Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung
Die Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung sind Größen, die sehr oft in der klassischen Mechanik bei Rotationsbewegungen verwendet werden. Mit ihnen lassen sich Rotationsbewegungen, wie zum Beispiel die Rotation der Erde, beschreiben.
Um die gesamte Thematik für dich noch anschaulicher darzustellen, haben wir ein Video für dich erstellt. Hier findest du alles Wichtige graphisch aufbereitet.
Inhaltsübersicht
Winkelgeschwindigkeit
Die Winkelgeschwindigkeit ist eine vektorielle Größe und beschreibt in der Physik die zeitliche Änderung eines Winkels. Sie zeigt in die Richtung der Drehachse und wird mit einem kleinen Omega als Formelzeichen dargestellt. Da mit der Winkelgeschwindigkeit oft Rotationen beschrieben werden, wird sie deshalb auch als Rotationsgeschwindigkeit oder Drehgeschwindigkeit bezeichnet.
Winkelgeschwindigkeit Formel
In diesem Abschnitt wird die Formel der Winkelgeschwindigkeit vorgestellt. Die Winkelgeschwindigkeit beschreibt die zeitliche Änderung eines Rotationswinkels , sodass der Betrag der Winkelgeschwindigkeit durch die zeitliche Ableitung des Rotationswinkels dargestellt werden kann
Mit dieser Formel der Winkelgeschwindigkeit, kann diese also einfach durch Ableiten des Winkels nach der Zeit berechnet werden. Geht man von einer konstanten Winkelgeschwindigkeit aus, dann ist diese gerade das Verhältnis einer Umdrehung mit dem Winkel zur Umlaufzeit T. Die Formel für die Winkelgeschwindigkeit ausgedrückt mit der Umlaufzeit T ist dann gegeben durch
Wobei T die Zeit ist, die für eine Umdrehung benötigt wird.
Winkelgeschwindigkeit Einheit
Die Winkelgeschwindigkeit ist der Quotient aus der Änderung des Rotationswinkels , gemessen im Bogenmaß, und der benötigten Zeit t, gemessen in Sekunden. Für die SI-Einheit der Winkelgeschwindigkeit erhält man somit . Hierbei ist rad der Radiant, welcher die Einheit des Bogenmaßes darstellt. Das Bogenmaß wird häufig zur Winkelmessung bei Rotationen eingesetzt, da man mit ihm oft einfacher rechnen kann, als mit dem Gradmaß. Es beschreibt den Winkel als Kreisbogen auf einem Einheitskreis. Eine Umdrehung von 360° auf einem Einheitskreis entspricht dann gerade dem Bogenmaß . Damit lassen sich das Bogenmaß und das Gradmaß einfach ineinander umrechnen. Hat man einen Winkel [Grad] in Grad gegeben, dann kann man diesen mit dem Bogenmaß x [rad] in der Einheit Radiant, wie folgt ausdrücken
Umgekehrt kann man natürlich auch aus einem Winkel, der in der Einheit Radiant gegeben ist, den Winkel in der Einheit Grad berechnen
Berechnung mittels Bahngeschwindigkeit
Betrachtet man zum Beispiel eine Scheibe, die sich mit konstanter Geschwindigkeit dreht, so bewegen sich Gegenstände auf der Scheibe umso schneller, desto weiter sie vom Rotationsmittelpunkt entfernt sind. Diese Geschwindigkeit v kann man mit Hilfe der Winkelgeschwindigkeit berechnen, mit
v wird in diesem Zusammenhang auch als Bahngeschwindigkeit bezeichnet, da sie die Geschwindigkeit der Körper beschreibt, die sich auf einer Kreisbahn um den Mittelpunkt bewegen. Wie schon erwähnt, ist die Bahngeschwindigkeit der Gegenstände auf der Scheibe umso größer, je weiter sie vom Rotationsmittelpunkt entfernt sind. Die Winkelgeschwindigkeit hingegen ist für alle Gegenstände auf der Scheibe gleich, da sie alle in derselben Zeit T eine Rotation von zurücklegen. Die Winkelgeschwindigkeit kannst du bei gegebener Bahngeschwindigkeit berechnen mit
Berechnung in Polarkoordinaten
Als nächstes Beispiel werden wir die Winkelgeschwindigkeit einer Kreisbewegung in Polarkoordinaten darstellen und zeigen, wie man die Winkelgeschwindigkeit berechnet. Dies bietet sich immer dann an, wenn eine Bewegung in einer festen Ebene erfolgt. Als Ausgangspunkt seien die Basisvektoren in ebenen Polarkoordinaten gegeben durch
Hierbei beschreibt den Winkel zwischen der x-Achse und des Basisvektors . Der Basisvektor ist immer tangential zu Bahntangente und zeigt in die radiale Richtung. Der Ortsvektor sei gegeben durch
Über das Differential dr lässt sich damit die Geschwindigkeit ermitteln
da , denn und . ist dabei die Änderung des Winkels pro Zeiteinheit, sodass dies gerade die Winkelgeschwindigkeit darstellt, also . Berechnet man den Geschwindigkeitsbetrag, so erhält man dasselbe Ergebnis wie im vorherigen Beispiel
Im Folgenden gehen wir darauf ein, wie man die Kreisgeschwindigkeit in drei Dimensionen berechnen kann. Betrachtet man eine Bewegung in drei Dimensionen, so zeigt eine Komponente des Geschwindigkeitsvektors in Richtung des Radius und eine Komponente senkrecht dazu , also tangential zur Kreisbewegung.
Die Rotationsachse ist dabei wie im zweidimensionalen Fall senkrecht zur aufgespannten Ebene von und . Somit gilt, dass
Damit lässt sich die Winkelgeschwindigkeit in Zylinder– oder Kugelkoordinaten einfach berechnen.
Berechnung in Zylinderkoordinaten
Betrachten wir zuerst die Winkelgeschwindigkeit in Zylinderkoordinaten. Dabei gehen wir von folgendem Ortsvektor aus
womit sich die folgenden Basisvektoren ergeben.
Die Geschwindigkeit erhält man nun durch Differentiation des Ortsvektors nach .
Setzt man den Ortsvektor und die Geschwindigkeit in die Formel für die Winkelgeschwindigkeit ein, und drückt anschließend die Winkelgeschwindigkeit mit den Basisvektoren aus, liefert dies
Stellt man diese Formel nach um, dann lässt sich die Winkelgeschwindigkeit berechnen mit
Berechnung in Kugelkoordinaten
Als letztes Beispiel wird gezeigt, wie man die Winkelgeschwindigkeit in Kugelkoordinaten berechnen kann. Dabei gehen wir von folgendem Ortsvektor aus
Hieraus ergeben sich die Basisvektoren
Berechnet man analog zum vorherigen Beispiel die Geschwindigkeit durch Differentiation von nach t und setzt das Ergebnis in die Formel für die Winkelgeschwindigkeit ein, so erhält man
Mit dieser Formel kann man die Winkelgeschwindigkeit in Kugelkoordinaten berechnen.
Winkelgeschwindigkeit Frequenz
Die Winkelgeschwindigkeit kann auch in Abhängigkeit der Frequenz ausgedrückt werden. Die Frequenz f ist der Kehrwert der Periodendauer T.
Hiermit ergibt sich
Winkelgeschwindigkeit Erde
Im Folgenden wird als Beispiel die Winkelgeschwindigkeit der Erde berechnet. Dabei gehen wir annäherungsweise davon aus, dass die Erde sich in 24 Stunden einmal um die eigene Achse dreht. Es werden sämtliche Effekte vernachlässigt, die zu Schwankungen der Umdrehungsdauer führen. Mit der oberen Formel erhält man damit:
Die Bahngeschwindigkeit eines bestimmten Objektes auf der Erde hängt im Gegensatz zur Winkelgeschwindigkeit von dem Breitengrad ab, an dem es sich befindet. Direkt über dem Nord– oder Südpol ist die Bahngeschwindigkeit gleich null, da die Rotationsachse der Erde direkt durch den Nord- und Südpol verläuft. Im Gegensatz dazu hat ein Objekt auf der Erde eine maximale Bahngeschwindigkeit, wenn es sich auf dem Äquator befindet. Mit der oberen Formel lässt sich die Bahngeschwindigkeit eines Objektes am Äquator wie folgt ermitteln.
wobei r = 6378km den Erdradius repräsentiert. Dieser ist der Abstand vom Äquator zur Rotationsachse.
Fun-Fact: Die Rotation der Erde führt unter anderem dazu, dass man am Äquator etwas leichter ist, als an den Polen.
Winkelbeschleunigung
Die Winkelbeschleunigung beschreibt die zeitliche Änderung der Winkelgeschwindigkeit. Dies bedeutet, dass die Winkelbeschleunigung die Ableitung der Winkelgeschwindigkeit nach der Zeit ist.
Mathematisch kann dieser Zusammenhang zwischen Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung durch die zeitliche Ableitung ausgedrückt werden.
Die Winkelbeschleunigung darf nicht mit der Tangentialbeschleunigung verwechselt werden, welche die Ableitung der Bahngeschwindigkeit darstellt,
wobei r den Abstand zur Rotationsachse repräsentiert. Betrachtet man eine Kreisbewegung, so zeigt die Winkelbeschleunigung in die tangentiale Richtung. Zusätzlich zur Winkelbeschleunigung, wirkt auf den Körper auch noch die sogenannte Radialbeschleunigung , oder auch Zentripetalbeschleunigung genannt. Die Radialbeschleunigung und Winkelbeschleunigung sind senkrecht zueinander. Da bei einer Kreisbewegung die Geschwindigkeit immer tangential zur Kreisbewegung ist, ändert die Geschwindigkeit ständig ihre Richtung. Die Geschwindigkeit wird andauernd zum Kreismittelpunkt hin beschleunigt. Diese Beschleunigung wird Radialbeschleunigung genannt. Die Gesamtbeschleunigung bei einer Kreisbewegung kann dann durch die Summe der Winkelbeschleunigung und der Radialbeschleunigung ausgedrückt werden.
Winkelbeschleunigung Formel
Die Winkelbeschleunigung lässt sich mathematisch wie folgt ausdrücken.
Wenn konstant ist, also wenn der Quotient aus der Änderung der Kreisgeschwindigkeit und der Änderung der Zeit konstant ist, dann spricht man von einer Kreisbewegung mit konstanter Beschleunigung.
Winkelbeschleunigung Einheit
Die Einheit der Winkelbeschleunigung ergibt sich aus der letztgenannten Formel zu
da die Winkelbeschleunigung das Verhältnis der Änderung der Drehgeschwindigkeit und der Änderung der Zeit beschreibt.
Winkelbeschleunigung berechnen
Zwischen der Winkelbeschleunigung, dem Drehmoment M und dem Trägheitsmoment I besteht eine enge Beziehung, welche folgende Formel zum Ausdruck bringt
Möchtest du mehr über das Drehmoment wissen, dann schau unseren extra Beitrag Drehmoment dazu an. Nach der Eulersche’n Gleichung, entspricht die Änderung des Drehimpulses gerade dem Moment , so dass man folgenden Zusammenhang zwischen Drehimpuls und Winkelbeschleunigung erhält
Interessiert dich, was der Drehimpuls physikalisch beschreibt und wie du ihn berechnen kannst, dann schau unseren extra Beitrag Drehimpuls dazu an.
Winkel, Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung
Im Folgenden wird noch einmal übersichtlich der Zusammenhang zwischen dem Rotationswinkel , der Winkelgeschwindigkeit und der Winkelbeschleunigung dargestellt. Geht man von einem Rotationswinkel aus, dann kann daraus die Winkelgeschwindigkeit berechnet werden, indem man die Winkelgeschwindigkeit nach der Zeit ableitet
Durch weiteres einmaliges Ableiten der Drehgeschwindigkeit nach der Zeit, erhält man dann die Winkelbeschleunigung
Dies ist gleichbedeutend mit der zweimaligen zeitlichen Ableitung des Rotationswinkels . Die Winkelbeschleunigung lässt sich also auch in Abhängigkeit des Rotationswinkels wie folgt ausdrücken