Lineare Algebra

In diesem Beitrag erklären wir dir, welche verschiedenen Formen von Gleichungen es gibt und wie du diese Formen lösen kannst. %Schau dir auch unser Video dazu an, damit du Gleichungen lösen ganz schnell verstanden hast!

Inhaltsübersicht

Gleichungen lösen Erklärung 

Eine Gleichung besteht aus zwei Termen, die mit einem „=“-Zeichen verbunden sind. Das könnte zum Beispiel so aussehen:

3x - 2 =2x

Wie kann man Gleichungen lösen? Wenn du die Gleichung lösen willst, musst du einen Zahlenwert für die Variable – also hier x – herausfinden. Beim Lösen von Gleichungen ist also dein Ziel, dass x  auf einer Seite der Gleichung alleine steht:

x = 2 

Das machst du mithilfe der Äquivalenzumformung – wie das genau geht, und welche Regeln du beim Gleichungen lösen befolgen musst, lernst du im Folgenden.

Einfache Gleichungen lösen

Einfache Gleichungen, die du leicht nach x auflösen kannst, sehen beispielsweise so aus:

    \begin{align*} x + 5 &= 10 \\  2 + x &= 3 \\ 9 - x &= 7 \\ \end{align*}

Du kannst Gleichungen umstellen, indem du zum Beispiel auf beiden Seiten das Gleiche addierst ( + ), subtrahierst ( – ), multiplizierst ( · ) oder dividierst ( : ). Wenn du eine Gleichung so auf beiden Seiten veränderst, ohne dass sich ihr Wert ändert, nennst du das Äquivalenzumformung. Du musst dabei aber wirklich immer auf beiden Seiten genau das Gleiche rechnen! 

Die Äquivalenzumformung machst du solange, bis x allein auf einer Seite steht. Beim Lösen von Gleichungen wie hier reichen erstmal Plus und Minus. Das sieht bei der ersten Gleichung dann so aus:

Beispiel 1:

    \begin{align*} x + 5 &= 10 \quad &| \ \textbf{\textcolor{teal}{- 5}} \\ x + 5\ \textbf{\textcolor{teal}{-\ 5}} &= 10\ \textbf{\textcolor{teal}{-\ 5}} \\ \textcolor{red}{x} &= 10\ \textbf{\textcolor{teal}{-\ 5}} = \textcolor{red}{5}  \\   \end{align*}

Dabei bildest du die Lösungsmenge L, indem du geschweifte Klammern um die Lösung für x schreibst. Eine Lösungsmenge zeigt dir alle gültigen Lösungen für eine Gleichung an. Hier ist die Lösung \textcolor{red}{x} =  \textcolor{red}{5}, also lautet die Lösungsmenge

\mathbb{L}=\{\textcolor{red}{5}\}

Bei den anderen einfachen Gleichungen gehst du genauso vor. Führe jeweils eine Addition oder eine Subtraktion durch.

Beispiel 2:

    \begin{align*} 2 + x &= 3 \quad &| \ -2 \\ \textcolor{red}{x} &= 3 - 2 = \textcolor{red}{1} \longrightarrow \mathbb{L}=\{\textcolor{red}{1}\} \\ \end{align*}

Beispiel 3:

    \begin{align*} 9 - x &= 7 \quad &| \ +x \ | \ -7 \\ \textcolor{red}{x} &=9 - 7 = \textcolor{red}{2} \longrightarrow \mathbb{L}=\{\textcolor{red}{2}\} \\ \end{align*}

Kommen wir jetzt zu einem etwas schwierigeren Fall – den linearen Gleichungen.

Lineare Gleichungen lösen

Lineare Gleichungen könnten zum Beispiel so aussehen: 

    \begin{align*} 3x + 5 &= 14 \\  12 - 4x &= 4 \\ \end{align*}

Du siehst, dass jetzt vor x eine Zahl, also ein Faktor, steht. Das bedeutet, dass du beim Gleichungen lösen beide Seiten der Gleichung durch den Faktor teilen musst, um nach x auflösen zu können.

Beispiel 1:

    \begin{align*} 3x + 5 &= 14  &| \ -5 \\ 3x &= 14 - 5  &| \ :3 \\ \textcolor{red}{x} &= 9 : 3 = \textcolor{red}{3} \longrightarrow \mathbb{L}=\{\textcolor{red}{3}\}  \\ \end{align*}

Beispiel 2:

    \begin{align*} 12 - 4x &= 4  &| \ - 12 \\ -\ 4x &= -8  &| \ : (-4) \\ \textcolor{red}{x} &= (-8) : (-4) = \textcolor{red}{2} \longrightarrow \mathbb{L}=\{\textcolor{red}{2}\} \\ \end{align*}

Gleichungen mit Klammern lösen:

Als kleinen Sonderfall zeigen wir dir noch, wie du Gleichungen mit Klammern lösen kannst – das ist auch gar nicht schwer. Die Klammer rechnest du einfach nach den Regeln zu den Klammern aus.

    \begin{align*} 2 \cdot (3x + 5) &= 3 \\ 2 \cdot 3x + 2 \cdot 5 &= 3 \\ 6x + 10 &= 3 \quad &| \ - 10 \\ \end{align*}

Jetzt musst du nur noch die Division durch den Faktor durchführen.

    \begin{align*} 6x &= -7 \quad &| \ : 6 \\ \textcolor{red}{x} &= \textcolor{red}{-\frac{7}{6}} \longrightarrow \mathbb{L}=\{\textcolor{red}{-\nicefrac{7}{6}}\} \\ \end{align*}

Quadratische Gleichungen lösen

Quadratische Gleichungen nennst du Gleichungen, die eine Zweierpotenz (oder ein Quadrat) von x enthalten. Das bedeutet, dass in ihnen x^2 bzw. x \cdot x vorkommt. Diese Gleichungen sind also beide quadratische Gleichungen:

    \begin{align*} 3x^2 + 5x + 2&= 0 \\  x^2 &= 16 \\ \end{align*}

Über die Mitternachtsformel (auch ABC-Formel) oder die pq-Formel kannst du quadratische Gleichungen lösen. Wir schauen uns das Ganze mit der Mitternachtsformel an. Die kannst du nur anwenden, wenn auf der rechten Seite der Gleichung = 0 steht. Wenn das nicht der Fall ist, musst du das, was rechts steht, auf beiden Seiten abziehen. Durch die Subtraktion bringst du es dann nach links. Die Lösungen, die du bei Gleichungen = 0 findest, nennst du auch Nullstellen. Die Mitternachtsformel lautet:

x_{1{,}2} = \frac{ -\textcolor{blue}{b} \pm \sqrt{ \textcolor{blue}{b}^2 - 4\cdot \textcolor{violet}{a} \cdot \textcolor{orange}{c}}}{2 \cdot a}

\textcolor{violet}{a}, \textcolor{blue}{b} und \textcolor{orange}{c} sind dabei die Zahlen, die in der quadratischen Gleichung vor den drei verschiedenen Summenteilen stehen.

Beispiel 1:

Bei der ersten quadratischen Gleichung sind das \textcolor{violet}{3}, \textcolor{blue}{5} und \textcolor{orange}{2}.

\textcolor{violet}{3}x^2 + \textcolor{blue}{5}x + \textcolor{orange}{2}= 0 

Rechts vom = steht bereits 0, also setzt du \textcolor{violet}{a = 3}, \textcolor{blue}{b = 5} und \textcolor{orange}{c = 2} in die Mitternachtsformel ein.

x_{1{,}2} = \frac{ - \textcolor{blue}{5} \pm \sqrt{ \textcolor{blue}{5}^2 - 4\cdot \textcolor{violet}{3} \cdot \textcolor{orange}{2}}}{2 \cdot \textcolor{violet}{3}}

Wenn du jetzt im Zähler einmal Plus und einmal Minus rechnest, erhältst du Zahlenwerte für x_1 und x_2.

\textcolor{red}{x_1} = \textcolor{red}{-\frac{2}{3}}

\textcolor{red}{x_2} = \textcolor{red}{-1}

Damit hast du die quadratische Gleichung fertig gelöst! Du hast bei quadratischen Gleichungen immer zwei Lösungen in der Lösungsmenge. 

\mathbb{L} = \{ \textcolor{red}{-1} \ ; \ \textcolor{red}{-\frac{2}{3}}\}

Beispiel 2:

Bei der zweiten Gleichung x^2 = 16 ist das Gleichung auflösen einfacher. X steht links im Quadrat, also musst du auf beiden Seiten die Wurzel ziehen!

    \begin{align*} x^2 &= 16 \quad &|\ \sqrt{\phantom{m}} \\ \sqrt{x^2} &= \sqrt{16} \\ \textcolor{red}{x_1} &= \textcolor{red}{4} \\ \textcolor{red}{x_2} &= \textcolor{red}{-4} \\ \end{align*}

Du hast wieder zwei Lösungen, weil du 16 bekommst, wenn du entweder -4 oder 4 quadrierst. Übrigens: auch hier könntest du die Mitternachtsformel anwenden. Rechts steht zwar nicht =0, aber du kannst 16 auf die linke Seite bringen, indem du es beidseitig abziehst. Dann hast du diese Gleichung:

x^2 -  16 = 0

Jetzt setzt du a = 1, b = 0 und c = -16 in die Mitternachtsformel ein. Der Faktor b = 0, weil kein zweiter Summand mit x in der Gleichung vorkommt.

\textcolor{red}{x_{1{,}2}} = \frac{ -0 \pm \sqrt{ 0^2 - 4\cdot 1 \cdot (-16)}}{2 \cdot 1} = \textcolor{red}{\pm 4}

Die Lösungsmenge für die Gleichung ist damit:

\mathbb{L} = \{\textcolor{red}{-4} \ ;\ \textcolor{red}{4}\}

Bruchgleichungen lösen

Bei Bruchgleichungen kann es sein, dass x im Nenner oder im Zähler steht – wir schauen uns dazu jeweils ein Beispiel an, wie du solche Gleichungen lösen kannst.

Beispiel 1: 

\frac{x + 5}{\textcolor{teal}{8}} = \frac{2-2x}{\textcolor{orange}{3}}

Als Erstes möchtest du die Bruchstriche loswerden. Dazu multiplizierst du beide Seiten der Bruchgleichung mit dem Nenner der linken Seite, also \textcolor{teal}{8}, und dem Nenner der rechten Seite, \textcolor{orange}{3}.

    \begin{align*} \frac{x + 5}{\textcolor{teal}{8}} &= \frac{2-2x}{\textcolor{orange}{3}} \quad &| \ \cdot \textcolor{teal}{8} \ | \ \cdot \textcolor{orange}{3}\\ \frac{x + 5}{\textcolor{teal}{8}} \cdot \textcolor{teal}{8} \cdot \textcolor{orange}{3} &= \frac{2-2x}{3} \cdot \textcolor{orange}{3} \cdot \textcolor{teal}{8} \\ \end{align*}

Nach der Multiplikation heben sich auf der linken Seite die dazu multiplizierte \textcolor{teal}{8} und die \textcolor{teal}{8} im Nenner auf; auf der rechten Seite ist es das Gleiche bei der \textcolor{orange}{3}. So verschwinden die Brüche links und rechts. Dann vereinfachst du den Term soweit wie es geht – so, wie davor auch schon.

    \begin{align*} (x + 5) \cdot\ $\textcolor{orange}{3}$ &= (2-2x) \cdot \textcolor{teal}{8} \\ 3x + 15 &= 16 - 16x \quad &| \ +16x \ | \ -15 \\ 3x + 16x &= 16 - 15 \quad &| \ : 19 \\ \textcolor{red}{x} &= \textcolor{red}{\frac{1}{19}} \\ \end{align*}

Damit ist die Lösungsmenge bei der Gleichung mit x im Zähler

\mathbb{L} = \{\textcolor{red}{\frac{1}{19}}\}

Beispiel 2: 

Wie sieht es bei x im Nenner aus? Stell dir vor, du sollst folgende Gleichung lösen.

    \begin{align*} \frac{2}{3x} &= \frac{4}{7} \\  \end{align*}

Jetzt multiplizierst du beide Seiten mit 3x, um 3x links aus dem Nenner zu bringen.

    \begin{align*} \frac{2}{3x} &= \frac{4}{7} \quad &|\ \cdot 3x \\ \frac{2}{3x} \cdot 3x &= \frac{4}{7} \cdot 3x \\ 2 &= \frac{12}{7} \cdot x \\ \end{align*}

Löse die Gleichung, indem du \frac{12}{7} von x entfernst. Dazu multiplizierst du beide Seiten der Bruchgleichung mit dem Kehrbruch \frac{7}{12}%Ist der letzte Satz ein Longtail? Der wirkt etwas schroff Ansonsten wäre mir etwas wie "multiplizierst du mit dem Kehrbruch und rechnest das Ganze aus" lieber %ja das ist ein longtail :D finds auch ziemlich hart, habs geändert

    \begin{align*} 2 &= \frac{12}{7} \cdot x \quad &| \ \cdot \frac{7}{12} \\ 2 \cdot \frac{7}{12} &= \frac{12}{7} \cdot \frac{7}{12} \cdot x \\ \textcolor{red}{x} &= \frac{14}{12} = \textcolor{red}{\frac{7}{6}} \\  \end{align*}

So kannst du eine Bruchgleichung nach x auflösen und erhältst hier als Lösungsmenge

\mathbb{L} = \{\textcolor{red}{\frac{7}{6}}\}

Schwierigere Gleichungen lösen 

Bei Gleichungen, die eine höhere Potenz als x^2 enthalten, ist das Gleichungen lösen nicht ganz so einfach. In so einem Fall sprichst du von einem Polynom dritten Grades oder höher – das bedeutet, dass die Gleichung x^3 oder eine noch höhere Potenz enthält. Dann benötigst du die Polynomdivision , um die Gleichungen lösen zu können.

Ein Polynom dritten Grades könnte so aussehen:

x^3 - 7x^2 + 14x - 8 = 0

Wenn du solche Gleichungen lösen willst, musst du sie so umschreiben, dass du nur noch eine quadratische Gleichungen zu lösen hast – das beherrscht du ja jetzt schon. Du schreibst die Gleichung um, indem du das Polynom dritten Grades durch einen seiner Linearfaktoren teilst, also die Polynomdivision durchführst. Ein Linearfaktor nimmt dabei immer die Form (x - \text{Nullstelle}) an. Die quadratische Gleichung, die nach der Polynomdivision übrig bleibt, kannst du wieder mit der Mitternachtsformel lösen. Die Lösung bzw. Nullstelle, die du für den Linearfaktor brauchst, findest du entweder durch Ausprobieren oder sie wird dir angegeben.

%Wenn du genau wissen willst, wie du solche Gleichungen auflösen kannst, schau dir unbedingt unser Video zum Thema Polynomdivision an! Dort erklären wir dir auch nochmal ganz genau und in einzelnen Schritten, wie du die Polynomdivision in verschiedenen Fällen durchführst. 

%Thumbnail %wobei das Thumbnail glaube ich dann hier gefährlich ist, weil es Ungleichungen lösen abschneidet, also würde ich es weglassen

Ungleichungen lösen

Jetzt weißt du also, wie du Gleichungen lösen kannst. Aber was musst du machen, wenn statt = ein Ungleichheitszeichen zwischen der linken und der rechten Seite eines Terms steht? Dann hast du es mit einer Ungleichung zu tun! Wir haben dazu ein eigenes Video für dich vorbereitet, in dem wir dir genau erklären, wie du beim Lösen von Ungleichungen vorgehen musst. Schau dir jetzt unbedingt noch unser Video zum Thema Ungleichungen lösen an! %Verweis, Verweis mit Thumbnail

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