Algebra
Lösungsformeln für quadratische Gleichungen
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Quadratische Gleichungen lösen kannst du auf viele verschiedene Arten und Weisen. Wie du welche quadratische Gleichung am leichtesten löst, erfährst du in unserem Beitrag% und in unserem Video.

Quadratische Gleichungen lösen

Wenn du quadratische Gleichungen lösen willst, hilft dir eine einfache Lösungsformel:

pq-Formel

    \[\mathbf{x_{1,2}=-\cfrac{\textcolor{red}{p}}{2}\pm\sqrt{\left(\cfrac{\textcolor{red}{p}}{2}\right)^2-\textcolor{blue}{q}}}\]

Du hast also eine quadratische Gleichung in der folgenden Form gegeben:

xpx + = 0

Dann setzt du p und q einfach in die Formel ein und erhältst die Lösung. Schau dir dafür gleich ein Beispiel an:

x28– 20 = 0

Hier setzt du einfach für p gleich 8 und für q gleich -20 ein:

    \[x_{1,2}=-\cfrac{\textcolor{red}{p}}{2}\pm\sqrt{\left(\cfrac{\textcolor{red}{p}}{2}\right)^2-\textcolor{blue}{q}}=-\cfrac{\textcolor{red}{8}}{2}\pm\sqrt{\left(\cfrac{\textcolor{red}{8}}{2}\right)^2-\left(\textcolor{blue}{-20}\right)}\]

Wenn du das im Taschenrechner eingibst, bekommst du direkt die Lösung:

    \[x_{1}=2\quad x_{2}=-10\]

Du übst das am besten mit einem weiteren Beispiel.

Quadratische Gleichung lösen mit pq – Formel

Die pq-Formel bestimmt genau dann deine Lösungsmenge quadratische Gleichung, wenn die Gleichung in der folgenden Form gegeben ist:

xpx + = 0

Wichtig ist, dass vor dem x2 keine Zahl oder nur eine 1 steht.

Dann kannst du p und q einfach in die untere Formel einsetzen:

    \[x_{1,2}=-\cfrac{\textcolor{red}{p}}{2}\pm\sqrt{\left(\cfrac{\textcolor{red}{p}}{2}\right)^2-\textcolor{blue}{q}}\]

Probier‘ dann gleich mal die Gleichung zu lösen:

x+ 10x + 25 = 0

Du musst zuerst p und q rausfinden. Dabei steht p vor dem einfachen x und q steht ohne x da. Also ist p gleich 10 und q gleich 25. Jetzt musst du die Zahlen nur noch in die quadratische Formel einsetzen und ausrechnen:

    \[x_{1,2}=-\cfrac{\textcolor{red}{{p}}}{2}\pm\sqrt{\left(\cfrac{\textcolor{red}{p}}{2}\right)^2-\textcolor{blue}{q}}=-\cfrac{\textcolor{red}{10}}{2}\pm\sqrt{\left(\cfrac{\textcolor{red}{10}}{2}\right)^2-\textcolor{blue}{25}}=-5\pm\sqrt{25-25}=-5\pm0=-5\]

Diese quadratische Gleichung hat nur eine Lösung und die lautet -5. Aber kannst du solche Gleichungen auch ohne Formel lösen?

Quadratische Gleichungen lösen Ausklammern

Wenn du keine Zahl ohne x hast, kannst du ausklammern . Da hat deine quadratische Gleichung nämlich kein Restglied (Absolutglied).  Das ist der Fall, wenn dein Absolutglied gleich 0 ist:

     x2 5x = 0 

x · (x5) = 0

Jetzt versuchst du, jeweils einen der beiden Faktoren gleich Null zu setzen. Nach dem Satz vom Nullprodukt  ist nämlich die ganze Gleichung Null, wenn ein Faktor Null ist:

       x1 = 0

x2 5 = 0

Also ist die erste Lösung der Gleichung schonmal 0 und bei der zweiten Gleichung erhältst du die Lösung durch Umformen:

x2 5 = 0

      x2 = 5

Also ist deine zweite Lösung gleich 5

Merke 

Du kannst nur quadratische Gleichungen ausklammern, wenn du kein Restglied hat. Es darf also keine Zahl ohne x in der Gleichung stehen.

Aber was machst du, wenn du eine Gleichung ohne einzelnes x lösen musst?

Reinquadratische Gleichungen lösen

Quadratische Gleichungen, in denen nur ein x2 und kein einzelnes x steht, nennst du reinquadratische Gleichungen. Du kannst sie mit Hilfe der Wurzel lösen. Schau dir dazu das Beispiel an:

x2 = 25

Wenn du die Lösung der quadratischen Gleichung bestimmen willst, musst du nur die Wurzel ziehen:

x2 = 25

    \[\textcolor{red}{x_{1,2}}=\pm\sqrt{\textcolor{blue}{25}}\]

Das \pm vor der Wurzel bedeutet, dass du zwei Lösungen hast, eine positive und eine negative Lösung:

x1 = +5

x2 = -5

Merke

Wenn du nur ein x2 in deiner quadratischen Gleichung stehen hast, kannst du die Gleichung durch einfaches Wurzelziehen lösen.

Aber es gibt auch rein quadratische Gleichungen, die keine Lösung haben. Das ist immer dann der Fall, wenn auf der anderen Seite der Gleichung etwas negatives steht:

x2 = -12

Du kannst nämlich nicht die Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen. Hier hast du eine leere Lösungsmenge: L = \emptyset

Wie sieht es aber  aus, wenn du eine Gleichung mit einer Zahl vor x2  lösen musst, die nicht 1 ist?

Quadratische Gleichungen lösen abc Formel

Wenn eine Zahl vor dem x2  steht, kannst du die abc Formel (Mitternachtsformel) benutzen:

    \[x_{1,2}=\cfrac{-\textcolor{red}{b}\pm\sqrt{\textcolor{red}{b}^2-4\textcolor{olive}{a}\textcolor{blue}{c}}}{2\textcolor{olive}{a}}\]

Damit löst du eine quadratische Gleichung in der folgenden Form:

ax2bx + c = 0

Schau dir als Beispiel die Gleichung an:

4x232x+ 64 = 0

Für die Lösungsmenge quadratische Gleichung setzt du für a gleich 4, für b gleich 32 und für c gleich 64 in die quadratische Formel ein:

    \[x_{1,2}=\cfrac{-\textcolor{red}{b}\pm\sqrt{\textcolor{red}{b}^2-4\textcolor{olive}{a}\textcolor{blue}{c}}}{2\textcolor{olive}{a}}=\cfrac{-\textcolor{red}{32}\pm\sqrt{\textcolor{red}{32}^2-4\cdot\textcolor{olive}{4}\cdot\textcolor{blue}{64}}}{2\cdot\textcolor{olive}{4}}=\cfrac{-32\pm\sqrt{0}}{16}=-4\]

Du hast also nur eine Lösung, weil unter der Wurzel eine Null steht. x ist also gleich -4. 

Merke

Wenn du eine Zahl vor xstehen hast, benutzt du die abc Formel.

Aber nicht nur bei einfachen Gleichungen beschäftigst du dich mit der Lösung von quadratischen Gleichungen.

Quadratische Funktionen lösen

Wenn du eine quadratische Funktion gegeben hast, musst du häufig deren Nullstelle bestimmen:

f(x) = 9x2 + 12x – 5

Wo liegen die Nullstellen der Funktion f? Dafür setzt du die Funktion erstmal mit 0 gleich:

9x2 + 12x – 5 = 0

Jetzt kannst du genauso vorgehen wie davor. Dir hilft eine der oberen Formeln: die abc Formel. Du setzt 9 für a, 12 für b und -5 für c ein und erhältst:

    \[x_{1,2}=\cfrac{-\textcolor{red}{b}\pm\sqrt{\textcolor{red}{b}^2-4\textcolor{olive}{a}\textcolor{blue}{c}}}{2\textcolor{olive}{a}}=\cfrac{-\textcolor{red}{12}\pm\sqrt{\textcolor{red}{12}^2-4\textcolor{olive}{9}\textcolor{blue}{-5}}}{2\cdot\textcolor{olive}{9}}=\cfrac{-12\pm\sqrt{324}}{18}=\cfrac{-12\pm18}{18}\]

Wegen dem \pm hast du zwei verschiedene Lösungen:

    \[x_{1}=\cfrac{-12+18}{18}=\cfrac{1}{3}\]

    \[x_2=\cfrac{-12-18}{18}=-\cfrac{5}{3}\]

Deine Nullstellen deiner Parabel lauten also:

    \[x_{1}=\cfrac{1}{3}\]

    \[x_2=-\cfrac{5}{3}\]

Merke

Du siehst also, dass Quadratische Funktionen lösen genauso funktioniert wie das Lösen von quadratischer Gleichungen.

Satz von Vieta

Jetzt kennst du verschiedene Möglichkeiten quadratische Gleichungen zu lösen. Wenn du einen coolen Zusammenhang zwischen der Lösung von quadratischen Gleichungen sehen willst, ist der Satz von Vieta genau das Richtige für dich. Schau dir doch gleich unser Video dazu an. 

Zum Video: Satz von Vieta
Zum Video: Satz von Vieta

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