Du möchtest das Wichtigste zum Satz von Vieta in kurzer Zeit erfahren? Dann bist du hier genau richtig. Schau unser Video dazu an!
Satz von Vieta einfach erklärt
Mit dem Satz von Vieta kannst du unter anderem quadratische Gleichungen durch einfaches Ausprobieren lösen. Hast du eine Gleichung der Form x² + px + q = 0 gegeben, dann gilt:
- x2 + p
x + q =0
- x1 + x2 = –p
- x1
x2 = q
x1 und x2 sind dann die Nullstellen der Gleichung. Sie findest du einfach, indem du in die zweite und dritte Gleichung solange passende Werte einsetzt, bist die Gleichungen erfüllt sind. p und q liest du aus der ersten Gleichung ab.
Mit dem Satz von Vieta kannst du damit einfach überprüfen, ob deine Berechnung der Mitternachtsformel oder pq-Formel stimmt.
Beispiel Gleichung lösen
Willst du die Gleichung x2 – 2x – 8 = 0 lösen, dann musst du zuerst die Werte für p und q finden:
- p ist 2, denn -(-2) = 2
- q ist -8.
Jetzt musst du zwei Zahlen für x1 und x2 finden, die
- zusammengezählt 2 ergeben (x1 + x2 = -p) und
- multipliziert -8 ergeben (x1
x2 = q).
Am besten wählst du immer zwei Zahlen, die die zweite Bedingung erfüllen, denn dafür gibt es nicht so viele Möglichkeiten: und
.
Sie probierst du jetzt nacheinander so lange aus, bis du eine Lösung gefunden hast:
Versuch 1: x1 = 8 und x2 = -1
x1 + x2 = 8 + (-1) = 7-> 7 2: Erste Bedingung ist nicht erfüllt.
Versuch 2: x1 = 4 und x2 = -2
x1 + x2 = 4 + (- 2) = 2 = p : Erste Bedingung ist erfüllt.
x1 x2 = 4
(-2) = -8 = q: Zweite Bedingung ist erfüllt.
Die Lösung ist gefunden und beträgt: x1 = 4 und x2 = -2
Satz von Vieta Anwendungen
Um den Satz von Vieta anwenden zu können, musst du eine quadratische Gleichung in Normalform vorliegen haben. Hast du hingegen eine Gleichung in allgemeiner Form gegeben, dann musst du diese zunächst auf Normalform bringen. Das Umstellen von einer allgemeinen quadratischen Gleichung zu einer in Normalform ist nicht allzu kompliziert und das zeigen wir dir kurz.
Eine allgemeine quadratische Gleichung hat die Form
ax2 + bx + c = 0.
Durch Dividieren von erhalten wir
.
Wenn wir nun die Festlegungen und
vereinbaren, führt das auf
Das ist gerade die zur allgemeinen quadratischen Gleichung dazugehörige Normalform. Da du nun die quadratische Gleichung auf Normalform gebracht hast, kannst du den Satz von Vieta auf sie anwenden.
Nullstellen überprüfen
Der Satz von Vieta erlaubt es Nullstellen
zu überprüfen. Nehmen wir dazu an, dass du eine quadratische Funktion hast und du möchtest gerne erfahren, ob zwei Zahlen
und
Nullstellen dieser quadratischen Funktion sind. In anderen Worten möchtest du bestimmen, ob
und
die Gleichung
x2 + px + q = 0
erfüllen. Hierzu rechnest du gemäß dem Satz von Vieta mit und
das folgende aus
und
.
Stimmen beide Gleichungen, sind die Bedingungen des Satz von Vieta erfüllt und und
sind tatsächlich Lösungen der quadratischen Gleichung.
Schauen wir uns hierzu ein kleines Beispiel an. Wir betrachten die quadratische Gleichung
Hier ist p=1 und q=-12. Nun wollen wir wissen, ob x1 = 3 und x2 = -4 unsere Gleichung lösen. Dazu berechnen wir
und
.
Beide Gleichungen sind erfüllt und somit sind und
Lösungen unserer quadratischen Gleichung.
Quadratische Gleichung bestimmen
Der Satz von Vieta findet Anwendung bei der Bestimmung quadratischer Gleichungen. Lass uns vereinbaren, dass wir zwei Zahlen und
haben und uns interessieren, von welcher quadratischen Gleichung diese zwei Zahlen die Lösung sein könnten. Der Satz von Vieta ermöglicht es uns, aus diesen zwei Zahlen die dazugehörige Gleichung zu bestimmen. Das geht wie folgt
Vorgehen
- Schritt 1: Zunächst berechnest du
und
.
-
Schritt 2: Das Produkt der beiden Zahlen notierst du dir als den Koeffizienten
und das Negative der Addition als den Koeffizienten
.
- Schritt 3: Die von dir notierten Koeffizienten setzt du in die Normalform der quadratischen Gleichung x2 + px + q = 0 ein.
-
Schritt 4: Setze die zwei Zahlen
und
in die gefundene quadratische Gleichung, um zu überprüfen, dass du keine Rechenfehler gemacht hast.
Beispiel
Schauen wir uns dazu ein Beispiel an. Wir haben die zwei Zahlen x1 = -7 und x2 = 4 und möchten die quadratische Gleichung bestimmen.
Im ersten Schritt berechnen wir
und
.
Im zweiten Schritt notieren wir uns die Koeffizienten
und
.
Anschließend im dritten Schritt setzen wir die Koeffizienten in die Normalform der quadratischen Gleichung ein und erhalten
Im vierten Schritt überprüfen wir, ob wir keine Rechenfehler gemacht haben. Dazu setzen wir unsere zwei Zahlen und
in die von uns bestimmte Gleichung ein. Wir erhalten
für
für
.
Somit ist unsere gefundene Gleichung tatsächlich die quadratische Gleichung, für die unsere zwei Zahlen und
eine Lösung sind.
Ganzzahlige Nullstellen berechnen
Mit dem Satz von Vieta kannst du auch Nullstellen berechnen. Wir befinden uns also in der Situation, dass wir eine quadratische Gleichung in Normalform gegeben haben und uns für die Lösungen interessieren.
Vorgehen
In diesem Fall muss man die Lösungen und
durch Probieren bestimmen. Die Vorgehensweise könnte folgendermaßen aussehen
-
Schritt 1: Du notierst dir von deiner quadratischen Gleichung
die Koeffizienten
und
.
-
Schritt 2: Der Satz von Vieta sagt uns, dass
und
Teiler von
sind. Du notierst dir alle diese Teiler und erhältst immer ein Paar von Zahlen (
,
).
-
Schritt 3: Für jedes Paar bestimmst du deren Summe und überprüfst, ob diese Summe gleich
ist (beachte das Minuszeichen). Ist für ein Paar die Gleichung erfüllt, dann sind diese zwei Zahlen die gesuchten Lösungen.
Beispiel 1
Lass uns dafür wieder ein Beispiel ansehen. Wir haben die quadratische Gleichung
x2 – 7x – 8 = 0
und möchten die dazugehörigen Lösungen mit Hilfe des Satz von Vieta bestimmen.
Im ersten Schritt notieren wir uns die Koeffizienten. In diesem Fall haben wir p = -7 und q = -8.
Dann im zweiten Schritt notieren wir uns alle Teiler von . Wir erhalten hier
Paar 1 = (1, -8), denn .
Paar 2 = (-1, 8), denn ,
Paar 3 = (2, -4), denn und
Paar 4 = (-2, 4), denn .
Im dritten Schritt berechnen wir für jedes Paar die Summe der beiden Zahlen. Hier bekommen wir
Summe Paar 1 = ,
Summe Paar 2 = ,
Summe Paar 3 = und
Summe Paar 4 = .
Das zweite Paar erfüllt die Gleichung , denn
. Somit sind die Zahlen
und
die gesuchten Lösungen der quadratischen Gleichung.
Beispiel 2
Gegeben ist die quadratische Gleichung
x2 – 3x -54 = 0
und wir möchten die dazugehörigen Lösungen finden. Wir verwenden dafür den Satz von Vieta.
Im ersten Schritt notieren wir uns die Koeffizienten. Wir bekommen und
.
Durch den Satz von Vieta wissen wir, dass die zwei Lösungen Teiler von sind. Deshalb bestimmen wir im zweiten Schritt alle Teiler. Wir organisieren das in einer Tabelle, die folgendermaßen aussehen kann
Paar | ![]() |
![]() |
Paar 1 | 1 | -54 |
Paar 2 | -1 | 54 |
Paar 3 | 6 | -9 |
Paar 4 | -6 | 9 |
Paar 5 | 2 | -27 |
Paar 6 | -2 | 27 |
Paar 7 | 3 | -18 |
Paar 8 | -3 | 18 |
Beachte, dass uns hier die Reihenfolge nicht interessiert. Für uns ist beispielsweise Paar 1 = (1, -54) gleich dem Paar (-54, 1).
Ebenfalls teilt uns der Satz von Vieta mit, dass zwei Zahlen nur dann eine Lösung sein können, wenn deren Summe gleich ist. Wir ergänzen im dritten Schritt daher zur Tabelle eine weitere Spalte, in der wir die Summe der zwei Zahlen eines Paars berechnen. Das sieht dann wie folgt aus
Paar | ![]() |
![]() |
Summe |
Paar 1 | 1 | -54 | -53 |
Paar 2 | -1 | 54 | 53 |
Paar 3 | 6 | -9 | -3 |
Paar 4 | -6 | 9 | 3 |
Paar 5 | 2 | -27 | -25 |
Paar 6 | -2 | 27 | 25 |
Paar 7 | 3 | -18 | -15 |
Paar 8 | -3 | 18 | 15 |
Der Vergleich mit zeigt uns, dass das Paar 4 beide Bedingungen des Satz von Vieta erfüllt. Somit sind die Zahlen
und
Lösungen unserer Gleichung.
Weitere Lösung ermitteln
Die letzte Anwendung vom Satz von Vieta, ist das Ermitteln einer weiteren Lösung. Wir haben nun die Situation, dass wir die quadratische Gleichung kennen und bereits eine Lösung bestimmen konnten. Wir würden basierend auf dieser Information die zweite Lösung
ermitteln. Der Satz von Vieta bietet uns dafür zwei Möglichkeiten.
-
Möglichkeit 1: Du berechnest
oder
-
Möglichkeit 2: Du berechnest
(beachte hier, dass
gelten muss).
Lass uns auch hierzu ein Beispiel berechnen. Wir haben die quadratische Gleichung
und wissen, dass diese Gleichung löst. Nach dem Satz von Vieta können wir die zweite Lösung folgendermaßen bestimmen
-
Möglichkeit 1: Wir berechnen
. Wir überprüfen, dass
Lösung unserer Gleichung ist, indem wir die Zahl in
einsetzen. Es ist
. Somit ist
die gesuchte zweite Lösung.
-
Möglichkeit 2: Da
ungleich Null ist, können wir
berechnen und erhalten
. Von Möglichkeit 1 wissen wir bereits, dass
Lösung unserer Gleichung ist.
Satz von Vieta Beweis
In diesem abschließenden Abschnitt zeigen wir dem interessierten Leser zwei Möglichkeiten, den Satz von Vieta zu beweisen.
Beweis durch Koeffizientenvergleich
Nehmen wir an, dass wir zwei Zahlen und
haben, die Lösungen der quadratischen Gleichung
sind. Wir wollen zeigen, dass dann die Zahlen die Bedingungen
und
im Satz von Vieta erfüllen. Da und
Lösungen der quadratischen Gleichung sind, sind sie Nullstellen der dazugehörigen quadratischen Funktion
. Wir können daher die Funktion in ihre Linearfaktoren zerlegen und erhalten
.
Ausmultiplizieren der beiden Klammern führt auf
.
Vergleichen wir die Koeffizienten der Linearfaktorzerlegung von mit der Normalform von
, so bekommen wir
und
,
was gerade die Bedingungen des Satzes von Vieta sind.
Beweis durch pq Formel
Lass und
wieder Nullstellen der quadratischen Funktion
sein. Nach der pq Formel gilt dann
und
.
Wenn wir die beiden Zahlen miteinander addieren, erhalten wir
,
und für die Multiplikation der beiden Zahlen bekommen wir
.
Wir haben hier beim zweiten Gleichheitszeichen die dritte binomische Formel
verwendet, wobei wir und
gesetzt haben.
Somit erkennen wir, dass die Zahlen die Bedingungen des Satz von Vieta erfüllen!
Nullstellen berechnen
Du weißt jetzt, wie du Nullstellen mitilfe des Satz von Vieta berechnen kannst. Es gibt aber noch einige weitere Formeln, die dir bei der Ermittlung von Nullstellen helfen. Welche das sind und wie du sie anwendest, erfährtst du in unserem Video zum Nullstellen berechnen . Schau es dir gleich an!