Wie löst man die Variation der Parameter?

Die Variation der Parameter löst du, indem du zuerst die homogene Lösung bestimmst und dann ansetzt. Danach leitest du ab, setzt in die Differentialgleichung ein und erhältst eine Gleichung für , die du integrierst. Beispiel: Für gilt . Setze , dann . Einsetzen ergibt , also und . Integriere: . Damit ist .

Warum wählt man bei der Variation der Konstanten den Ansatz y(x) = c(x) y(h)(x)?

Den Ansatz wählst du, weil bereits den Teil der Lösung trifft, der zur linken Seite der Differentialgleichung passt. Wenn du variabel machst, kann dieser Faktor die Inhomogenität ausgleichen. Beim Einsetzen fallen die Terme weg, die genau der homogenen Gleichung entsprechen.

Warum darf man am Ende nicht noch einmal y(h)(x) zur Lösung addieren?

addierst du am Ende nicht noch einmal, weil der homogene Anteil schon in steckt. Beim Integrieren für entsteht eine Integrationskonstante , und in wird daraus automatisch ein Term . Wenn du dann noch addierst, zählst du den homogenen Teil doppelt.

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Variation der Konstanten

Name: Variation der Konstanten
Uploaded: 2026-04-08T16:47:19Z
Duration: 4 min 30 s
Description: Du möchtest wissen, wie die Variation der Konstanten funktioniert? Hier zeigen wird dir, wie man inhomogene Differentialgleichungen mit dieser Methode lösen kann, an einem einfachen Beispiel.

Du möchtest wissen, wie die Variation der Konstanten funktioniert? Hier zeigen wird dir, wie man inhomogene Differentialgleichungen mit dieser Methode lösen kann, an einem einfachen Beispiel.

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Inhaltsübersicht

Lösung inhomogener, linearer Differentialgleichungen 1. Ordnung

In der Regel sind Differentialgleichungen nicht homogen, sondern inhomogen. Das heißt:

Variation der Konstanten — Homogene Differentialgleichung

Wenn du solch eine inhomogene Differentialgleichung vor dir hast, bestimmst du die Lösung in zwei Schritten: Du berechnest die homogene Lösung y_h(x) und die Partikulärlösung y_p(x) . Zusammen ergeben sie die Gesamtlösung.

$y\left(x\right)=y_h\left(x\right)+y_p\left(x\right)$

Gängige Methoden zur Bestimmung der Partikulärlösung sind die Variation der Konstanten, die wir hier betrachten oder auch der Ansatz vom Typ der rechten Seite. Wichtig bei der Variation der Konstanten ist, dass deine DGL linear und inhomogen ist.

$y^\prime\left(x\right)+a\left(x\right)y\left(x\right)=b(x)$

Bestimmung der homogenen Lösung und der Gesamtlösung

Zunächst lösen wir die homogene Gleichung:

$y_h^\prime\left(x\right)+a\left(x\right)y_h\left(x\right)=0$

Diese erhältst du, indem du die Inhomogenität einfach weglässt. Die DGL ist trennbar und kann daher mit Trennung der Variablen gelöst werden. Zum Finden der Gesamtlösung benutzen wir diesen Ansatz:

$y\left(x\right)=c\left(x\right)y_h(x)$

Im homogenen Fall wäre c(x) eine Konstante. Da aber von abhängt, heißt diese Methode Variation der Konstanten. Die Ableitung ergibt sich mit der Produktregel. Jetzt setzen wir den Ansatz und seine Ableitung in die Differentialgleichung ein.

Variation der Konstanten: Gesamtlösung — Gesamtlösung

Du ersetzt im letzten Term mit $c\ast\ y_h$ . Jetzt kannst du aus den letzten beiden Termen c(x) ausklammern. Guck dir den Ausdruck in Klammern an. Es ist genau die homogene DGL. Da sie homogen ist, ist sie bekanntlich gleich Null und kann weggelassen werden. Mit dem gewählten Ansatz gilt also immer:

$b\left(x\right)=c^\prime\left(x\right)y_h(x)$

y_h hast du bereits bestimmt und b(x) ist gegeben. Umformen nach $c^\prime\left(x\right)$ und Integrieren nach führt dich zu einer Lösung für c(x) :

Variation der Konstanten: Ergebnis Partikulärlösung und homogene Lösung — Ergebnis Partikulärlösung und homogene Lösung

Wenn du c(x) bestimmt hast, erhält du deine Gesamtlösung für y(x) . Viele machen hier den Fehler noch einmal y_h zu addieren. Das ist nicht notwendig, da es schon automatisch über die Integrationskonstante C in c(x) geschieht.

Variation der Konstanten — häufigste Fragen

(ausklappen)

Wie löst man die Variation der Parameter?

Die Variation der Parameter löst du, indem du zuerst die homogene Lösung bestimmst und dann $y = c(x)\,y_h(x)$ ansetzt. Danach leitest du ab, setzt in die Differentialgleichung ein und erhältst eine Gleichung für , die du integrierst. Beispiel: Für gilt $y_h = e^{-x}$ . Setze $y = c(x)e^{-x}$ , dann $y' = c'(x)e^{-x} - c(x)e^{-x}$ . Einsetzen ergibt $c'(x)e^{-x} - c(x)e^{-x} + c(x)e^{-x} = x$ , also $c'(x)e^{-x} = x$ und $c'(x) = x e^{x}$ . Integriere: $c(x) = \int x e^{x}\,dx = x e^{x} - e^{x} + C$ . Damit ist $y = c(x)e^{-x} = (x-1) + C e^{-x}$ .
Warum wählt man bei der Variation der Konstanten den Ansatz y(x) = c(x) y(h)(x)?

Den Ansatz $y(x)=c(x)\,y_h(x)$ wählst du, weil bereits den Teil der Lösung trifft, der zur linken Seite der Differentialgleichung passt. Wenn du variabel machst, kann dieser Faktor die Inhomogenität ausgleichen. Beim Einsetzen fallen die Terme weg, die genau der homogenen Gleichung entsprechen.
Warum darf man am Ende nicht noch einmal y(h)(x) zur Lösung addieren?

addierst du am Ende nicht noch einmal, weil der homogene Anteil schon in steckt. Beim Integrieren für entsteht eine Integrationskonstante , und in $y = c(x)\,y_h(x)$ wird daraus automatisch ein Term $C\,y_h(x)$ . Wenn du dann noch addierst, zählst du den homogenen Teil doppelt.