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Satz von Vieta

Du möchtest das Wichtigste zum Satz von Vieta in kurzer Zeit erfahren? Dann bist du hier genau richtig. Schau unser Video dazu an!

Inhaltsübersicht

Satz von Vieta einfach erklärt
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Beispiel Gleichung lösen
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Satz von Vieta Beweis
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Satz von Vieta einfach erklärt

Mit dem Satz von Vieta kannst du unter anderem quadratische Gleichungen durch einfaches Ausprobieren lösen. Hast du eine Gleichung der Form gegeben, dann gilt:

Satz von Vieta

x² + p $\cdot$ x + q =0
x₁ + x₂ = –p
x₁ $\cdot$ x₂ = q

x₁ und x₂ sind dann die Nullstellen der Gleichung. Sie findest du einfach, indem du in die zweite und dritte Gleichung solange passende Werte einsetzt, bist die Gleichungen erfüllt sind. p und q liest du aus der ersten Gleichung ab.

Mit dem Satz von Vieta kannst du damit einfach überprüfen, ob deine Berechnung der Mitternachtsformel oder pq-Formel stimmt.

Beispiel Gleichung lösen

Willst du die Gleichung x² – 2x – 8 = 0 lösen, dann musst du zuerst die Werte für p und q finden:

p ist 2, denn -(-2)=2
q ist -8.

Jetzt musst du zwei Zahlen für x₁ und x₂ finden, die

zusammengezählt 2 ergeben (x₁ + x₂ = -p) und
multipliziert -8 ergeben (x₁ $\cdot$ x₂ = q).

Am besten wählst du immer zwei Zahlen, die die zweite Bedingung erfüllen, denn dafür gibt es nicht so viele Möglichkeiten: 8 $\cdot$ (-1), 4 $\cdot$ (-2), 2 $\cdot$ (-4) und 1 $\cdot$ (-8).

Sie probierst du jetzt nacheinander so lange aus, bis du eine Lösung gefunden hast:

Versuch 1: x₁ = 8 und x₂ = -1

x₁ + x₂ = 8 + (-1) = 7-> 7 $\neq$ 2: Erste Bedingung ist nicht erfüllt.

Versuch 2: x₁ = 4 und x₂ = -2

x₁ + x₂ = 4 + ( – 2) = 2 = p : Erste Bedingung ist erfüllt.

x₁ $\cdot$ x₂ = 4 $\cdot$ (-2) = -8 = q: Zweite Bedingung ist erfüllt.

Die Lösung ist gefunden und beträgt: x₁ = 4 und x₂ = -2

Satz von Vieta Anwendungen

Um den Satz von Vieta anwenden zu können, musst du eine quadratische Gleichung in Normalform vorliegen haben. Hast du hingegen eine Gleichung in allgemeiner Form ax^2 + bx + c = 0 gegeben, dann musst du diese zunächst auf Normalform bringen. Das Umstellen von einer allgemeinen quadratischen Gleichung zu einer in Normalform ist nicht allzu kompliziert und das zeigen wir dir kurz.

Eine allgemeine quadratische Gleichung hat die Form

ax² + bx + c = 0.

Durch dividieren von erhalten wir

$x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$ .

Wenn wir nun die Festlegungen $p = \frac{b}{a}$ und $q = \frac{c}{a}$ vereinbaren, führt das auf

x^2 + px + q = 0.

Das ist gerade die zur allgemeinen quadratischen Gleichung dazugehörige Normalform. Da du nun die quadratische Gleichung auf Normalform gebracht hast, kannst du den Satz von Vieta auf sie anwenden.

Nullstellen überprüfen

Der Satz von Vieta erlaubt es Nullstellen zu überprüfen. Nehmen wir dazu an, dass du eine quadratische Funktion f(x) hast und du möchtest gerne erfahren, ob zwei Zahlen x_1 und x_2 Nullstellen dieser quadratischen Funktion sind. In anderen Worten, möchtest du bestimmen, ob x_1 und x_2 die Gleichung

x² + px + q = 0

erfüllen. Hierzu rechnest du gemäß dem Satz von Vieta mit x_1 und x_2 das folgende aus

$x_1 \cdot x_2 = q$ und

x_1 + x_2 = -p .

Stimmen beide Gleichungen, sind die Bedingungen des Satz von Vieta erfüllt und x_1 und x_2 sind tatsächlich Lösungen der quadratischen Gleichung.

Schauen wir uns hierzu ein kleines Beispiel an. Wir betrachten die quadratische Gleichung

x^2 + x - 12 = 0.

Hier ist p=1 und q=-12. Nun wollen wir wissen, ob x₁ = 3 und x₂ = -4 unsere Gleichung lösen. Dazu berechnen wir

$x_1 \cdot x_2 = 3 \cdot (-4) = - 12 = q$ und

x_1 + x_2 = 3 + (-4) = -(1) = -p .

Beide Gleichungen sind erfüllt und somit sind x_1 und x_2 Lösungen unserer quadratischer Gleichung.

Quadratische Gleichung bestimmen

Der Satz von Vieta findet Anwendung bei der Bestimmung quadratischer Gleichungen. Lass uns vereinbaren, dass wir zwei Zahlen x_1 und x_2 haben und uns interessieren, von welcher quadratischen Gleichung diese zwei Zahlen die Lösung sein könnten. Der Satz von Vieta ermöglicht es uns, aus diesen zwei Zahlen die dazugehörige Gleichung zu bestimmen. Das geht wie folgt

Vorgehen

Schritt 1: Zunächst berechnest du

$x_1 \cdot x_2$ und

x_1 + x_2 .

Schritt 2: Das Produkt der beiden Zahlen notierst du dir als den Koeffizienten und das Negative der Addition als den Koeffizienten .
Schritt 3: Die von dir notierten Koeffizienten setzt du in die Normalform der quadratischen Gleichung x² + px + q = 0 ein.
Schritt 4: Setze die zwei Zahlen und in die gefundene quadratische Gleichung, um zu überprüfen, dass du keine Rechenfehler gemacht hast.

Beispiel

Schauen wir uns dazu ein Beispiel an. Wir haben die zwei Zahlen x₁ = -7 und x₂ = 4 und möchten die quadratische Gleichung bestimmen.

Im ersten Schritt berechnen wir

$x_1 \cdot x_2 = (-7) \cdot 4 = -28$ und

x_1 + x_2 = (-7) + 4 = -3 .

Im zweiten Schritt notieren wir uns die Koeffizienten

$q = x_1 \cdot x_2 = -28$ und

$-p = x_1 + x_2 = -3 \quad \Rightarrow \quad p = 3$ .

Anschließend im dritten Schritt setzen wir die Koeffizienten in die Normalform der quadratischen Gleichung ein und erhalten

x^2 + 3x - 28 = 0.

Im vierten Schritt überprüfen wir, ob wir keine Rechenfehler gemacht haben. Dazu setzen wir unsere zwei Zahlen x_1 und x_2 in die von uns bestimmte Gleichung ein. Wir erhalten

$(-7)^2 + 3 \cdot (-7) - 28 = 0$ für x_1=-7

$(4)^2 + 3 \cdot (4) - 28 = 0$ für x_2=4 .

Somit ist unsere gefundene Gleichung tatsächlich die quadratische Gleichung, für die unsere zwei Zahlen x_1 und x_2 eine Lösung sind.

Ganzzahlige Nullstellen berechnen

Mit dem Satz von Vieta kannst du auch Nullstellen berechnen. Wir befinden uns also in der Situation, dass wir eine quadratische Gleichung in Normalform gegeben haben und uns für die Lösungen interessieren.

Vorgehen

In diesem Fall muss man die Lösungen x_1 und x_2 durch Probieren bestimmen. Die Vorgehensweise könnte folgendermaßen aussehen

Schritt 1: Du notierst dir von deiner quadratischen Gleichung die Koeffizienten und .
Schritt 2: Der Satz von Vieta sagt uns, dass und Teiler von sind. Du notierst dir alle diese Teiler und erhältst immer ein Paar von Zahlen (, ).
Schritt 3: Für jedes Paar bestimmst du deren Summe und überprüfst, ob diese Summe gleich ist (beachte das Minuszeichen). Ist für ein Paar die Gleichung erfüllt, dann sind diese zwei Zahlen die gesuchten Lösungen.

Beispiel 1

Lass uns dafür wieder ein Beispiel ansehen. Wir haben die quadratische Gleichung

x² – 7x – 8 = 0

und möchten die dazugehörigen Lösungen mit Hilfe des Satz von Vieta bestimmen.

Im ersten Schritt notieren wir uns die Koeffizienten. In diesem Fall haben wir p = -7 und q = -8.

Dann im zweiten Schritt notieren wir uns alle Teiler von q = -8 . Wir erhalten hier

Paar 1 = (1, -8), denn $1 \cdot (-8) = -8$ .

Paar 2 = (-1, 8), denn $(-1) \cdot 8 = -8$ ,

Paar 3 = (2, -4), denn $2 \cdot (-4) = -8$ und

Paar 4 = (-2, 4), denn $(-2) \cdot 4 = -8$ .

Im dritten Schritt berechnen wir für jedes Paar die Summe der beiden Zahlen. Hier bekommen wir

Summe Paar 1 = 1 + (-8) = -7 ,

Summe Paar 2 = -1 + 8 = 7 ,

Summe Paar 3 = 2 + (-4) = -2 und

Summe Paar 4 = -2 + 4 = 2 .

Das zweite Paar erfüllt die Gleichung x_1 + x_2 = -p , denn -p = -(-7) = 7 . Somit sind die Zahlen x_1 = -1 und x_2 = 8 die gesuchten Lösungen der quadratischen Gleichung.

Beispiel 2

Gegeben ist die quadratische Gleichung

x² – 3x -54 = 0

und wir möchten die dazugehörigen Lösungen finden. Wir verwenden dafür den Satz von Vieta.

Im ersten Schritt notieren wir uns die Koeffizienten. Wir bekommen p = -3 und q = -54 .

Durch den Satz von Vieta wissen wir, dass die zwei Lösungen Teiler von sind. Deshalb bestimmen wir im zweiten Schritt alle Teiler. Wir organisieren das in einer Tabelle, die folgendermaßen aussehen kann

Tabelle mit allein Teilern von q = -54

Paar
Paar 1	1	-54
Paar 2	-1	54
Paar 3	6	-9
Paar 4	-6	9
Paar 5	2	-27
Paar 6	-2	27
Paar 7	3	-18
Paar 8	-3	18

Beachte, dass uns hier die Reihenfolge nicht interessiert. Für uns ist beispielsweise Paar 1 = (1, -54) gleich dem Paar (-54, 1).

Ebenfalls teilt uns der Satz von Vieta mit, dass zwei Zahlen nur dann eine Lösungen sein können, wenn deren Summe gleich ist. Wir ergänzen im dritten Schritt daher zur Tabelle eine weitere Spalte, in der wir die Summe der zwei Zahlen eines Paars berechnen. Das sieht dann wie folgt aus

Tabelle mit der jeweiligen Summe jedes Paars an Teilern.

Paar			Summe
Paar 1	1	-54	-53
Paar 2	-1	54	53
Paar 3	6	-9	-3
Paar 4	-6	9	3
Paar 5	2	-27	-25
Paar 6	-2	27	25
Paar 7	3	-18	-15
Paar 8	-3	18	15

Der Vergleich mit -p = -(-3) = 3 zeigt uns, dass das Paar 4 beide Bedingungen des Satz von Vieta erfüllt. Somit sind die Zahlen x_1 = -6 und x_2 = 9 Lösungen unserer Gleichung.

Weitere Lösung ermitteln

Die letzte Anwendung vom Satz von Vieta, ist das Ermitteln einer weiteren Lösung. Wir haben nun die Situation, dass wir die quadratische Gleichung kennen und bereits eine Lösung x_1 bestimmen konnten. Wir würden basierend auf dieser Information die zweite Lösung x_2 ermitteln. Der Satz von Vieta bietet uns dafür zwei Möglichkeiten.

Möglichkeit 1: Du berechnest oder
Möglichkeit 2: Du berechnest $x_2 = \frac{q}{x_1}$ (beachte hier, dass $x_1 \neq 0$ gelten muss).

Lass uns auch hierzu ein Beispiel berechnen. Wir haben die quadratische Gleichung

x^2 - 5x -24 = 0

und wissen, dass x_1 = 8 diese Gleichung löst. Nach dem Satz von Vieta können wir die zweite Lösung folgendermaßen bestimmen

Möglichkeit 1: Wir berechnen . Wir überprüfen, dass Lösung unserer Gleichung ist, indem wir die Zahl in einsetzen. Es ist $(-3)^2 - 5 \cdot (-3) - 24 = 0$ . Somit ist die gesuchte zweite Lösung.
Möglichkeit 2: Da ungleich Null ist, können wir $x_2 = \frac{q}{x_1}$ berechnen und erhalten . Von Möglichkeit 1 wissen wir bereits, dass Lösung unserer Gleichung ist.

Satz von Vieta Beweis

In diesem abschließenden Abschnitt zeigen wir dem interessierten Leser zwei Möglichkeiten, den Satz von Vieta zu beweisen.

Beweis durch Koeffizientenvergleich

Nehmen wir an, dass wir zwei Zahlen x_1 und x_2 haben, die Lösungen der quadratischen Gleichung x^2 + px + q = 0 sind. Wir wollen zeigen, dass dann die Zahlen die Bedingungen

$x_1 \cdot x_2 = q$ und

x_1 + x_2 = -p

im Satz von Vieta erfüllen. Da x_1 und x_2 Lösungen der quadratischen Gleichung sind, sind sie Nullstellen der dazugehörigen quadratischen Funktion f(x) = x^2 + px + q . Wir können daher die Funktion in ihre Linearfaktoren zerlegen und erhalten

$f(x) = (x - x_1) \cdot (x - x_2)$ .

Ausmultiplizieren der beiden Klammern führt auf

$f(x) = (x - x_1) \cdot (x - x_2) = x^2 - (x_1 + x_2)x + (x_1 \cdot x_2)$ .

Vergleichen wir die Koeffizienten der Linearfaktorzerlegung von f(x) mit der Normalform von f(x) , so bekommen wir

$x_1 \cdot x_2 = q$ und

-(x_1 + x_2) = p ,

was gerade die Bedingungen des Satzes von Vieta sind.

Beweis durch pq Formel

Lass x_1 und x_2 wieder Nullstellen der quadratischen Funktion f(x) = x^2 + px + q sein. Nach der pq Formel gilt dann

$x_1 = -\frac{p}{2} + \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}$ und

$x_2 = -\frac{p}{2} - \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}$ .

Wenn wir die beiden Zahlen miteinander addieren, erhalten wir

$x_1 + x_2 = (-\frac{p}{2} + \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}) + (-\frac{p}{2} - \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}) = -\frac{p}{2} + (-\frac{p}{2}) = -p$ ,

und für die Multiplikation der beiden Zahlen bekommen wir

$x_1 \cdot x_2 = (-\frac{p}{2} + \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}) \cdot (-\frac{p}{2} - \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q})= (-\frac{p}{2})^2 - (\sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q})^2 = \frac{p^2}{4} - (\frac{p^2}{4} - q) = q$ .

Wir haben hier beim zweiten Gleichheitszeichen die dritte binomische Formel

(a - b)(a+b) = a^2 - b^2

verwendet, wobei wir $a = -\frac{p}{2}$ und $b = \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}$ gesetzt haben.

Somit erkennen wir, dass die Zahlen die Bedingungen des Satz von Vieta erfüllen!

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