Elektrotechnik Grundlagen

Gaußsches Eliminationsverfahren

Inhaltsübersicht

In diesem Beitrag zeigen wir dir, wie du mithilfe des Gaußschen Eliminationsverfahrens Gleichungssysteme schnell lösen kannst.

Gleichungssysteme in der Schaltungsanalyse

Bei der Analyse von elektronischen Schaltungen mit dem Maschenstrom- oder Knotenpunktpotentialverfahren erhalten wir ein Gleichungssystem, das sich als Matrixgleichung schreiben lässt. Allgemein kann das so aussehen:

Allgemeine Matrixgleichung

Anwendung des Gaußschen Eliminationsverfahrens

Matrix-Gleichungen können mithilfe zwei verschiedener Verfahren gelöst werden:

Eine Möglichkeit ist die Cramersche Regel. Die Alternative dazu ist das Gaußsche Eliminationsverfahren. Falls du keine Determinanten berechnen möchtest, dann probier‘s doch einfach damit.

Gaußsches Eliminationsverfahren – Beispiel

Gesucht sind die Maschenströme IM1, IM2 und IM3. Alle Widerstände sind gleich groß und haben den Wert 1 Ω. Die Spannungsquelle Uq0 hat 5 Volt und die Quelle Uq5 liefert 20 Volt. Nun können wir die Werte einsetzen. Die Matrix sieht jetzt so aus:

Gaußsches Eliminationsverfahren
Einsetzen der Werte

Für die weiteren Rechnungen vernachlässigen wir die Einheiten – wir schauen uns also nur die Zahlen an.

1. Umwandlung des Gleichungssystems

Wir gehen dabei nach einem Fahrplan vor, der aus drei Stationen besteht.

Beginnen wir mit Schritt eins, der Umwandlung des Gleichungssystems. Dazu multiplizieren wir jede einzelne Zeile des Vektors mit jedem Element der jeweiligen Zeile der Matrix. Der Ergebnisvektor wird dann durch einen Strich vom Rest der Matrix getrennt. Diese Form der Matrix benötigen wir, um danach weiterrechnen zu können.

Gaußsches Eliminationsverfahren
1. Umwandlung des Gleichungssystems

Der Vektor mit den gesuchten Strömen steht nun über den einzelnen Spalten. Wir schreiben ihn dabei aber nicht hin, sondern behalten ihn einfach im Kopf. Zudem nummerieren wir die einzelnen Zeilen durch.

2. Matrixumformung in Stufenform

Schritt zwei ist dann die Matrixumformung in Stufenform, sodass nur auf und oberhalb der Diagonalen Werte ungleich Null stehen. Das erreichst du durch geschicktes multiplizieren und späterem addieren bzw. subtrahieren der Zeilen.

Gaußsches Eliminationsverfahren
2. Matrixumformung in Stufenform

Damit kannst du jetzt noch nicht viel anfangen? Dann schauen wir uns das am besten gleich mal an unserem Beispiel an!

Als erstes eliminierst du die beiden unteren Plätze deiner Matrix. Dafür multiplizieren wir alle Werte der  zweiten und dritten Zeile mit dem Faktor drei.

Gaußsches Eliminationsverfahren
Eliminierung der unteren Plätze der Matrix

Jetzt haben wir auf den beiden zu eliminierenden Stellen -3  stehen. Wenn wir jetzt die erste Zeile addieren, kommen wir auf die gewünschte Null.

Gaußsches Eliminationsverfahren
Addition der ersten Zeile

Wenn du sicher im Rechnen bist, dann kannst du das ganze natürlich auch in EINEM Schritt machen. Neben dem Pfeil steht dann: Z2 wird zu 3 mal Z2 plus Z1 und Z3 wird zu 3 mal Z3 plus Z1. Aufgepasst, hier solltest du ein Pfeil anstatt einem istgleich verwenden.

Gaußsches Eliminationsverfahren
Beide Schritte können auch simultan durchgeführt werden

Um die berühmte Treppe aus lauter Nullen zu erhalten, braucht die letzte Reihe eine weitere Null. Hierfür multiplizieren wir die dritte Zeile mit dem Faktor 2, um anschließend durch das Addieren der zweiten Zeile auf Null zu kommen.

Gaußsches Eliminationsverfahren
Der letzte Schritt führt zur 0er-Treppe

3. Rekursives Auflösen des Gleichungssystems

Wir haben unser Ziel erreicht – das Ergebnis ist die Matrix in Stufenform. Hier noch ein Tipp: Schreibe dir bei deiner Matrixumformung am besten jeden deiner Rechenschritte Schitt für Schritt auf. Denn wenn du dich verrechnen solltest, dann hilft das ungemein bei der Fehlersuche.

Kommen wir jetzt zu Schritt drei, dem rekursiven auflösen. Das heißt, dass immer wieder in das Ergebnis in die Zeile darüber eingesetzt wird. Rekursiv bedeutet dabei, dass wir in der letzten Zeile anfangen, denn in dieser steht schon „fast“ das Ergebnis für den Maschenstrom IM3. Wir erinnern uns an die Bedeutung der einzelnen Spalten: Spalte 1 steht für IM1, Spalte 2 für IM2 und Spalte 3 für IM3.

Gaußsches Eliminationsverfahren
3. Rekursives Auflösen

Jetzt schreibst du die Gleichungen der einzelnen Zeilen heraus.

In Zeile 3 steht:

12 IM3 = -30.

IM3 ist also -30 durch 12 und das ist -2,5. Dabei darfst du natürlich die Einheit Ampere nicht vergessen.

In Zeile 2 steht:

8I_{M2}\ - 4I_{M3}= -40

Umgeformt auf IM2 ergibt das: Ein Achtel mal Minus 40 plus vier IM3. IM3 haben wir ja gerade eben berechnet. IM2 ist also -6,25 Ampere.

Zuletzt löst du noch Zeile 1 auf.

In Zeile 1 steht

{3I}_{M1}\ - I_{M2}- I_{M3}= +20

Auflösen nach IM1 und einsetzen der gerade eben berechneten anderen Ströme bringt dich zur Lösung: IM1 ist gleich 3,75 Ampere.

Eigentliche Richtung des Maschenstromes

Das war’s auch schon, das Ergebnis für die einzelnen Ströme ist das gleiche wie beim Beitrag zur Cramerschen Regel. Das ist prima, denn das bedeutet, erstens, dass wir uns nicht verrechnet haben und zweitens, dass beide Verfahren trotz verschiedener Vorgehensweisen zur Lösung führen.

Wir haben nun die Maschenströme mit der Annahme berechnet, dass alle Widerstände gleich groß sind und die Spannungsquellen 5 beziehungsweise 20 Volt liefern. Der Maschenströme IM3 und IM2 sind negativ. Das bedeutet, dass die durch den Maschenumlauf angenommene Richtung des Maschenstromes falsch war – in Wirklichkeit fließt der Strom nämlich in die andere Richtung. Das erkennst du an dem negativen Vorzeichen.

Mit diesem Fahrplan kannst du das Gaußsche Eliminationsverfahren Schritt für Schritt einfach anwenden.  Probiere es gleich aus!

 


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