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Gleichungen lösen

Wichtige Inhalte in diesem Video

Was sind Gleichungen?

(00:11)

Lineare Gleichungen lösen

(00:48)

Quadratische Gleichungen lösen

(01:44)

Bruchgleichungen lösen

(02:55)

Du willst wissen, wie du Gleichungen lösen kannst? Alles rund um das Lösen von verschiedenen Gleichungen erfährst du hier und in unserem Video !

Inhaltsübersicht

Was sind Gleichungen?

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(00:11)

Gleichungen haben ein Gleichheitszeichen (=) in der Mitte. Die Teile links und rechts davon heißen Terme. Der Wert eines Terms links muss dem Wert rechts entsprechen, damit eine Gleichung wahr ist.

wahr: 3 + 4 = 7
falsch: 3 + 2 = 7

In so einer Gleichung können auch Buchstaben vorkommen. Das ist dann eine Gleichung mit Variablen. Eine Variable kann für jede beliebige Zahl stehen.

3 + x = 7

Wenn du Gleichungen lösen willst, musst du den Wert der Variable — also hier x — herausfinden. Da 3 + 4 = 7 ist, sieht die Lösung dann so aus:

x = 4

Welche Gleichungen gibt es?

Lineare Gleichungen: 3x + 5 = 14
Quadratische Gleichungen: 3x² + 5x + 2 = 0
Potenzgleichungen: x⁴= 16
Bruchgleichungen: $\frac{x + 5}{8} = \frac{2-2x}{3}$

Beim Lösen von Gleichungen ist dein Ziel, dass x auf einer Seite der Gleichung alleine steht. Wie das genau geht, lernst du jetzt.

Einfache Gleichungen lösen

Einfache Gleichungen, die du leicht nach x auflösen kannst, sehen beispielsweise so aus:

$\begin{align*} x + 5 &= 10 \\ 2 + x &= 3 \\ 9 - x &= 7 \\ \end{align*}$

Du kannst Gleichungen umstellen, indem du zum Beispiel auf beiden Seiten das Gleiche addierst ( + ), subtrahierst ( – ), multiplizierst ( · ) oder dividierst ( : ). Wenn du eine Gleichung so auf beiden Seiten veränderst, ohne dass sich ihr Wert ändert, nennst du das Äquivalenzumformung . Du musst dabei aber wirklich immer auf beiden Seiten genau das Gleiche rechnen!

Die Äquivalenzumformung machst du solange, bis x allein auf einer Seite steht. Beim Gleichungen nach x auflösen wie hier reichen erstmal Plus und Minus. Das sieht bei der ersten Gleichung dann so aus:

Beispiel 1:

$\begin{align*} x + 5 &= 10 \quad &| \ \textbf{\textcolor{teal}{- 5}} \\ x + 5\ \textbf{\textcolor{teal}{-\ 5}} &= 10\ \textbf{\textcolor{teal}{-\ 5}} \\ \textcolor{red}{x} &= 10\ \textbf{\textcolor{teal}{-\ 5}} = \textcolor{red}{5} \\ \end{align*}$

Dabei bildest du die Lösungsmenge , indem du geschweifte Klammern um die Lösung für x schreibst. Eine Lösungsmenge zeigt dir alle gültigen Lösungen für eine Gleichung an. Hier ist die Lösung $\textcolor{red}{x} = \textcolor{red}{5}$ , also lautet die Lösungsmenge

$\mathbb{L}=\{\textcolor{red}{5}\}$

Bei den anderen einfachen Gleichungen gehst du genauso vor. Führe jeweils eine Addition oder eine Subtraktion durch.

Beispiel 2:

$\begin{align*} 2 + x &= 3 \quad &| \ -2 \\ \textcolor{red}{x} &= 3 - 2 = \textcolor{red}{1} \longrightarrow \mathbb{L}=\{\textcolor{red}{1}\} \\ \end{align*}$

Beispiel 3:

$\begin{align*} 9 - x &= 7 \quad &| \ +x \ | \ -7 \\ \textcolor{red}{x} &=9 - 7 = \textcolor{red}{2} \longrightarrow \mathbb{L}=\{\textcolor{red}{2}\} \\ \end{align*}$

Kommen wir jetzt zu einem etwas schwierigeren Fall – den linearen Gleichungen.

Lineare Gleichungen lösen

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(00:48)

Lineare Gleichungen könnten zum Beispiel so aussehen:

$\begin{align*} 3x + 5 &= 14 \\ 12 - 4x &= 4 \\ \end{align*}$

Du siehst, dass jetzt vor x eine Zahl, also ein Faktor, steht. Das bedeutet, dass du beim lineare Gleichungen lösen beide Seiten der Gleichung durch den Faktor teilen musst.

Beispiel 1:

$\begin{align*} 3x + 5 &= 14 &| \ -5 \\ 3x &= 14 - 5 &| \ :3 \\ \textcolor{red}{x} &= 9 : 3 = \textcolor{red}{3} \longrightarrow \mathbb{L}=\{\textcolor{red}{3}\} \\ \end{align*}$

Beispiel 2:

$\begin{align*} 12 - 4x &= 4 &| \ - 12 \\ -\ 4x &= -8 &| \ : (-4) \\ \textcolor{red}{x} &= (-8) : (-4) = \textcolor{red}{2} \longrightarrow \mathbb{L}=\{\textcolor{red}{2}\} \\ \end{align*}$

Gleichungen mit Klammern lösen:

Als kleinen Sonderfall zeigen wir dir noch, wie du Gleichungen mit Klammern lösen kannst – das ist auch gar nicht schwer. Die Klammer rechnest du einfach nach den Regeln zu den Klammern aus.

$\begin{align*} 2 \cdot (3x + 5) &= 3 \\ 2 \cdot 3x + 2 \cdot 5 &= 3 \\ 6x + 10 &= 3 \quad &| \ - 10 \\ \end{align*}$

Jetzt musst du nur noch die Division durch den Faktor durchführen.

$\begin{align*} 6x &= -7 \quad &| \ : 6 \\ \textcolor{red}{x} &= \textcolor{red}{-\frac{7}{6}} \longrightarrow \mathbb{L}=\{\textcolor{red}{-\nicefrac{7}{6}}\} \\ \end{align*}$

Quadratische Gleichungen lösen

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(01:44)

Quadratische Gleichungen nennst du Gleichungen, die eine Zweierpotenz (oder ein Quadrat) von x enthalten. Das bedeutet, dass in ihnen x^2 bzw. $x \cdot x$ vorkommt. Diese Gleichungen sind also beide quadratische Gleichungen:

$\begin{align*} 3x^2 + 5x + 2&= 0 \\ x^2 &= 16 \\ \end{align*}$

Über die Mitternachtsformel (auch ABC-Formel) oder die pq-Formel kannst du quadratische Gleichungen lösen . Wir schauen uns das Ganze mit der Mitternachtsformel an. Die kannst du nur anwenden, wenn auf der rechten Seite der Gleichung = 0 steht. Wenn das nicht der Fall ist, musst du das, was rechts steht, auf beiden Seiten abziehen. Durch die Subtraktion bringst du es dann nach links. Die Lösungen, die du bei Gleichungen = 0 findest, nennst du auch Nullstellen. Die Mitternachtsformel lautet:

$x_{1{,}2} = \frac{ -\textcolor{blue}{b} \pm \sqrt{ \textcolor{blue}{b}^2 - 4\cdot \textcolor{violet}{a} \cdot \textcolor{orange}{c}}}{2 \cdot a}$

$\textcolor{violet}{a}$ , $\textcolor{blue}{b}$ und $\textcolor{orange}{c}$ sind dabei die Zahlen, die in der quadratischen Gleichung vor den drei verschiedenen Summenteilen stehen.

Beispiel 1:

Bei der ersten quadratischen Gleichung sind das $\textcolor{violet}{3}$ , $\textcolor{blue}{5}$ und $\textcolor{orange}{2}$ .

$\textcolor{violet}{3}x^2 + \textcolor{blue}{5}x + \textcolor{orange}{2}= 0$

Rechts vom steht bereits , also setzt du $\textcolor{violet}{a = 3}$ , $\textcolor{blue}{b = 5}$ und $\textcolor{orange}{c = 2}$ in die Mitternachtsformel ein.

$x_{1{,}2} = \frac{ - \textcolor{blue}{5} \pm \sqrt{ \textcolor{blue}{5}^2 - 4\cdot \textcolor{violet}{3} \cdot \textcolor{orange}{2}}}{2 \cdot \textcolor{violet}{3}}$

Wenn du jetzt im Zähler einmal Plus und einmal Minus rechnest, erhältst du Zahlenwerte für x_1 und x_2 .

$\textcolor{red}{x_1} = \textcolor{red}{-\frac{2}{3}}$

$\textcolor{red}{x_2} = \textcolor{red}{-1}$

Damit hast du die quadratische Gleichung fertig gelöst! Du hast bei quadratischen Gleichungen immer zwei Lösungen in der Lösungsmenge.

$\mathbb{L} = \{ \textcolor{red}{-1} \ ; \ \textcolor{red}{-\frac{2}{3}}\}$

Beispiel 2:

Bei der zweiten Gleichung x^2 = 16 ist das Gleichung auflösen einfacher. X steht links im Quadrat, also musst du auf beiden Seiten die Wurzel ziehen!

$\begin{align*} x^2 &= 16 \quad &|\ \sqrt{\phantom{m}} \\ \sqrt{x^2} &= \sqrt{16} \\ \textcolor{red}{x_1} &= \textcolor{red}{4} \\ \textcolor{red}{x_2} &= \textcolor{red}{-4} \\ \end{align*}$

Du hast wieder zwei Lösungen, weil du 16 bekommst, wenn du entweder -4 oder 4 quadrierst. Übrigens: auch hier könntest du die Mitternachtsformel anwenden. Rechts steht zwar nicht , aber du kannst 16 auf die linke Seite bringen, indem du es beidseitig abziehst. Dann hast du diese Gleichung:

x^2 - 16 = 0

Jetzt setzt du a = 1 , b = 0 und c = -16 in die Mitternachtsformel ein. Der Faktor ist b = 0 , weil kein zweiter Summand mit in der Gleichung vorkommt.

$\textcolor{red}{x_{1{,}2}} = \frac{ -0 \pm \sqrt{ 0^2 - 4\cdot 1 \cdot (-16)}}{2 \cdot 1} = \textcolor{red}{\pm 4}$

Die Lösungsmenge für die Gleichung ist damit:

$\mathbb{L} = \{\textcolor{red}{-4} \ ;\ \textcolor{red}{4}\}$

Bruchgleichungen lösen

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(02:55)

Bei Bruchgleichungen kann es sein, dass x im Nenner oder im Zähler steht – wir schauen uns dazu jeweils ein Beispiel an, wie du solche Gleichungen lösen kannst.

Beispiel 1:

$\frac{x + 5}{\textcolor{teal}{8}} = \frac{2-2x}{\textcolor{orange}{3}}$

Als Erstes möchtest du die Bruchstriche loswerden. Dazu multiplizierst du beide Seiten der Bruchgleichung mit dem Nenner der linken Seite, also $\textcolor{teal}{8}$ , und dem Nenner der rechten Seite, $\textcolor{orange}{3}$ .

$\begin{align*} \frac{x + 5}{\textcolor{teal}{8}} &= \frac{2-2x}{\textcolor{orange}{3}} \quad &| \ \cdot \textcolor{teal}{8} \ | \ \cdot \textcolor{orange}{3}\\ \frac{x + 5}{\textcolor{teal}{8}} \cdot \textcolor{teal}{8} \cdot \textcolor{orange}{3} &= \frac{2-2x}{3} \cdot \textcolor{orange}{3} \cdot \textcolor{teal}{8} \\ \end{align*}$

Nach der Multiplikation heben sich auf der linken Seite die dazu multiplizierte $\textcolor{teal}{8}$ und die $\textcolor{teal}{8}$ im Nenner auf; auf der rechten Seite ist es das Gleiche bei der $\textcolor{orange}{3}$ . So verschwinden die Brüche links und rechts. Dann vereinfachst du den Term soweit wie es geht – so, wie davor auch schon.

$\begin{align*} (x + 5) \cdot\ $\textcolor{orange}{3}$ &= (2-2x) \cdot \textcolor{teal}{8} \\ 3x + 15 &= 16 - 16x \quad &| \ +16x \ | \ -15 \\ 3x + 16x &= 16 - 15 \quad &| \ : 19 \\ \textcolor{red}{x} &= \textcolor{red}{\frac{1}{19}} \\ \end{align*}$

Damit ist die Lösungsmenge bei der Gleichung mit x im Zähler

$\mathbb{L} = \{\textcolor{red}{\frac{1}{19}}\}$

Beispiel 2:

Wie sieht es bei x im Nenner aus? Stell dir vor, du sollst folgende Gleichung lösen.

$\begin{align*} \frac{2}{3x} &= \frac{4}{7} \\ \end{align*}$

Jetzt multiplizierst du beide Seiten mit 3x, um 3x links aus dem Nenner zu bringen.

$\begin{align*} \frac{2}{3x} &= \frac{4}{7} \quad &|\ \cdot 3x \\ \frac{2}{3x} \cdot 3x &= \frac{4}{7} \cdot 3x \\ 2 &= \frac{12}{7} \cdot x \\ \end{align*}$

Löse die Gleichung, indem du $\frac{12}{7}$ von x entfernst. Dazu multiplizierst du beide Seiten der Bruchgleichung mit dem Kehrbruch $\frac{7}{12}$ .

$\begin{align*} 2 &= \frac{12}{7} \cdot x \quad &| \ \cdot \frac{7}{12} \\ 2 \cdot \frac{7}{12} &= \frac{12}{7} \cdot \frac{7}{12} \cdot x \\ \textcolor{red}{x} &= \frac{14}{12} = \textcolor{red}{\frac{7}{6}} \\ \end{align*}$

So kannst du eine Bruchgleichung nach x auflösen und erhältst hier als Lösungsmenge

$\mathbb{L} = \{\textcolor{red}{\frac{7}{6}}\}$

Polynome in Gleichungen lösen

Bei Gleichungen, die eine höhere Potenz als x^2 enthalten, ist das Gleichungen lösen nicht ganz so einfach. In so einem Fall sprichst du von einem Polynom dritten Grades oder höher – das bedeutet, dass die Gleichung x^3 oder eine noch höhere Potenz enthält. Dann benötigst du die Polynomdivision , um die Gleichungen lösen zu können.

Ein Polynom dritten Grades könnte so aussehen:

x^3 - 7x^2 + 14x - 8 = 0

Wenn du solche Gleichungen lösen willst, musst du sie so umschreiben, dass du nur noch eine quadratische Gleichungen zu lösen hast – das beherrscht du ja jetzt schon. Du schreibst die Gleichung um, indem du das Polynom dritten Grades durch einen seiner Linearfaktoren teilst, also die Polynomdivision durchführst. Ein Linearfaktor nimmt dabei immer die Form $(x - \text{Nullstelle})$ an. Die quadratische Gleichung, die nach der Polynomdivision übrig bleibt, kannst du wieder mit der Mitternachtsformel lösen. Die Lösung bzw. Nullstelle, die du für den Linearfaktor brauchst, findest du entweder durch Ausprobieren oder sie wird dir angegeben.

Wenn du genau wissen willst, wie du solche Gleichungen auflösen kannst, schau dir unbedingt unser Video zum Thema Polynomdivision an! Dort erklären wir dir auch nochmal ganz genau und in einzelnen Schritten, wie du die Polynomdivision in verschiedenen Fällen durchführst.

Gleichungen lösen — häufigste Fragen

Wie kann ich in Mathe Gleichungen auflösen?
Um eine Gleichung aufzulösen, musst du jede Rechnung auf beiden Seiten der Gleichung durchführen. Neben Addition und Subtraktion kann auch eine Multiplikation in der Gleichung vorkommen. Die kannst du auflösen, indem du auf beiden Seiten geteilt rechnest.
Was ist eine Gleichung Beispiele?
Eine Gleichung hat ein = in der Mitte. Der Term links davon muss gleich dem Term rechts vom = sein (z. B. 2 + 3 = 4 + 1). Kommen darin Buchstaben vor, sind das Gleichungen mit Variablen. Eine Variable kann für irgendeine Zahl stehen (z. B. 1 + x = 5).

Ungleichungen lösen

Jetzt weißt du also, wie du Gleichungen lösen kannst. Aber was musst du machen, wenn statt = ein Ungleichheitszeichen zwischen der linken und der rechten Seite eines Terms steht? Dann hast du es mit einer Ungleichung zu tun! Wir haben dazu ein eigenes Video für dich vorbereitet, in dem wir dir genau erklären, wie du beim Lösen von Ungleichungen vorgehen musst. Schau dir jetzt unbedingt noch unser Video zum Thema Ungleichungen lösen an!