Festigkeitslehre

Widerstandsmoment

Inhaltsübersicht

Du fragst dich was es in der Mechanik mit dem Widerstandsmoment auf sich hat? Dann bist du hier genau richtig! Wir zeigen dir, wofür du es brauchst und wie du es berechnen kannst.

Das Widerstandmoment berechnen

Das Widerstandsmoment ist ein Begriff der Mechanik. Er ist ein Maß dafür, welchen Widerstand ein belasteter Balken der Entstehung von innerer Spannung entgegensetzt. Es gibt verschiedene Widerstandsmomente. Bei einer Biegebelastung wird vom axialen oder vom Biegewiderstand gesprochen. Bei einer Torsionsbelastung wird vom polaren Widerstandsmoment oder vom Torsionswiderstand gesprochen.
Das Widerstandsmoment wird aus dem Flächenträgheitsmoment abgeleitet. Die Formel zur Berechnung lautet:

W=\frac{I}{\alpha_{max}}

Das Widerstandsmoment wird in Meter hoch drei angegeben. Bei rein elastischen Verformungen wird es verwendet, um die an den Randfasern maximal auftretende Normalspannung zu ermitteln.

\sigma_{max}=\frac{M_b}{W_{ax}}

Dabei ist M_b der Biegemoment um die Bezugsachse. Wir können die Gleichung auch noch umformen und sehen den Zusammenhang mit dem axialen Flächenträgheitsmoment.

\sigma_{max}=\frac{a_{max}}{I_{ax}}\ \times M_b

Polare Widerstandsmomente eines Rechtecks

Sehen wir uns nun die polaren Widerstandsmomente für einige Körper an: Beispielsweise für ein Rechteck.

Rechteck Kreis Widerstandsmoment
Berechnung Rechteck und Kreis

Die Formel für das Widerstandsmoment bezüglich der Horizontalachse hier lautet:

W_y=\frac{b\times h^2}{6}

Ähnliches gilt für das Widerstandsmoment bezüglich der Vertikalachse.

W_z=\frac{h\times b^2}{6}

Ist das Rechteck quadratisch kann man folgende Formel anwenden:

W_y=W_z=\frac{a^3}{6}

Widerstandsmomente eines Kreises bestimmen

Eine weitere mögliche Form wäre ein Kreis mit dem Durchmesser D. Die Formeln für das axiale und das polare Widerstandsmoment lauten hier:

W_{ax}=\frac{\pi}{32}D^3

W_p=2\times\frac{\pi}{32}{\times D}^3

Man kann die Widerstandsmomente auch voneinander abziehen. Haben wir beispielsweise einen Ring bestehend aus zwei Kreisen lautet die Formel:

W_{ax}=\frac{\pi}{32}\times\frac{\left(D^4-d^4\right)}{D}

W_p=2\times\frac{\pi}{32}\times\frac{\left(D^4-d^4\right)}{D}

Widerstandsmoment Berechnung
Ring aus zwei Kreisen

Es gibt natürlich auch noch andere Formen mit speziellen Formeln, die wir jetzt aber nicht alle einzeln behandeln können. Du findest diese in entsprechenden Tabellenwerken in der Literatur oder im Internet. Am Besten du schreibst dir die Formeln, die du benötigst in die Formelsammlung.

Sehr schön! Nun weißt du was das Widerstandsmoment ist und wie du es berechnen kannst. Außerdem kennst du den Zusammenhang zum Flächenträgheitsmoment.


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