Du möchtest das Wichtigste zum Satz von Vieta in kurzer Zeit erfahren? Dann bist du hier genau richtig. Schau unser Video dazu an!
Mit dem Satz von Vieta kannst du unter anderem quadratische Gleichungen durch Ausprobieren im Kopf lösen. Hast du eine Gleichung der Form 1•x² + px + q = 0 gegeben, dann gilt:
Wichtig ist, dass der Faktor vor x² eine 1 ist. x1 und x2 sind dann die Nullstellen (oder auch Lösungen) der Gleichung. Sie findest du dann, indem du in die zweite und dritte Gleichung solange passende Werte einsetzt, bist die Gleichungen erfüllt sind. Mit dem Satz von Vieta setzt du die beiden Nullstellen also in Relation zu den Parametern p und q, die du aus der ersten Gleichung abliest.
Mit dem Satz von Vieta kannst du damit einfach überprüfen, ob deine Berechnung der Mitternachtsformel oder pq-Formel stimmt.
Willst du die Gleichung x2 – 2x – 8 = 0 lösen, dann musst du zuerst die Werte für p und q finden:
Jetzt musst du zwei Zahlen für x1 und x2 finden, die
Am besten wählst du immer zwei Zahlen, die die zweite Bedingung erfüllen, denn dafür gibt es nicht so viele Möglichkeiten: 8 • (-1), 4 • (-2), 2 • (-4) und 1 • (-8).
Sie probierst du jetzt nacheinander so lange aus, bis du eine Lösung gefunden hast:
Versuch 1: x1 = 8 und x2 = -1
x1 + x2 = 8 + (-1) = 7-> 7 ≠ 2: Erste Bedingung ist nicht erfüllt.
Versuch 2: x1 = 4 und x2 = -2
x1 + x2 = 4 + (- 2) = 2 = p : Erste Bedingung ist erfüllt.
x1 • x2 = 4 • (-2) = -8 = q: Zweite Bedingung ist erfüllt.
Die Lösung ist gefunden und beträgt: x1 = 4 und x2 = -2
Um den Satz von Vieta anwenden zu können, musst du eine quadratische Gleichung in Normalform vorliegen haben. Hast du hingegen eine Gleichung in allgemeiner Form ax² + bx + c = 0 gegeben, dann musst du diese zunächst auf Normalform bringen. Das Umstellen von einer allgemeinen quadratischen Gleichung zu einer in Normalform ist nicht allzu kompliziert und das zeigen wir dir kurz.
Eine allgemeine quadratische Gleichung hat die Form
ax2 + bx + c = 0.
Durch Dividieren von a erhalten wir
.
Wenn wir nun die Festlegungen und
vereinbaren, führt das auf
x² + px + q = 0
Das ist gerade die zur allgemeinen quadratischen Gleichung dazugehörige Normalform. Da du nun die quadratische Gleichung auf Normalform gebracht hast, kannst du den Satz von Vieta auf sie anwenden.
Der Satz von Vieta erlaubt es Nullstellen zu überprüfen. Nehmen wir dazu an, dass du eine quadratische Funktion f(x) hast und du möchtest gerne erfahren, ob zwei Zahlen x1 und x2 Nullstellen dieser quadratischen Funktion sind. In anderen Worten möchtest du bestimmen, ob x1 und x2 die Gleichung
x2 + px + q = 0
erfüllen. Hierzu rechnest du gemäß dem Satz von Vieta mit x1 und x2 das folgende aus
x1 • x2 = q und
x1 + x2 = –p.
Stimmen beide Gleichungen, sind die Bedingungen des Satz von Vieta erfüllt und x1 und x2 sind tatsächlich Lösungen der quadratischen Gleichung.
Schauen wir uns hierzu ein kleines Beispiel an. Wir betrachten die quadratische Gleichung
x² + x – 12 = 0
Hier ist p = 1 und q = -12. Nun wollen wir wissen, ob x1 = 3 und x2 = -4 unsere Gleichung lösen. Dazu berechnen wir
x1 • x2= 3 • (-4) = – 12 = q und
x1 + x2 = 3 + (-4) = -(1) = –p
Beide Gleichungen sind erfüllt und somit sind x1 und x2 Lösungen unserer quadratischen Gleichung.
Der Satz von Vieta findet Anwendung bei der Bestimmung quadratischer Gleichungen. Lass uns vereinbaren, dass wir zwei Zahlen x1 und x2 haben und uns interessieren, von welcher quadratischen Gleichung diese zwei Zahlen die Lösung sein könnten. Der Satz von Vieta ermöglicht es uns, aus diesen zwei Zahlen die dazugehörige Gleichung zu bestimmen. Das geht wie folgt
x1 • x2 und
x1+ x2.
Schauen wir uns dazu ein Beispiel an. Wir haben die zwei Zahlen x1 = -7 und x2 = 4 und möchten die quadratische Gleichung bestimmen.
Im ersten Schritt berechnen wir
x1 • x2 = (- 7) • 4 = – 28 und
x1 + x2 = (- 7) + 4 = – 3.
Im zweiten Schritt notieren wir uns die Koeffizienten
q = x1 • x2 = – 28 und
– p = x1 + x2 = – 3 p = 3.
Anschließend im dritten Schritt setzen wir die Koeffizienten in die Normalform der quadratischen Gleichung ein und erhalten
x2 + 3x – 28 = 0.
Im vierten Schritt überprüfen wir, ob wir keine Rechenfehler gemacht haben. Dazu setzen wir unsere zwei Zahlen x1 und x2 in die von uns bestimmte Gleichung ein. Wir erhalten
(- 7)2 + 3 · (- 7) – 28 = 0 für x1 = – 7
(4)2 + 3 · (4) – 28 = 0 für x2 = 4.
Somit ist unsere gefundene Gleichung tatsächlich die quadratische Gleichung, für die unsere zwei Zahlen x1 und x2 eine Lösung sind.
Mit dem Satz von Vieta kannst du auch Nullstellen berechnen. Wir befinden uns also in der Situation, dass wir eine quadratische Gleichung in Normalform gegeben haben und uns für die Lösungen interessieren.
In diesem Fall muss man die Lösungen x1 und x2 durch Probieren bestimmen. Die Vorgehensweise könnte folgendermaßen aussehen
Lass uns dafür wieder ein Beispiel ansehen. Wir haben die quadratische Gleichung
x2 – 7x – 8 = 0
und möchten die dazugehörigen Lösungen mit Hilfe des Satz von Vieta bestimmen.
Im ersten Schritt notieren wir uns die Koeffizienten. In diesem Fall haben wir p = -7 und q = -8.
Dann im zweiten Schritt notieren wir uns alle Teiler von q = -8. Wir erhalten hier
Paar 1 = (1, -8), denn 1 · (-8) = -8.
Paar 2 = (-1, 8), denn (-1) · 8 = -8,
Paar 3 = (2, -4), denn 2 · (-4) = -8 und
Paar 4 = (-2, 4), denn (-2) · 4 = -8.
Im dritten Schritt berechnen wir für jedes Paar die Summe der beiden Zahlen. Hier bekommen wir
Summe Paar 1 = 1 + (-8) = – 7,
Summe Paar 2 = -1 + 8 = 7,
Summe Paar 3 = 2 + (-4) = -2 und
Summe Paar 4 = -2 + 4 = 2.
Das zweite Paar erfüllt die Gleichung x1 + x2 = –p, denn – p = -(-7) = 7. Somit sind die Zahlen x1 = -1 und x2 = 8 die gesuchten Lösungen der quadratischen Gleichung.
Gegeben ist die quadratische Gleichung
x2 – 3x -54 = 0
und wir möchten die dazugehörigen Lösungen finden. Wir verwenden dafür den Satz von Vieta.
Im ersten Schritt notieren wir uns die Koeffizienten. Wir bekommen p = – 3 und q = – 54.
Durch den Satz von Vieta wissen wir, dass die zwei Lösungen Teiler von q sind. Deshalb bestimmen wir im zweiten Schritt alle Teiler. Wir organisieren das in einer Tabelle, die folgendermaßen aussehen kann
Paar | x1 | x2 |
Paar 1 | 1 | -54 |
Paar 2 | -1 | 54 |
Paar 3 | 6 | -9 |
Paar 4 | -6 | 9 |
Paar 5 | 2 | -27 |
Paar 6 | -2 | 27 |
Paar 7 | 3 | -18 |
Paar 8 | -3 | 18 |
Beachte, dass uns hier die Reihenfolge nicht interessiert. Für uns ist beispielsweise Paar 1 = (1, -54) gleich dem Paar (-54, 1).
Ebenfalls teilt uns der Satz von Vieta mit, dass zwei Zahlen nur dann eine Lösung sein können, wenn deren Summe gleich – p ist. Wir ergänzen im dritten Schritt daher zur Tabelle eine weitere Spalte, in der wir die Summe der zwei Zahlen eines Paars berechnen. Das sieht dann wie folgt aus
Paar | x1 | x2 | Summe |
Paar 1 | 1 | -54 | -53 |
Paar 2 | -1 | 54 | 53 |
Paar 3 | 6 | -9 | -3 |
Paar 4 | -6 | 9 | 3 |
Paar 5 | 2 | -27 | -25 |
Paar 6 | -2 | 27 | 25 |
Paar 7 | 3 | -18 | -15 |
Paar 8 | -3 | 18 | 15 |
Der Vergleich mit – p = -(-3) = 3 zeigt uns, dass das Paar 4 beide Bedingungen des Satz von Vieta erfüllt. Somit sind die Zahlen x1 = – 6 und x2 = 9 Lösungen unserer Gleichung.
Die letzte Anwendung vom Satz von Vieta, ist das Ermitteln einer weiteren Lösung. Wir haben nun die Situation, dass wir die quadratische Gleichung kennen und bereits eine Lösung x1 bestimmen konnten. Wir würden basierend auf dieser Information die zweite Lösung x2 ermitteln. Der Satz von Vieta bietet uns dafür zwei Möglichkeiten.
Lass uns auch hierzu ein Beispiel berechnen. Wir haben die quadratische Gleichung
x2 – 5x – 24 = 0
und wissen, dass x1 = 8 diese Gleichung löst. Nach dem Satz von Vieta können wir die zweite Lösung folgendermaßen bestimmen
In diesem abschließenden Abschnitt zeigen wir dem interessierten Leser zwei Möglichkeiten, den Satz von Vieta zu beweisen.
Nehmen wir an, dass wir zwei Zahlen und
haben, die Lösungen der quadratischen Gleichung
sind. Wir wollen zeigen, dass dann die Zahlen die Bedingungen
und
im Satz von Vieta erfüllen. Da und
Lösungen der quadratischen Gleichung sind, sind sie Nullstellen der dazugehörigen quadratischen Funktion
. Wir können daher die Funktion in ihre Linearfaktoren zerlegen und erhalten
.
Ausmultiplizieren der beiden Klammern führt auf
.
Vergleichen wir die Koeffizienten der Linearfaktorzerlegung von mit der Normalform von
, so bekommen wir
und
,
was gerade die Bedingungen des Satzes von Vieta sind.
Lass und
wieder Nullstellen der quadratischen Funktion
sein. Nach der pq Formel gilt dann
und
.
Wenn wir die beiden Zahlen miteinander addieren, erhalten wir
,
und für die Multiplikation der beiden Zahlen bekommen wir
.
Wir haben hier beim zweiten Gleichheitszeichen die dritte binomische Formel
verwendet, wobei wir und
gesetzt haben.
Somit erkennen wir, dass die Zahlen die Bedingungen des Satz von Vieta erfüllen!
Mit dem Satz von Vieta kannst du die Nullstellen x1, x2 von quadratischen Gleichungen bestimmen. Du setzt die Nullstellen in Relation zu den Werten p und q, die du aus der ersten Gleichung abliest.
Wichtig! Vor dem x2 muss der Faktor 1 stehen und die Gleichung muss in Normalform gegeben sein (nicht in Scheitelpunktform)! Jetzt setzt du verschiedene Werte ein, bis du die passende Lösung gefunden hast.
Du weißt jetzt, wie du Nullstellen mitilfe des Satz von Vieta berechnen kannst. Es gibt aber noch einige weitere Formeln, die dir bei der Ermittlung von Nullstellen helfen. Welche das sind und wie du sie anwendest, erfährtst du in unserem Video zum Nullstellen berechnen . Schau es dir gleich an!
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