Fadenpendel
Wie funktioniert ein Fadenpendel und welche Gesetze gibt es dabei zu beachten? Das erfährst du hier im Beitrag und im Video !
Inhaltsübersicht
Fadenpendel einfach erklärt
Ein Fadenpendel besteht aus einem Körper, der über einen Faden aufgehängt ist. Das ist zum Beispiel bei einer Pendeluhr oder einer Schaukel der Fall. Der Körper mit seiner Masse m kann somit frei hin und her schwingen. Die andauernde Schwingung wird durch eine Kraft angetrieben, die durch die Erdanziehung hervorgerufen wird.
Die Schwingungsdauer T ist die Zeit, die der Körper für eine Schwingung vom Ausgangspunkt und wieder zurück benötigt. Sie ist nur von der Länge l des Fadens und der Erdanziehung g abhängig. Das kannst du in der Formel für die Schwingungsdauer erkennen:
![\[T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac {l}{g}}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fe939d3fe94f4cb5c8dd19f9975fbbc9_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Wie du in der Formel auch siehst, kann die Schwingungsdauer des Fadenpendels nur von der Fadenlänge l abhängen, da die Erdanziehung immer gleich ist. Je länger also der Faden des Fadenpendels ist, desto größer ist die Schwingungsdauer. Wie weit du das Pendel auslenkst, also die Schwingungsweite x, spielt keine Rolle. Du findest sie auch nicht in der Formel.
Bewegung des Fadenpendels
Ein Fadenpendel besteht aus einem Pendelkörper (Oszillator), der über einen Faden an einer Aufhängung befestigt ist. Bei der Bewegung des Fadenpendels sprichst du auch von einer einfachen mechanischen Schwingung.
Um ein Fadenpendel einfacher zu betrachten und zu beschreiben, werden vereinfachende Annahmen getroffen:
- Der Pendelkörper wird nur um eine kleine Strecke ausgelenkt. Deshalb kannst du auch bei einem Fadenpendel von einer harmonischen Schwingung sprechen. Das bedeutet, dass die wirkenden Kräfte proportional (abgestimmt) zur Auslenkung sind.
- Reibungseffekte (vor allem der Luftwiderstand) werden vernachlässigt.
- Die Masse des Fadens wird vernachlässigt.
- Die Masse des Pendelkörpers wird als punktförmig angesehen.
Um den Pendelkörper in Bewegung zu bringen, kannst du ihn aus seiner senkrechten Ruheposition (Gleichgewichtslage) auslenken. Das machst du, indem du den Körper seitlich in einer Position (x0) loslässt. Dann beginnt sich das Fadenpendel unter dem Einfluss eines Teils der Schwerkraft (Frück) hin- und her zu bewegen.
Folgende Größen sind für dich sehr wichtig, wenn du ein Fadenpendel beschreiben musst:
- Die Masse m bezieht sich auf den Pendelkörper und beschreibt seine Größe.
- Die Fadenlänge l ist der Abstand zwischen Aufhängung und Schwerpunkt des Pendelkörpers.
- Der Ortsfaktor/Erdanziehung g beschreibt die Umgebung, in der sich der Oszillator befindet. Dabei handelt es sich um die Fallbeschleunigung. Auf der Erde gilt: g = 9,81 m/s2.
- Die Amplitude x bezeichnet die maximale Auslenkung/Schwingungsweite. Sie ist die Entfernung zwischen dem höchsten Punkt der Schwingung und der Ruhelage.
- Die Anfangsauslenkung x0 ist die Auslenkung, die zu Beginn festgelegt wird. In dieser Position hast du den Pendelkörper losgelassen und zum Schwingen gebracht.
- Die rücktreibende Kraft Frück bewirkt, dass der Oszillator immer um die Ruheposition schwingt. Die Kraft steigt mit der Größe der Auslenkung. Dabei ist die Gravitationskraft FG die Ursache.
Fadenpendel Formel
Damit du die Bewegung des Fadenpendels auch berechnen kannst, gibt es wichtige Formeln. Du kannst die rücktreibende Kraft, die Schwingungsdauer, und die Frequenz einfach berechnen.
Rücktreibende Kraft berechnen
- Bei der Schwingung eines Fadenpendels wirkt sich eine rücktreibende Kraft Frück entgegengesetzt und proportional zur Auslenkung auf den Oszillator aus. Wenn du die Länge l des Fadens, die Masse m des Pendelkörpers, den Ortsfaktor g und die Amplitude x gegeben hast, kannst du die rücktreibende Kraft berechnen.
![\[F_{rück} = - \frac {g}{l} \cdot m \cdot x\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d907b2dd469451d96acbbb2d0820a879_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Schwingungsdauer berechnen
- Die Schwingungsdauer T, auch Periodendauer genannt, eines Fadenpendels hängt von seiner Länge l und dem Ort g ab, an dem es sich befindet. Die Schwingungsdauer gibt die benötigte Zeit (in Sekunden) für eine gesamte Schwingung an.
Frequenz berechnen
- Um die Frequenz f zu bestimmen, ist es wichtig, den Zusammenhang mit der Schwingungsdauer zu kennen. Denn du kannst die Frequenz als Kehrwert der Schwingungsdauer so beschreiben:
. Dadurch ergibt sich für die Frequenz f des Fadenpendels die folgende Gleichung. ![\[f = \frac {1}{2\pi} \cdot \sqrt{\frac {g}{l}}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8461586ce7bf9b7db207954f62d0bb55_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Merke: Die Frequenz gibt dir die Anzahl der Schwingungen je Sekunde an. Während die Schwingungsdauer die Zeit für eine vollständige Schwingung, also für ein einmaliges Hin- und Herschwingen aufzeigt.
Einfluss auf die Schwingungsdauer
Die Bewegung eines Fadenpendels kommt durch eine rücktreibende Kraft zustande. Sie wirkt auf den Körper immer in Richtung der Ruheposition. Die rücktreibende Kraft Frück erhältst du durch die Kräftezerlegung der Gewichtskraft FG.
Zerlegst du die Gewichtskraft, erhältst du zum einen die Kraft Ftan. Sie verläuft tangential zur kreisförmigen Pendelbahn und entspricht der rücktreibenden Kraft Frück. Zum anderen bekommst du die Kraft Frad, die orthogonal (radial) zur Bahn und entlang des Fadens läuft. Sie spielt für die Bewegung des Fadenpendels keine Rolle, da sie in Richtung des Fadens wirkt.
Welchen Einfluss auf die Schwingungsdauer eine Vergrößerung der Fadenlänge l, des Ortsfaktors g, der Anfangsauslenkung x0 oder der Masse m haben, zeigen wir dir in folgender Tabelle.
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Vergrößerung |
Fadenlänge l |
Ortsfaktor g |
Anfangsauslenkung x0 |
Masse m |
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Auswirkungen |
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kleinerWenn du also die Fadenlänge des Fadenpendels vergrößerst, erhältst du eine größere Schwingungsdauer. Eine kleinere Schwingungsdauer bekommst du mit der theoretischen Vergrößerung des Ortsfaktors. In der Realität ist es aber nicht möglich, den Ortsfaktor g der Erde zu verändern. Versuchst du die Masse des Körpers oder die Anfangsauslenkung zu verändern, wird sich die Schwingungsdauer nicht verändern.
Du erkennst, es haben nur die Fadenlänge l und der Ortsfaktor g Auswirkungen auf die Schwingungsdauer T.
Energieumwandlung
Wenn ein Fadenpendel hin und her schwingt, werden laufend Energien ineinander umgewandelt. Dabei bleibt aber die Gesamtenergie des abgeschlossenen Systems, also des Fadenpendels, immer gleich. Die zwei sich ineinander umwandelnden Energieformen sind die kinetische und die potentielle Energie. Du kannst also den Energieerhaltungssatz anwenden:
Egesamt = Ekinetisch + Epotentiell = konstant
Die kinetische Energie ist die Bewegungsenergie, die in dem Pendelkörper in Form von Bewegung gespeichert ist. Die potentielle Energie ist die Lage- bzw. Höhenenergie, die von der Höhe abhängig ist.
Am Punkt der maximalen Auslenkung ist die potentielle Energie am höchsten. Wenn der Pendelkörper am Punkt der Ruheposition ist, besitzt er die höchste Geschwindigkeit und die kinetische Energie ist am höchsten. Hier ist die potentielle Energie dafür aber niedrig. Bis der Pendelkörper wieder an der maximalen Auslenkung angekommen ist, wandelt sich die hohe kinetische Energie wieder in eine hohe potentielle Energie um.
Expertenwissen: Bewegungsgleichung
Die Bewegungsgleichung x(t) eines mechanischen Systems wie dem Fadenpendel baut auf dem 2. Axiom von Newton auf:
![\[F = m \cdot a <=> a = \frac{F}{m}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d212e3a86827e052ba8200545e38728c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
- Wenn du die Bewegungsgleichung löst, erhältst du die Zeit-Ort-Funktion des Pendelkörpers.
- Mit
und Frück = Ftan erhältst du die Gleichung: ![\[\ddot{x}(t) = \frac{F_{tan}}{m} \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9e903ef5374eaf4d27508212fe255c46_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
- Durch Umformen der Kraft mit dem Sinussatz, Gleichsetzen des Sinus mit dem Winkel für kleine Auslenkungen und ineinander Einsetzen erhältst du die Zeit-Ort-Funktion (Bewegungsgleichung) des Fadenpendels:
![\[x(t) = \hat{x} \cdot \cos(\omega_0 \cdot t) \text{ mit } \hat{x}_0 \text{ und } \omega_0 = \sqrt{\frac{g}{l}}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-72110b65562f7269ae27df78efd8ab42_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Mit der Zeit-Ort-Funktion kannst du die Bewegung des Fadenpendels vollständig beschreiben. Dabei spielt auch die Winkelgeschwindigkeit 
0 eine Rolle.
Harmonische Schwingung
Ein Fadenpendel schwingt nicht harmonisch. Allerdings kannst du bei kleinen Auslenkungen des Pendelkörpers von einer harmonischen Schwingung sprechen. Diese Annahme haben wir im Rahmen des Fadenpendels getroffen. Somit kannst du auch hier von einer harmonischen Schwingung sprechen.
Du willst mehr zu den Eigenschaften der harmonischen Schwingung und der Herleitung der Bewegungsgleichung erfahren? Das erklären wir dir im Video !
