Analysis

Satz von Vieta

Du möchtest das Wichtigste zum Satz von Vieta in kurzer Zeit erfahren? Dann bist du bei uns goldrichtig. In diesem Beitrag erfährst du, was der Satz von Vieta aussagt und wie du ihn anwendest.

Bevor du loslegst, legen wir dir unser Video zum Satz von Vieta ans Herzen, denn die Kombination aus Lesen und audiovisueller Animation erleichtert dir das Lernen. 

Inhaltsübersicht

Satz von Vieta einfach erklärt

Der Satz von Vieta (auch Wurzelsatz von Vieta) erlaubt es dir, in manchen Situationen die Nullstellen einer quadratischen Funktion im Kopf zu berechnen. Die Nullstellen einer quadratischen Funktion heißen auch die Lösungen einer quadratischen Gleichung . Der Satz von Vieta lässt sich folgendermaßen formulieren

Satz von Vieta

Sind p und q die Koeffizienten der quadratischen Gleichung

x2 + px + q = 0

und x1 und x2 deren Lösungen, dann gilt

x_1\cdot x_2 = q und

x1 + x2 = -p.

 

Eine kurze Illustration sollte dich von der Gültigkeit vom Satz von Vieta überzeugen. Im folgenden Bild siehst du drei quadratische Funktionen und ihre Nullstellen (die Punkte A bis E). Es gilt

  • f(x) = x^2 = x^2 + 0x + 0 (rot) hat die zweifache Nullstelle x_1 = x_2 = 0. Es ist -p = -0 = 0 + 0 und q = 0 = 0 \cdot 0.
  • f(x) = x^2 - 5x + 4 (blau) hat die Nullstellen x_1 = 1 und x_2 = 4. Es ist -p = -(-5) = 5 = 1 + 4 und q = 4 = 1 \cdot 4.
  • f(x) = x^2 + 7x + 10 (grün) hat die Nullstellen x_1 = -5 und x_2 = -2. Es ist -p = -7 = -5 + (-2) und q = 10 = (-5) \cdot (-2).
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Illustration zur Gültigkeit des Satzes von Vieta.

Satz von Vieta Anwendungen

Der Satz von Vieta hat verschiedene interessante Anwendungsmöglichkeiten. In diesem Abschnitt stellen wir dir diese Anwendungen vor und zeigen dir jeweils ein Beispiel.

Um den Satz von Vieta anwenden zu können, musst du eine quadratische Gleichung in Normalform vorliegen haben. Hast du hingegen eine Gleichung in allgemeiner Form ax^2 + bx + c = 0 gegeben, dann musst du diese zunächst auf Normalform bringen. Das Umstellen von einer allgemeinen quadratischen Gleichung zu einer in Normalform ist nicht allzu kompliziert und das zeigen wir dir kurz. 

Eine allgemeine quadratische Gleichung hat die Form

ax2 + bx + c = 0.

Durch dividieren von a erhalten wir

x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0.

Wenn wir nun die Festlegungen p = \frac{b}{a} und q = \frac{c}{a} vereinbaren, führt das auf

x^2 + px + q = 0. 

Das ist gerade die zur allgemeinen quadratischen Gleichung dazugehörige Normalform. Da du nun die quadratische Gleichung auf Normalform gebracht hast, kannst du den Satz von Vieta auf sie anwenden.

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Nullstellen überprüfen

Der Satz von Vieta erlaubt es Nullstellen zu überprüfen. Nehmen wir dazu an, dass du eine quadratische Funktion f(x) hast und du möchtest gerne erfahren, ob zwei Zahlen x_1 und x_2 Nullstellen dieser quadratischen Funktion sind. In anderen Worten, möchtest du bestimmen, ob x_1 und x_2 die Gleichung

x2 + px + q = 0

erfüllen. Hierzu rechnest du gemäß dem Satz von Vieta mit x_1 und x_2 das folgende aus

x_1 \cdot x_2 = q und

x_1 + x_2 = -p.

Stimmen beide Gleichungen, sind die Bedingungen des Satz von Vieta erfüllt und x_1 und x_2 sind tatsächlich Lösungen der quadratischen Gleichung.

Schauen wir uns hierzu ein kleines Beispiel an. Wir betrachten die quadratische Gleichung

x^2 + x - 12 = 0.

Hier ist p=1 und q=-12. Nun wollen wir wissen, ob x1 = 3 und x2 = -4 unsere Gleichung lösen. Dazu berechnen wir

x_1 \cdot x_2 = 3 \cdot (-4) = - 12 = q und

x_1 + x_2 = 3 + (-4) = -(1) = -p.

Beide Gleichungen sind erfüllt und somit sind x_1 und x_2 Lösungen unserer quadratischer Gleichung.

Quadratische Gleichung bestimmen

Der Satz von Vieta findet Anwendung bei der Bestimmung quadratischer Gleichungen. Lass uns vereinbaren, dass wir zwei Zahlen x_1 und x_2 haben und uns interessieren, von welcher quadratischen Gleichung diese zwei Zahlen die Lösung sein könnten. Der Satz von Vieta ermöglicht es uns, aus diesen zwei Zahlen die dazugehörige Gleichung zu bestimmen. Das geht wie folgt

Vorgehen

  • Schritt 1: Zunächst berechnest du 

x_1 \cdot x_2 und

x_1 + x_2.

  • Schritt 2: Das Produkt der beiden Zahlen notierst du dir als den Koeffizienten q und das Negative der Addition als den Koeffizienten p.
  • Schritt 3: Die von dir notierten Koeffizienten setzt du in die Normalform der quadratischen Gleichung x2 + px + q = 0 ein.
  • Schritt 4: Setze die zwei Zahlen x_1 und x_2 in die gefundene quadratische Gleichung, um zu überprüfen, dass du keine Rechenfehler gemacht hast.

Beispiel

Schauen wir uns dazu ein Beispiel an. Wir haben die zwei Zahlen x1 = -7 und x2 = 4 und möchten die quadratische Gleichung bestimmen. 

Im ersten Schritt berechnen wir

x_1 \cdot x_2 = (-7) \cdot 4 = -28 und

x_1 + x_2 = (-7) + 4 = -3.

Im zweiten Schritt notieren wir uns die Koeffizienten

q = x_1 \cdot x_2 = -28 und

-p = x_1 + x_2 = -3 \quad \Rightarrow \quad p = 3.

Anschließend im dritten Schritt setzen wir die Koeffizienten in die Normalform der quadratischen Gleichung ein und erhalten

x^2 + 3x - 28 = 0.

Im vierten Schritt überprüfen wir, ob wir keine Rechenfehler gemacht haben. Dazu setzen wir unsere zwei Zahlen x_1 und x_2  in die von uns bestimmte Gleichung ein. Wir erhalten

(-7)^2 + 3 \cdot (-7) - 28 = 0 für x_1=-7

(4)^2 + 3 \cdot (4) - 28 = 0 für x_2=4.

Somit ist unsere gefundene Gleichung tatsächlich die quadratische Gleichung, für die unsere zwei Zahlen x_1 und x_2 eine Lösung sind.

Ganzzahlige Nullstellen berechnen

Mit dem Satz von Vieta kannst du auch Nullstellen berechnen. Wir befinden uns also in der Situation, dass wir eine quadratische Gleichung in Normalform gegeben haben und uns für die Lösungen interessieren. 

Vorgehen

In diesem Fall muss man die Lösungen x_1 und x_2 durch Probieren bestimmen. Die Vorgehensweise könnte folgendermaßen aussehen

  • Schritt 1: Du notierst dir von deiner quadratischen Gleichung x^2 + px + q = 0 die Koeffizienten p und q
  • Schritt 2: Der Satz von Vieta sagt uns, dass x_1 und x_2 Teiler von q sind. Du notierst dir alle diese Teiler und erhältst immer ein Paar von Zahlen (x_1, x_2).
  • Schritt 3: Für jedes Paar bestimmst du deren Summe und überprüfst, ob diese Summe gleich -p ist (beachte das Minuszeichen). Ist für ein Paar die Gleichung erfüllt, dann sind diese zwei Zahlen die gesuchten Lösungen.

Beispiel 1

Lass uns dafür wieder ein Beispiel ansehen. Wir haben die quadratische Gleichung

x2 – 7x – 8 = 0 

und möchten die dazugehörigen Lösungen mit Hilfe des Satz von Vieta bestimmen. 

Im ersten Schritt notieren wir uns die Koeffizienten. In diesem Fall haben wir p = -7 und q = -8.

Dann im zweiten Schritt notieren wir uns alle Teiler von q = -8. Wir erhalten hier

Paar 1 = (1, -8), denn 1 \cdot (-8) = -8.

Paar 2 = (-1, 8), denn (-1) \cdot 8 = -8,

Paar 3 = (2, -4), denn 2 \cdot (-4) = -8 und

Paar 4 = (-2, 4), denn (-2) \cdot 4 = -8.

Im dritten Schritt berechnen wir für jedes Paar die Summe der beiden Zahlen. Hier bekommen wir

Summe Paar 1 = 1 + (-8) = -7,

Summe Paar 2 = -1 + 8 = 7,

Summe Paar 3 = 2 + (-4) = -2 und

Summe Paar 4 = -2 + 4 = 2.

Das zweite Paar erfüllt die Gleichung x_1 + x_2 = -p, denn -p = -(-7) = 7. Somit sind die Zahlen x_1 = -1 und x_2 = 8 die gesuchten Lösungen der quadratischen Gleichung.

Beispiel 2

Gegeben ist die quadratische Gleichung

x2 – 3x -54 = 0

und wir möchten die dazugehörigen Lösungen finden. Wir verwenden dafür den Satz von Vieta.

Im ersten Schritt notieren wir uns die Koeffizienten. Wir bekommen p = -3 und q = -54.

Durch den Satz von Vieta wissen wir, dass die zwei Lösungen Teiler von q sind. Deshalb bestimmen wir im zweiten Schritt alle Teiler. Wir organisieren das in einer Tabelle, die folgendermaßen aussehen kann

Tabelle mit allein Teilern von q = -54.
Paar x_1 x_2
Paar 1 1 -54
Paar 2 -1 54
Paar 3 6 -9
Paar 4 -6 9
Paar 5 2 -27
Paar 6 -2 27
Paar 7 3 -18
Paar 8 -3 18

Beachte, dass uns hier die Reihenfolge nicht interessiert. Für uns ist beispielsweise Paar 1 = (1, -54) gleich dem Paar (-54, 1).

Ebenfalls teilt uns der Satz von Vieta mit, dass zwei Zahlen nur dann eine Lösungen sein können, wenn deren Summe gleich -p ist. Wir ergänzen im dritten Schritt daher zur Tabelle eine weitere Spalte, in der wir die Summe der zwei Zahlen eines Paars berechnen. Das sieht dann wie folgt aus

Tabelle mit der jeweiligen Summe jedes Paars an Teilern.
Paar x_1 x_2 Summe
Paar 1 1 -54 -53
Paar 2 -1 54 53
Paar 3 6 -9 -3
Paar 4 -6 9 3
Paar 5 2 -27 -25
Paar 6 -2 27 25
Paar 7 3 -18 -15
Paar 8 -3 18 15

Der Vergleich mit -p = -(-3) = 3 zeigt uns, dass das Paar 4 beide Bedingungen des Satz von Vieta erfüllt. Somit sind die Zahlen x_1 = -6 und x_2 = 9 Lösungen unserer Gleichung.

Satz von Vieta Fazit

Wir haben ein etwas längliches Beispiel ausgesucht, um zwei Probleme beim Bestimmen von Lösungen mit dem Satz von Vieta zu verdeutlichen. Erstens kann der Koeffizient q viele Teiler besitzen und diese alle zu bestimmen, kann eine gewisse Zeit erfordern. Zweitens muss man, auch wenn es sich nur um Addition und Multiplikation handelt, viele kleine Rechnungen machen. Dabei kann es leicht vorkommen, dass man sich verrechnet oder ein Vorzeichen verdreht. Insgesamt ist daher der Satz von Vieta nur für sehr leichte quadratische Gleichungen empfehlenswert oder, wenn man einfach mit solchen Gleichungen spielen möchte. Bist du also in einer Prüfung mit der Aufgabe konfrontiert, die Lösungen einer quadratischen Gleichung zu finden, dann sind die Methoden der pq-Formel oder der Mitternachtsformel schneller und weniger anfällig für Rechenfehler.

Weitere Lösung ermitteln

Die letzte Anwendung vom Satz von Vieta, ist das Ermitteln einer weiteren Lösung. Wir haben nun die Situation, dass wir die quadratische Gleichung kennen und bereits eine Lösung x_1 bestimmen konnten. Wir würden basierend auf dieser Information die zweite Lösung x_2 ermitteln. Der Satz von Vieta bietet uns dafür zwei Möglichkeiten.

  • Möglichkeit 1: Du berechnest x_2 = -p - x_1 oder
  • Möglichkeit 2: Du berechnest x_2 = \frac{q}{x_1} (beachte hier, dass x_1 \neq 0 gelten muss).

Lass uns auch hierzu ein Beispiel berechnen. Wir haben die quadratische Gleichung

x^2 - 5x -24 = 0

und wissen, dass x_1 = 8 diese Gleichung löst. Nach dem Satz von Vieta können wir die zweite Lösung folgendermaßen bestimmen

  • Möglichkeit 1: Wir berechnen x_2 = -p - x_1 = -(-5) - 8 = -3. Wir überprüfen, dass x_2 = -3 Lösung unserer Gleichung ist, indem wir die Zahl in x^2 - 5x -24 = 0 einsetzen. Es ist (-3)^2 - 5 \cdot (-3) - 24 = 0. Somit ist x_2 = -3 die gesuchte zweite Lösung.
  • Möglichkeit 2: Da x_1 = 8 ungleich Null ist, können wir x_2 = \frac{q}{x_1} berechnen und erhalten x_2 = -3. Von Möglichkeit 1 wissen wir bereits, dass x_2 = -3 Lösung unserer Gleichung ist.

Satz von Vieta Beweis

In diesem abschließenden Abschnitt zeigen wir dem interessierten Leser zwei Möglichkeiten, den Satz von Vieta zu beweisen. 

Beweis durch Koeffizientenvergleich

Nehmen wir an, dass wir zwei Zahlen x_1 und x_2 haben, die Lösungen der quadratischen Gleichung x^2 + px + q = 0 sind. Wir wollen zeigen, dass dann die Zahlen die Bedingungen 

x_1 \cdot x_2 = q und

x_1 + x_2 = -p

im Satz von Vieta erfüllen. Da x_1 und x_2 Lösungen der quadratischen Gleichung sind, sind sie Nullstellen der dazugehörigen quadratischen Funktion f(x) = x^2 + px + q. Wir können daher die Funktion in ihre Linearfaktoren zerlegen und erhalten

f(x) = (x - x_1) \cdot (x - x_2).

Ausmultiplizieren der beiden Klammern führt auf

f(x) = (x - x_1) \cdot (x - x_2) = x^2 - (x_1 + x_2)x + (x_1 \cdot x_2).

Vergleichen wir die Koeffizienten der Linearfaktorzerlegung von f(x) mit der Normalform von f(x), so bekommen wir

x_1 \cdot x_2 = q und

-(x_1 + x_2) = p,

was gerade die Bedingungen des Satzes von Vieta sind.

Beweis durch pq Formel

Lass x_1 und x_2 wieder Nullstellen der quadratischen Funktion f(x) = x^2 + px + q sein. Nach der pq Formel gilt dann

x_1 = -\frac{p}{2} + \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q} und

x_2 = -\frac{p}{2} - \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}.

Wenn wir die beiden Zahlen miteinander addieren, erhalten wir

x_1 + x_2 = (-\frac{p}{2} + \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}) + (-\frac{p}{2} - \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}) = -\frac{p}{2} + (-\frac{p}{2}) = -p,

und für die Multiplikation der beiden Zahlen bekommen wir

x_1 \cdot x_2 = (-\frac{p}{2} + \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}) \cdot (-\frac{p}{2} - \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q})= (-\frac{p}{2})^2 - (\sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q})^2 = \frac{p^2}{4} - (\frac{p^2}{4} - q) = q.

Wir haben hier beim zweiten Gleichheitszeichen die dritte binomische Formel 

(a - b)(a+b) = a^2 - b^2

verwendet, wobei wir a = -\frac{p}{2} und b = \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q} gesetzt haben. 

Somit erkennen wir, dass die Zahlen die Bedingungen des Satz von Vieta erfüllen!

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