Algebra
Gleichungen & Ungleichungen
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Du willst wissen, was eine Lösungsmenge ist und wie du sie bestimmen kannst? Dann bist du hier genau richtig. %Wenn du dich lieber entspannt zurücklehnst anstatt Texte zu lesen, dann klick doch einfach auf unser Video hier!

Lösungsmenge einfach erklärt

Schau dir einmal folgende Gleichung an: 

    \[x+5 = 8\]

Welche Zahlen kannst du für x einsetzen, damit die Gleichung erfüllt ist?

Um das rauszubekommen, musst du die Gleichung nach x auflösen . Du erhältst:

    \begin{align*}x+5 &= 8\qquad|-5 \\x &= 3\end{align*}

Die 3 ist also deine Lösung. Um alle möglichen Lösungen für x aufzuschreiben, benutzt du die Lösungsmenge \mathbb{L}. In diesem Fall würde sie so aussehen:

\mathbb{L} = {3}

Lösungsmenge Definition

Die Lösungsmenge enthält alle Zahlen, die du für x einsetzten kannst, um die Gleichung zu lösen.

Lösungsmenge Beispiele

Schau dir dazu am besten gleich mal diese Beispiele an, und bestimme ihre Lösungen:

Beispiel 1: 2x = 10

Löse diese Gleichung nach x auf:

    \begin{align*}2x &= 10\qquad|:2 \\x &= 5\end{align*}

Nur wenn du für x die 5 einsetzt, ist die Gleichung erfüllt.

\rightarrow \mathbb{L} = {5}

Beispiel 2: x² = 4

Hier musst du eine quadratische Gleichung lösen

    \begin{align*}x^2 &= 4\qquad|\sqrt{\phantom{3}} \\x_1 &= -2,\qquad x_2 = 2\end{align*}

Du kannst für x  also sowohl -2 als auch 2 einsetzten. Deshalb muss die Lösungsmenge hier mehrere Zahlen beinhalten:

\rightarrow \mathbb{L} = {-2;2}

Leere Lösungsmenge

Was fällt dir auf, wenn du folgende Gleichung betrachtest?

    \[x = x+1\]

Es gibt keine Zahl, die die Gleichung löst, egal mit welcher du es versuchst! Deshalb schreibst du:

\rightarrow \mathbb{L} = { }

Was ist eine unlösbare Gleichung?

Gleichungen mit einer leeren Lösungsmenge, also \mathbb{L} = { }, heißen unlösbar.

Oft gibt es aber eine oder mehrere mögliche Werte für x, die die Gleichung lösen.

Nichtleere Lösungsmenge

Beispiele dazu hast du schon am Anfang gesehen. Hier sind noch ein paar weitere:

Beispiel 1: x-4 = 8

\rightarrow \mathbb{L} = {12}

Beispiel 2: x² = 9

Du kannst hier die 3 oder die -3 einsetzten, die Gleichung ist beide Male richtig. Es gibt also zwei Möglichkeiten, die Gleichung zu lösen:

\rightarrow \mathbb{L} = {-3;3}

Definition nichtleere Lösungsmenge

Gleichungen mit einer nichtleeren Lösungsmenge nennst du lösbar. Sie kann eine oder mehrere Zahlen enthalten. Enthält sie nur eine Zahl, nennt man die Gleichung auch eindeutig lösbar.

Bei lösbaren Gleichungen kannst du noch zwischen teilgültigen und allgemeingültigen Gleichungen unterscheiden.

Teilgültige Gleichungen

Schau dir folgende Gleichung an:

2x-4 = 0

\rightarrow\mathbb{L} = {2}.

Diese Gleichung nennst du teilgültig. Warum? Die Gleichung ist nur für einen Teil aller Zahlen lösbar — hier nur für die 2—, nicht für alle. Es gibt also mindestens eine Lösung, aber nicht unendlich viele.

Definition teilgültige Gleichungen

Gleichungen mit einer Lösungsmenge, die weder leer ist noch alle Zahlen enthält, heißen teilgültig.

Allgemeingültige Gleichungen

Was fällt dir an dieser Gleichung auf?

x+x = 2x

Egal welche Zahl du für x einsetzt, die Gleichung geht immer auf! Das schreibst du dann so:

\rightarrow \mathbb{L} = \mathbb{R} (also die reellen Zahlen )

Definition allgemeingültige Gleichungen

Gleichungen mit einer Lösungsmenge, die alle Zahlen enthält, nennt man allgemeingültig.

Doch was musst du tun, wenn du eine Definitionsmenge gegeben hast?

Lösungsmenge in Abhängigkeit der Definitionsmenge

Manchmal hast du noch eine Definitionsmenge gegeben. Darin stehen alle Zahlen, die due überhaupt für x in die Gleichung einsetzen darfst.

Schau dir dazu folgendes Beispiel an:

x^2-16 = 0 mit der Definitionsmenge \mathbb{D} = \mathbb{Z} (also den ganzen Zahlen …-2,-1,0,1,2…)

\rightarrow \mathbb{L} = {-4; 4}

Jetzt änderst du die Definitionsmenge:

x^2-16 = 0 mit der Definitionsmenge \mathbb{D} = \mathbb{N} (also den natürlichen Zahlen 0,1,2…)

\rightarrow \mathbb{L} = {4}

Du siehst, dass sich die Lösungsmenge geändert hat. Das liegt daran, dass die -4 als andere mögliche Lösung nicht in den natürlichen Zahlen enthalten ist.

Definitionsmenge & Lösungsmenge

Hast du eine Definitionsmenge \mathbb{D} gegeben, darfst du in die Lösungsmenge nur die Zahlen schreiben, die auch in der Definitionsmenge enthalten sind. 

Gleichungen lösen

Super, jetzt weißt du wie man Lösungsmengen bestimmen kann! Du hast gesehen, dass man dazu auch oft Gleichungen lösen musst. Wenn du das nochmal wiederholen willst, schau dir doch gleich unser Video dazu an.

Zum Video: Gleichungen lösen
Zum Video: Gleichungen lösen

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