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Induktionsbeweis

Du sollst einen Induktionsbeweis führen, weißt aber nicht, wie das geht? Hier und im Video erklären wir dir die Beweisidee und zeigen sie dir mit Beispielen.

Inhaltsübersicht

Induktionsbeweis einfach erklärt

Stell dir eine unendlich lange Treppe vor, bei der jede Stufe eine natürliche Zahl (also 1, 2, 3, …) darstellt. Der Induktionsbeweis ist eine Methode in der Mathematik, mit der du zeigen kannst, dass eine bestimmte Regel oder Eigenschaft für jede dieser Stufen gilt.

Zuerst überprüfst du, ob die Regel für die erste Stufe, die Zahl 1, zutrifft.

Dann kommt der wichtige Teil: Du zeigst, dass wenn die Regel für eine beliebige Stufe stimmt, sie auch für die nächste Stufe gültig ist. So kannst du sicher sein, dass die Regel für alle Stufen, also für alle natürlichen Zahlen, stimmt.

Induktionsbeweis — Aufbau

Ein Induktionsbeweis besteht aus drei Teilen:

dem Induktionsanfang (IA)
der Induktionsvoraussetzung (IV)
dem Induktionsschritt (IS)

Beispiel

Sie dir die drei Schritte einmal für die Gaußsche Summenformel genauer an:

$1+2+3+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}$

Du willst mit einem Induktionsbeweis zeigen, dass die Gleichung für alle natürlichen Zahlen $n\in\mathbb{N}$ richtig ist.

Induktionsanfang (IA)

Zu Beginn des Induktionsbeweises steht der Induktionsanfang. Hier überprüfst du, ob deine Formel bei n=1 funktioniert. Dieser Schritt ist entscheidend, denn er legt das Fundament für den Beweis. Ist der Induktionsanfang korrekt, kannst du den restlichen Beweis darauf aufbauen.

Beispiel

Für den Induktionsanfang berechnest du die Gleichung $1+2+3+\dots + n=\frac {n(n+1)}{2}$ für n=1.

Die Summe auf der linken Seite der Gleichung ist 1, da es nur einen Summanden gibt. Setzt du n=1 in die rechte Seite der Gleichung ein, erhältst du:

$\frac{\textcolor{blue}1(\textcolor{blue}1+1)}{2}=\frac{1\cdot 2}{2}=1$

Diese Seite ergibt also ebenfalls 1. Da beide Seiten übereinstimmen, ist der Induktionsanfang erfolgreich.

Übrigens: Bei manchen Beweisen kann es sein, dass deine Aussage erst ab einer bestimmten natürlichen Zahl gelten soll, z.B ab der 4. Dann startest du in Induktionsanfang auch mit der 4 statt der 1.

Induktionsvoraussetzung (IV)

Nach dem Induktionsanfang kommt die Induktionsvoraussetzung (IV). Hier machst du eine Annahme: Du nimmst an, dass deine Regel für eine beliebige natürliche Zahl n wahr ist.

Beispiel

Bei der Induktionsvoraussetzung gehst du davon aus, dass deine Gleichung für ein beliebiges, aber festes n gilt. Du glaubst also, dass die Summe der Zahlen von 1 bis zu diesem n gleich $\frac{n(n+1)}{2}$ ist.

Wichtig: Da du die Annahme nur für ein bestimmtes, festes n machst, darfst du hier nicht „gilt für alle n“ schreiben.

Induktionsschritt (IS)

Der Induktionsschritt ist der Kern des Induktionsbeweises. Hier zeigst du, dass wenn eine Regel oder Formel für eine bestimmte Zahl n gilt, sie auch für die nächste Zahl n+1 wahr ist. Die Induktionsvoraussetzung (IV) benutzt du dabei als Grundlage für deinen Beweis.

Beispiel

Starte mit der Summe und addiere $n + 1$ hinzu:

$1 + 2 + 3 + \dots + n + (n + 1)$

Dein Ziel ist es zu zeigen, dass diese Summe der Formel

$\frac{(\textcolor{blue}{n+1})((\textcolor{blue}{n+1})+1)}{2}$

entspricht. Mit der Induktionsvoraussetzung $1+2+3+\dots + n=\frac {n(n+1)}{2}$ , bekommst du:

$\textcolor{red}{1+2+3+\dots + n} +(n+1)=\textcolor{red}{\frac {n(n+1)}{2}}+(n+1)$

Als nächstes bringst du alles auf den gleichen Nenner:

$\frac {n(n+1)}{2} + \frac {2(n+1)}{2}$

Das fasst du zusammen und erhältst die Formel für $n + 1$ :

$\frac {n(n+1)}{2} + \frac {2(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)+2(n+1)}{2}=\frac{(n+1)(n+2)}{2}= \frac{(\textcolor{blue}{n+1})((\textcolor{blue}{n+1})+1)}{2}$

Damit hast du gezeigt, dass die Gleichung für $n +1$ gilt, wenn sie für $n$ gilt. Der Induktionsschritt ist somit erfolgreich.

Induktionsbeweis — Beispiel 2

Die Summe der ersten $n$ Quadratzahlen

$\sum_{i=1}^ni^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Induktionsanfang (IA): Überprüfe die Regel für $n = 1$ .

$\sum_{i=1}^{\textcolor{blue}1}i^2=1=\frac{1\cdot 2\cdot 3}{6}=\frac{\textcolor{blue}1(\textcolor{blue}1+1)(2\cdot \textcolor{blue}1 +1)}{6}$

Die Regel stimmt also für $n = 1$ .

Induktionsvoraussetzung (IV): Nehme an, dass für ein festes n gilt:

$\sum_{i=1}^ni^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Induktionsschritt (IS): Zeige, dass die Regel mit (IV) auch für $n + 1$ gilt, d.h. zeige, dass

$\sum_{i=1}^{\textcolor{blue}{n+1}}i^2= \frac{(\textcolor{blue}{n+1})((\textcolor{blue}{n+1})+1)(2(\textcolor{blue}{n+1})+1)}{6}= \frac{(n + 1)(n + 2)(2n + 3)}{6}$

Beginne dafür auf der rechten Seite:

$\sum_{i=1}^{n+1}i^2= \sum_{i=1}^n i^2+(n+1)^2$

Das ist nach der Induktionsvoraussetzung (IV):

$\begin{align*}\textcolor{red}{\sum_{i=1}^n i^2}+(n+1)^2&=\textcolor{red}{ \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}} + (n + 1)^2\\ &= \frac{n(n + 1)(2n + 1) + 6(n + 1)^2}{6}\\ &= \frac{n(n + 1)(2n + 1) + 6(n^2 + 2n + 1)}{6}\\ &= \frac{n(n + 1)(2n + 1) + 6n^2 + 12n + 6}{6}\\ &= \frac{n(n + 1)(2n + 1) + 6n(n + 1) + 6(n + 1)}{6}\\ &= \frac{(n + 1)(n(2n + 1) + 6n + 6)}{6}\\ &=\frac{(n + 1)(2n^2 + 7n + 6)}{6}\\ &=\frac{(n + 1)(2n^2 + 4n + 3n + 6)}{6}\\ &=\frac{(n + 1)(n + 2)(2n + 3)}{6}\end{align*}$

Induktionsbeweis — Beispiel 3

Teilbarkeit durch 2

3ⁿ– 1 ist für jede natürliche Zahl $n\in\mathbb{N}$ durch 2 teilbar

Induktionsanfang (IA): Prüfe für $n = 1$ , ob 3ⁿ– 1 durch 2 teilbar ist. Da 3¹– 1 = 3 – 1 = 2, ist es durch 2 teilbar.

Induktionsvoraussetzung (IV): Nehme an, dass 3ⁿ– 1 für ein beliebiges festes n durch 2 teilbar ist.

Induktionsschritt (IS): Zeige, dass 3ⁿ⁺¹– 1 auch durch 2 teilbar ist.

$\begin{align*}3^{\textcolor{blue}{n+1}} - 1& = 3^{n+1} - 1 + 3 - 3 \\ &= 3^{n+1} - 3 + 2\\ & = 3 \cdot 3^n - 3 + 2\\ &= 3(3^n -1)+2 \end{align*}$

Jetzt benutzt du die Induktionsvoraussetzung (IV):

Da 3ⁿ– 1 nach IV durch 2 teilbar ist, ist auch 3(3ⁿ– 1) durch 2 teilbar.
Da 2 offensichtlich durch 2 teilbar ist, ist auch die gesamte Summe 3(3ⁿ– 1)+2 durch 2 teilbar.

Also ist auch 3ⁿ⁺¹– 1 durch 2 teilbar.

Induktionsbeweis — häufigste Fragen

Was ist ein induktiver Beweis?
Ein Induktionsbeweis ist eine mathematische Methode, um zu zeigen, dass eine Aussage für alle natürlichen Zahlen gilt: Du beweist sie für eine Startzahl und dann schrittweise für alle weiteren Zahlen.
Wie funktioniert der Induktionsschritt?
Im Induktionsschritt zeigst du: Wenn die Aussage für eine natürliche Zahl n gilt, dann ist sie auch für die nächste Zahl n+1 wahr.

Vollständige Induktion Aufgaben

Vertiefe dein Wissen über die Induktion in Mathe mit Aufgaben! Unser Beitrag „Vollständige Induktion Aufgaben“ bietet dir hilfreiche Übungen und Lösungen. Schau gleich rein und meistere diese wichtige Beweismethode!

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