Wenn du wissen willst, wie die pq Formel aussieht und wozu du sie benötigst, bist du in diesem Artikel genau richtig. Du lernst leichter, wenn du Schritt für Schritt sehen kannst, wie du die pq-Formel anwendest? Dann schau dir am besten unser Video an.
Du möchtest eine quadratische Gleichung lösen, die so aussieht?
x2 + 2x -3 =0
Dafür brauchst du die pq-Formel:
In die pq Formel kannst du dann einfach die Zahlen aus deiner Gleichung einsetzen. Dabei nimmst du für p die Zahl, die vor dem einzelnen x steht und für q die Zahl ohne x:
Wegen dem ± kannst du zwei Lösungen berechnen:
Dir ging das zu schnell? Kein Problem! Schau dir gleich die Schritt für Schritt Anleitung an.
Willst du die pq-Formel zur Berechnung quadratischer Funktionen anwenden, dann befolgst du am besten die folgende Schritt-für-Schritt-Anleitung. Hierfür verwenden wir als konkretes Beispiel die quadratische Gleichung:
2x2 – 4x = 30.
2x2-4x = 30 | -30 :2
x2-2x – 15 = 0
p=-2, q=-15.
.
x1 = 1 + 4 = 5 und x2 = 1 – 4 = -3.
.
Diese Anleitung zur Verwendung der pq-Formel kannst du für jede quadratische Gleichung benutzen. Aber woher weißt du, wie viele Lösungen es gibt?
Der Term unter der Wurzel der pq Formel wird Diskriminante
genannt. Dabei wird niemand diskriminiert, das Wort kommt lediglich aus dem Lateinischen und bedeutet „unterscheiden“. Die Diskriminante gibt dir Auskunft darüber, ob eine quadratische Gleichung eine, zwei oder keine Lösung hat. Das erkennst du ganz einfach an ihrem Vorzeichen.
Berechnest du die Diskriminante einer quadratischen Funktion , so kannst du daran direkt die Anzahl der Nullstellen ablesen.
Die pq-Formel ist eine quadratische Lösungsformel. Du kannst sie für alle quadratischen Gleichungen in der Normalform verwenden. Das bedeutet, vor x2 darf keine Zahl stehen.
Hier siehst
du eine Übersicht über die verschiedenen Arten quadratischer Gleichungen
:
Tipp: Es lohnt sich vor allem, die pq-Formel für gemischtquadratische Gleichungen mit Absolutglied zu benutzen. Für die anderen Normalformen gibt es leichtere Lösungsverfahren. Mehr dazu findest du auch in unserem Video zu Quadratische Gleichungen lösen .
Ist in der quadratischen Gleichung p = 0, so kannst du das Ergebnis zwar mithilfe der pq Formel berechnen, jedoch bist du vermutlich schneller, wenn du einfach die Wurzel ziehst. Der Term hat dann immer die Form:
x2 + q = 0
Du kannst ihn umformen, indem du nach x2 auflöst und dann die Wurzel ziehst:
Willst du beispielsweise x2 – 20,25 = 0 berechnen, so erhältst du als Ergebnis
und
Hast du hingegen einen Term gegeben, bei dem q = 0 ist, so löst du die Funktionsgleichung am besten durch Ausklammern. Dann kannst du die Nullstellen der beiden Faktoren separat bestimmen:
x2 + px=0
x(x + p) = 0
x1 = 0 und x2 = -p.
In diesem Abschnitt zeigen wir dir drei verschiedene Beispiele, bei denen die pq-Formel jeweils unterschiedlich viele Lösungen liefert.
Gegeben sei die quadratische Gleichung
x2=7x+8.
Um sie mithilfe der pq-Formel zu lösen, bringen wir sie zuerst auf Normalform
x2=7x +8
x2-7x-8=0
Jetzt können wir die Parameter p=-7 und q=-8 bestimmen und sie in die pq-Formel einsetzen
.
Die beiden Lösungen x1 und x2 kannst du nun ganz einfach ausrechnen
x1 =3,5+4,5= 8 und x2 = 3,5-4,5=-1.
.
Die pq-Formel hat genau eine Lösung, wenn die Diskriminante gleich Null ist. Ein Beispiel dafür ist die Gleichung
-2x2-20x-50=0.
Diese Gleichung liegt nicht in der Normalform vor, da x2 noch den Vorfaktor -2 besitzt. Daher teilen wir die quadratische Gleichung durch -2 und erhalten so die Normalform
x2+10x+25=0.
Nun können wir p=10 und q = 25 direkt ablesen und in die pq Formel einsetzen
.
Die Lösungsmenge besteht in diesem Fall nur aus einem Element .
Merke: Solche Gleichungen könntest du auch lösen, indem du die binomischen Formeln anwendest.
x2+10x+25= (x+5)2
Als letztes Beispiel betrachten wir noch den Fall, dass die pq Formel keine Lösung liefert. Hier ist die Diskriminante stets kleiner als Null, was dazu führt, dass du eine negative Wurzel erhältst. Dafür betrachten wir
x2+2x+4=0
mit p=2 und q=4. Das Einsetzen der Werte in die pq-Formel ergibt hier
Auch hier darfst du die Lösungsmenge nicht vergessen aufzuschreiben, obwohl es sich um die leere Menge handelt
Vielleicht fragst du dich, woher die pq Formel eigentlich kommt. Dafür wollen wir eine quadratische Gleichung in Normalform mittels quadratischer Ergänzung nach x auflösen.
x2+px+q=0
x2+px=-q.
Die linke Seite wollen wir nun quadratisch ergänzen, weswegen wir zuerst den Ausdruck px umschreiben und dann auf beiden Seiten addieren
Jetzt lässt sich die linke Seite der Gleichung mithilfe der ersten binomischen Formel vereinfachen
,
sodass wir im nächsten Schritt die Wurzel ziehen können und die pq Formel als Ergebnis erhalten
.
Im Folgenden findest du verschiedene Aufgaben und Lösungen zum Thema pq Formel.
Löse die Folgenden quadratischen Gleichungen, indem du die pq-Formel verwendest:
a) x2+2x=-1
b) -x2+13x-30=0
Gib jeweils an, wie viele Nullstellen die quadratischen Funktionen besitzen, ohne sie explizit mithilfe der pq-Formel auszurechnen:
a) f(x)=x2+4x+5
b) f(x)=x2+3x-4
a) Um die quadratische Gleichung x2+2x=-1 mittels pq-Formel zu lösen, bringen wir sie zuerst auf Normalform
x2+2x+1=0.
Nun setzen wir p=2 und q=1 in die pqFormel ein
.
Wir erhalten somit eine ein-elementige Lösungsmenge .
b) Bei der Quadratischen Gleichung –x2+13x-30=0 ist Vorsicht geboten. Um sie auf Normalform zu bringen, musst du die komplette Gleichung mit (-1) multiplizieren
x2-13x+30=0.
Jetzt kannst du p=-13 und q=30 in die pq-Formel einsetzen und berechnest
.
Somit erhältst du zwei Lösungen x1 =6,5+3,5= 10 und x2 = 6,5-3,5=3 und die Lösungsmenge .
Um die Anzahl der Nullstellen zu bestimmen, betrachten wir die Diskriminante der pq-Formel.
a) Durch Einsetzen der Werte p=4 und q=5 in die Formel der Diskriminante, siehst du sofort, dass die zugehörige Parabel keine Nullstellen hat, da D<0, denn
b) In diesem Fall setzen wir p=3 und q=-4 in die Diskriminante ein und erhalten
Da D>0 ist, hat diese Parabel zwei Nullstellen.
Möchtest du schnell überprüfen, ob deine Lösungen, die du mit der pq-Formel bestimmt hast, stimmen? Dann hilft dir der Satz von Vieta . Der sagt nämlich, dass wieder -p rauskommen muss, wenn du die Lösungen zusammen rechnest:
-p = x1 + x2
Gleichzeitig muss aber auch folgender Zusammenhang gelten:
q = x1 · x2
Schau dir dafür nochmal das Beispiel vom Anfang an:
x2 + 2x -3 =0
Die pq-Formel hat als Lösungsformel für quadratische Gleichungen folgende Lösungen ergeben:
x1 = 1 und x2 = -3
Willst du testen, ob die Lösung stimmt, kannst du den Satz von Vieta verwenden:
Die Lösungen stimmen also!
Wenn du eine quadratische Gleichung der Form ax² + bx + c = 0 gegeben hast, kannst du auch die Mitternachtsformel oder die ABC-Formel anwenden.
In unserem Video zur abc Formel erklären wir dir Schritt für Schritt anhand vieler Beispiele, wie die Formel angewendet wird. Du willst nie wieder Probleme mit dem Lösen quadratischer Gleichungen haben? Dann schau es dir direkt an!
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