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Senkrechter Wurf

Wichtige Inhalte in diesem Video

Senkrechter Wurf einfach erklärt

Grundlagen für den senkrechten Wurf

Senkrechter Wurf Beispiele

Was ein senkrechter Wurf ist und wie du ihn berechnen kannst? Das erfährst du hier und im Video !

Inhaltsübersicht

Senkrechter Wurf einfach erklärt

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Der senkrechte Wurf ist eine Bewegung, bei der ein Körper senkrecht nach oben geworfen wird. Bei der Bewegung nach oben bremst ihn die Erdbeschleunigung ab. Er erreicht nur also eine bestimmte Maximalhöhe. Anschließend fällt der Körper wieder herunter, wobei er von der Erdbeschleunigung beschleunigt wird.

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Um den senkrechten Wurf einfacher zu beschreiben, betrachtest du die Bewegungen einzeln.
Den senkrechten Wurf setzt du aus den zwei Teilbewegungen Auf- und Abstieg zusammen.
Der Körper wird mit einer Anfangsgeschwindigkeit $v_{\rm{0}}$ senkrecht hochgeworfen und anschließend durch die Erdbeschleunigung heruntergezogen.

Grundlagen für den senkrechten Wurf

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Bevor du den senkrechten Wurf berechnen kannst, benötigst du zwei grundlegende Bewegungsarten in der Physik. Einmal die gleichförmige Bewegung, die den Aufstieg beim senkrechten Wurf beschreibt. Und einmal die gleichmäßig beschleunigte Bewegung, die den Abstieg bzw. den freien Fall beschreibt.

gleichförmige Bewegungen: Bei der gleichförmigen Bewegung bleibt die Geschwindigkeit gleich.(Rolltreppen, Fließbänder, Planeten)
gleichmäßig beschleunigte Bewegungen: Bei der gleichmäßig beschleunigten Bewegung verändert sich die Geschwindigkeit gleichmäßig. (fallender Körper, abbremsendes oder beschleunigendes Auto)

Für beide Bewegungen existieren unterschiedliche zeitliche Zusammenhänge. Die Zusammenhänge zwischen Strecke und Zeit sowie zwischen Geschwindigkeit und Zeit sind hier dargestellt:

	gleichförmige Bewegung	gleichmäßig beschleunigte Bewegung
Strecke – Zeit	$s(t) = v_{\rm{0}} \cdot t$	$s(t) = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^{2}$
Geschwindigkeit – Zeit	$v(t) = v_{\rm{0}}$	$v(t) = a \cdot t$

= Zeit
= Strecke zur Zeit
= Geschwindigkeit zur Zeit
$v_{\rm{0}}$ = Anfangsgeschwindigkeit
= Beschleunigung

Wichtig: Beim senkrechten Wurf entspricht die Beschleunigung der Erdbeschleunigung und die Strecke gibst du als Höhe an.

Senkrechten Wurf Formel

Um den senkrechten Wurf jetzt zu berechnen, schaust du dir die zwei Teilbewegungen Auf- und Abstieg einzeln an.

Denn die Idee ist, eine komplexen Bewegungen in zwei einfache Teilbewegungen zu unterteilen. Im Falle des senkrechten Wurfes unterteilst du die Gesamtbewegung in eine gleichförmige Aufwärtsbewegung und eine gleichmäßig beschleunigte Abwärtsbewegung.

Aufwärtsbewegung: Die Bewegung senkrecht nach oben hängt von der Anfangsgeschwindigkeit ab. Es handelt sich also um eine gleichförmige Bewegung.
Abwärtsbewegung: Die Bewegung senkrecht nach unten richtet sich nach der Erdbeschleunigung. Es handelt sich also um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung.

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Um beim senkrechten Wurf die Gesamthöhe und Gesamtgeschwindigkeit abhängig von der Zeit t zu berechnen, ziehst du in der Formel die gleichförmige Aufwärtsbewegung von der gleichmäßig beschleunigten Abwärtsbewegung ab.

$h(t) = \textcolor{blue}{v_{\rm{0}} \cdot t \:} - \: \textcolor{orange} {\frac{1}{2} \cdot a \cdot t^{2}}$

$v(t) = \textcolor{blue}{v_{\rm{0}}} \: - \: \textcolor{orange}{g \cdot t}$

Mit den beiden Formeln kannst du jetzt weitere Größen berechnen!

Superpositionsprinzip

Möglich ist die Aufteilung der Bewegungen beim senkrechten Wurf durch das sogenannte Superpositionsprinzip. Das Superpositionsprinzip oder Überlagerungsprinzip besagt, dass einzelne Teilbewegungen unabhängig voneinander ablaufen ohne sich gegenseitig zu beeinflussen.

Senkrechter Wurf berechnen

Mit der Geschwindigkeitsformel kannst du die Steigzeit berechnen. Setzt du die Steigzeit in die die Höhenformel ein, so erhältst du die Maximalhöhe. Aus der Maximalhöhe kannst du anschließend die Fallzeit berechnen.

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Steigzeit: Am höchsten Punkt ist die Geschwindigkeit gleich null. Die Steigzeit ist daher die Zeit, bis die Geschwindigkeit des Körpers gleich null ist. Du setzt $v_{\rm{0}}$ gleich 0 und formst dann nach um.

$v_{\rm{ges}}(t) = 0 \: \Leftrightarrow \: v_{\rm{0}} - g \cdot t = 0 \: \Rightarrow \: \boldsymbol{t_{\rm{Steig}} = \frac{v_{\rm{0}}}{g}}$

Maximalhöhe: Für die Maximalhöhe setzt du die Steigzeit in die Formel der $h_{ges}(t)$ , also in die Höhe zu einem beliebigen Zeitpunkt ein.

$h(t_{\rm{Steig}}) = v_{\rm{0}} \cdot t_{\rm{Steig}}\: - \: \frac{1}{2} \cdot g \cdot t_{\rm{Steig}}^{2} = v_{\rm{0}} \cdot \frac{v_\rm{0}}{g}\: - \: \frac{1}{2} \cdot g \cdot (\frac{v_{\rm{0}}}{g})^{2} \Rightarrow \boldsymbol{h_{\rm{max}} = \frac{v_0^2}{2g}}$

Fallzeit: Die Fallbewegung entspricht dem freien Fall . Du setzt $h_{\rm{max}}$ in die Formel für die gleichmäßig beschleunigte Bewegung ein:

$s(t) = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^{2} \: \Leftrightarrow \: \boldsymbol{t_{\rm{Fall}} = \sqrt{\frac{2 \cdot h_{\rm{max}}}{g}}}$

Flugzeit: Die Flugzeit ist die Gesamtdauer vom Abwurf bis nach oben hoch und zurück zum Ausgangspunkt. Die Flugzeit entspricht der doppelten Steig- oder Fallzeit.

Senkrechter Wurf mit Anfangshöhe

Wird ein Körper von einer Anfangshöhe aus geworfen, so addierst du zur Höhe des Gegenstandes die Anfangshöhe. Die Formel für die Geschwindigkeit bleibt die selbe.

Höhe zu beliebigen Zeitpunkt t:	$h(t) = v_{\rm{0}} \cdot t \: - \: \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^{2} \: \pmb{+} \: \pmb{h_{\rm{Anfang}}}$
Geschwindigkeitzu beliebigen Zeitpunkt t:	$v(t) = v_{\rm{0}} \: - \: g \cdot t$

Daraus ergeben sich folgende Formeln für den senkrechten Wurf mit Anfangshöhe:

Die Steigzeit ist die selbe wie ohne Anfangshöhe:

${t_{\rm{Steig}} = \frac{v_{\rm{0}}}{g}$

Für die Maximalhöhe wird die Anfangshöhe addiert:

$h_{\rm{max}} = \frac{(v_{\rm{0}})^2}{2g}} \pmb{+ \: h_{\rm{Anfang}}}$

Die Fallzeit bis zum Boden erhöht sich, da nun ein längerer Weg nach Unten zurückgelegt wird:

${t_{Fall} = \sqrt{ \frac{2 \cdot (h_{\rm{max}} \pmb{+ h_{\rm{Anfang}}})}{g}}$

Die Flugzeit ist anders als beim senkrechten Wurf ohne Anfangshöhe sind mit Anfangshöhe Steigzeit und Fallzeit bis zum Boden nicht gleich groß.

$t_{\rm{Flug}} = t_{\rm{Steig}} + t_{\rm{Fall}}$

Senkrechter Wurf Beispiele

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Stell dir als Beispiel für den senkrechten Wurf folgendes vor:
Ein Ball wird mit einer Anfangshöhe von 2 m und einer Anfangsgeschwindigkeit von $30 \, \frac{\rm{m}}{\rm{s}}$ senkrecht in die Luft geschossen. Die Erdbeschleunigung beträgt vereinfacht $g = 10 \, \frac{\rm{m}}{\rm{s}^2}$ .

Als Erstes sollst du die maximale Höhe und die Steigzeit berechnen. Um die Steigzeit zu berechnen setzt du Anfangshöhe und $v_{\rm{0}}$ und Erdbeschleunigung in die Formel für die Steigzeit ein.
${t_{\rm{Steig}} = \frac{v_{\rm{0}}}{g} = \frac{30 \, \frac{\rm{m}}{\rm{s}}}{10 \, \frac{m}{\rm{s}^2}} = \bold{3 \, \rm{s}}$

Die maximale Höhe berechnest du mit der Formel für $h_{\rm{max}}$ , indem du fehlenden Größen einsetzt.

$h_{\rm{max}} = \frac{v_{\rm{0}}^2}{2g} + h_{\rm{Anfang}}= \frac{(30 \, \frac{\rm{m}}{\rm{s}})^2}{2 \cdot 10 \, \frac{\rm{m}}{\rm{s}^2}} + 1.5 \, \rm{m} = \bold{46.5 \, \rm{m}}$

Als zweites sollst du Höhe und Geschwindigkeit des Balls nach 2 Sekunden berechnen. Hierfür setzt du t = 2 s in die Formel für Gesamthöhe und -geschwindigkeit ein.
$h(t) = v_{\rm{0}} \cdot t \: - \: \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^{2} \: + \: h = 30 \; \frac{\rm{m}}{\rm{s}} \cdot 2 \, s \: - \: \frac{1}{2} \cdot 10 \; \frac{\rm{m}}{\rm{s}^2} \cdot (2 \, s)^{2} \: + \: 1.5 \; \rm{m} = \bold{41.5 \, \rm{m}}$

$v(t) = v_{\rm{0}} \: - \: g \cdot t \Rightarrow 30 \, \frac{\rm{m}}{\rm{s}} \: - \: 10 \, \frac{\rm{m}}{\rm{s}^2} \cdot 2 \, \rm{s} = \bold{10 \, \frac{\rm{m}}{\rm{s}}}$

Zum Schluss sollst du den Zeitpunkt berechnen, an dem der Ball eine Geschwindigkeit von $v = - \: 8 \, \frac{\rm{m}}{\rm{s}}$ besitzt. Du benötigst hierfür den Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit und Zeit. Diesen stellt die Formel $v(t) = v_{\rm{0}} \: - \: g \cdot t$ dar. Um an die Zeit zu kommen, stellst du die Formel nach t um.
$v(t) = v_{0} \: - \: g \cdot t \: = \: - \: 8 \: \frac{\rm{m}}{\rm{s}} \: \Rightarrow \: t \: = \: \frac{30 \: \frac{\rm{m}}{\rm{s}} \: + \: 8 \: \frac{\rm{m}}{\rm{s}}}{10 \: \frac{\rm{m}}{\rm{s^2}}} \: = \: \bold{3.8 \; \rm{s}}$

Energieerhaltungssatz — maximale Höhe berechnen

Mit dem Energieerhaltungssatz hast du eine zweite Möglichkeit die Maximalhöhe zu bestimmen.

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Der Energieerhaltungssatz besagt, dass die Gesamtenergie in einem geschlossenen System erhalten bleibt. Relevant für den senkrechten Wurf nach oben sind die potenzielle und die kinetische Energie.

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Die Masse des Gegenstandes und Erdbeschleunigung verändern sich nicht. Somit ist die maximale Höhe erreicht wenn, die maximale potenzielle Energie erreicht ist. Dies ist der Fall, wenn die Gesamtenergie vollständig in potenzielle Energie übergegangen ist. Da zu Beginn nur kinetische Energie durch die Abwurfgeschwindigkeit vorhanden ist, entspricht die Gesamtenergie des Wurfes $E_{\rm{ges}} = E_{\rm{kin}}$ .

$E_{\rm{pot}} = m \cdot g \cdot h$

$E_{\rm{kin}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^{2}$

Die maximale potenzielle Energie $E_{\rm{pot,max}}$ entsprich der kinetischen Energie am Anfang $E_{\rm{kin,0}}$ :

$E_{\rm{pot,max}} = E_{\rm{kin,0}} \: \Leftrightarrow \: m \cdot g \cdot h_{\rm{max}} \: = \: \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_{\rm{0}}^{2} \: \Leftrightarrow \: \boldsymbol{ h_{\rm{max}} = \frac{v_{\rm{0}}^2}{2g}}$

Senkrechter Wurf — häufigste Fragen

Was ist der senkrechte Wurf?
Beim senkrechten Wurf nach oben wird ein Körper senkrecht nach oben geworfen. Dabei bremst ihn die Erdbeschleunigung ab, sodass er nur eine maximale Höhe erreicht. Anschließend wird der Körper durch die Erdbeschleunigung nach unten beschleunigt.
Welche Formel beschreibt den senkrechten Wurf?
- Die Formel die Höhe beim senkrechten Wurf lautet: h(t) = v • t – 1/2 • a • t²
- Die Formel für die Geschwindigkeit beim senkrechten Wurf lautet: v(t) = v – g • t

Quiz zum Thema Senkrechter Wurf

Waagerechter Wurf

Neben dem senkrechten Wurf nach oben kannst du einen Körper auch zur Seite werfen. Dabei handelt es sich um den sogenannten waagerechten Wurf. Möchtest du mehr über den waagerechten Wurf erfahren? Dann schau dir unser Video dazu an!

Zum Video: Waagerechter Wurf

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