Eigenfrequenz und freie Schwingung
Ein schwingungsfähiges System, das eine freie Schwingung ausführt, schwingt mit seiner Eigenfrequenz. In diesem Beitrag lernst du, durch was eine freie Schwingung charakterisiert wird und wie Eigenmoden und Eigenfrequenzen damit zusammenhängen. Außerdem erfährst du, wie du die Eigenfrequenz bei einem Federpendel, einem Fadenpendel und einem physikalischen Pendel berechnen kannst und wann es in einem System zur sogenannten Resonanzkatastrophe kommt.
Um die Thematik und die Zusammenhänge noch besser zu verstehen schau dir unser Video zur Eigenfrequenz und der freien Schwingung an. Hier erklären wir dir alles was du wissen musst ausführlich in kürzester Zeit!
Inhaltsübersicht
Eigenfrequenz Definition
Die Eigenfrequenz eines schwingungsfähigen Systems, sind diejenigen Frequenzen, mit denen das System ohne Einfluss äußerer Kräfte nach einer einmaligen Anregung schwingen kann. Die Eigenfrequenzen lassen sich durch lösen der Schwingungsgleichung des Systems ermitteln. Dabei ist die allgemeine Schwingungsform eine Linearkombination aller Eigenschwingungen des Systems.
Man kann jede beliebige Schwingung eines Systems durch eine Überlagerung der Eigenschwingungen ausdrücken.
Eigenmode
Die Eigenmoden, auch Normalmoden genannt, stellen eine diskrete Basis dar, um die Schwingungen in einem ungedämpften und frei schwingenden System in harmonischer Näherung zu beschreiben. Die Eigenmoden und Eigenfrequenzen berechnen sich dabei aus den Bewegungsgleichungen des Systems. Die Eigenmoden sind gerade die Eigenvektoren des Gleichungssystems und die Eigenfrequenzen die zu den Eigenvektoren gehörenden Eigenwerte.
Die Eigenfrequenzen des Systems sind also die Frequenzen der Eigenmoden. Die Anzahl der Eigenmoden hängt dabei von der Anzahl der Freiheitsgrade des Systems ab. Es gibt genauso viele linear unabhängige Eigenmoden und maximal so viele Eigenfrequenzen, wie es Freiheitsgrade gibt. Jede Schwingung eines Systems kann als Überlagerung von Eigenmoden beschrieben werden.
Freie Schwingung
Ein schwingungsfähiges System führt eine freie Schwingung aus, wenn es nach einer Störung beziehungsweise Auslenkung ohne Einwirkung äußerer Kräfte mit einer seiner Eigenfrequenzen schwingt. Man spricht dann auch von einer freien harmonischen Schwingung. Möchtest du wissen, wie man die Schwingungsdauer und Amplitude einer Schwingung berechnet, dann schau unseren extra Beitrag dazu an.
Betrachtet man eine freie Schwingung ohne Dämpfung, so schwingt das System immer mit der gleichen Frequenz und Amplitude. Eine zusätzliche Dämpfung lässt die Frequenz der Schwingung unverändert, aber die Amplitude der Schwingung wird aufgrund der Dämpfung kleiner, bis sie im Gleichgewichtszustand null wird und das System aufhört zu schwingen. Man spricht in diesem Fall von einer gedämpften Schwingung . Wirken auf eine Schwingung nach einer einmaligen Störung keine äußeren Kräfte mehr ein, dann bezeichnet man dies also als freie Schwingung.
Eigenfrequenz berechnen
In diesem Abschnitt betrachten wir die Bestimmung der Eigenfrequenz bei einem Federpendel , einem Fadenpendel und einem physikalischen Pendel und unter welchen Bedingungen es zu einer Resonanzkatastrophe kommt.
Eigenfrequenz Federpendel
Das Federpendel besteht aus einer Feder, an der ein Körper der Masse 
angebracht wird. Lenkt man diesen Körper aus der Ruhelage aus, dann beginnt dieser zu schwingen. Im ungedämpften Fall kann diese Schwingung durch folgende Differentialgleichung beschrieben werden
Hierbei repräsentiert 
die Federkonstante und 
die Auslenkung aus der Ruhelage. Der Koeffizient
stellt gerade die Eigenfrequenz des Federpendels dar. Möchtest du mehr über das Federpendel wissen, dann schau unseren extra Beitrag Federpendel dazu an.
Eigenfrequenz Fadenpendel
Ein Fadenpendel besteht aus einem Faden der Länge 
, an den ein Körper der Masse gehängt wird. Lenkt man das Fadenpendel aus seiner Ruhelage aus, so beginnt es zu schwingen. Diese Schwingung kann man im dämpfungsfreien Fall durch folgende Schwingungsgleichung beschreiben
entspricht hierbei der Fallbeschleunigung. Wie man diese Bewegungsgleichung herleiten kann, zeigen wir dir in unserem extra Beitrag Harmonische Schwingung
. Für kleine Auslenkungen ist 
, sodass man hiermit folgende vereinfachte Differentialgleichung erhält
Dabei beschreibt
die Eigenfrequenz des Fadenpendels.
Eigenfrequenz physikalisches Pendel
Ein physikalisches Pendel beschreibt ein System bestehend aus einem ausgedehnten, starren Körper der Masse , der nicht in seinem Schwerpunkt aufgehängt ist. Wird dieser Körper aus der Ruhelage ausgelenkt, so beginnt er aufgrund der Schwerkraft zu schwingen. Diese Schwingung kann durch folgende Bewegungsgleichung beschrieben werden
Hierbei repräsentiert die Fallbeschleunigung, 
den Abstand vom Aufhängungspunkt zum Massenmittelpunkt und 
das Trägheitsmoment. In unserem Beitrag physikalisches Pendel
erklären wir dir, wie man diese Differentialgleichung herleiten kann. Für kleine Winkel ist , womit man folgende Gleichung erhält
Diese Bewegungsgleichung beschreibt eine Schwingung mit der Eigenfrequenz
Eigenfrequenz Resonanz
Wird eine Schwingung durch äußere Kräfte beeinflusst, so handelt es sich nicht mehr um eine freie Schwingung. Wirkt zum Beispiel eine äußere Kraft auf das System ein, die es zu einer Schwingung zwingt, dann spricht man von einer erzwungenen Schwingung . In diesem Fall gibt der Erreger Energie an das System ab. Wird ein System, das eine nicht verschwindende Dämpfung aufweist, mit verschiedenen Frequenzen angetrieben, so gibt es eine Frequenz, bei der die Amplitude einen maximalen Wert aufweist. Diese Frequenz bezeichnet man als Resonanzfrequenz. In einem dämpfungsfreien System entspricht die Eigenfrequenz gerade der Resonanzfrequenz. Wird das System mit der Resonanzfrequenz angetrieben, so kann es zur Resonanzkatastrophe kommen. Hier schwingt das System mit immer größer werdender Amplitude, bis es sich selbst zerstört .
