent abgebildet und an der x-Achse die Standardabweichung in Prozent. Alle μ-σ-Kombinationen, die den gleichen Risikonutzen haben, liegen auf einer Kurve. Je weiter oben eine Indifferenzkurve liegt, desto größer ist der Risikonutzen der darauf liegenden μ-σ-Kombinationen. Das bedeutet, dass der Erwartungswert der Renditen zunimmt, gleichzeitig aber auch das Risiko für Schwankungen ansteigt.

Investitionsentscheidungen verstehen

Das μ-σ-Prinzip gehört zu Investitionsentscheidungen und zeigt den Zusammenhang von Rendite und Risiko. Wer sich mit Investitionsentscheidungen beschäftigt, vergleicht verschiedene Anlagen, ordnet Kennzahlen ein und wägt Chancen gegen Unsicherheit ab. Dabei wird klar, wie stark die eigene Risikoeinstellung wirtschaftliche Entscheidungen prägt. Im Wirtschaftsbereich findest du passende Videos zu diesem und verwandten Themen.