Polytrope Zustandsänderung

Die polytrope Zustandsänderung ist sehr aufschlussreich für uns, da sich aus ihr alle Zustandsänderungen ableiten lassen, die wir kennen. Gucken wir uns das genauer an!

Inhaltsübersicht

Polytrope Zustandsänderungen im pV Diagramm
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Sonderfälle der polytropen Zustandsänderung
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Wärme
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Entropie
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Polytrope Zustandsänderungen im pV Diagramm

Betrachten wir nochmal die isobare, isochore, isotherme und isentrope Zustandsänderung im p-V-Diagramm, dann sehen wir, dass die Kurvenverläufe alle unterschiedlich aussehen. Mit der Formel der polytropen Zustandsänderungen können wir alle Linien ableiten. Diese lautet:

$p\cdot V^n=konst.$

Betrachten wir das p-V-Diagramm einmal genauer.

Isochor Isentrop Isotherm Isobar Zustandsänderung Polytrope Zustandsänderung — Isochore, Isentrope, Isotherme und Isobare Zustandsänderung

Die isotherme Zustandsänderung tritt nur ein, wenn die zu- beziehungsweise abgeführte Arbeit wieder als Wärme ab- beziehungsweise zugeführt wird. Dieser Grenzfall liegt nur bei sehr langsam ablaufenden Prozessen vor.

Die isentrope Zustandsänderung tritt nur ein, wenn keine Wärme zu- oder abgeführt wird. Das ist bei sehr schnell ablaufenden Prozessen der Fall.

Beide Grenzfälle werden in der Realität nicht vollständig erreicht, wodurch sich die Kurve der Polytropen mit $1<n< \kappa$ ergibt. Je schneller der Prozess abläuft, desto mehr nähert sich die Kurve der isentropen Zustandsänderung an.

Sonderfälle der polytropen Zustandsänderung

Der Polytropenexponent n kommt dir vielleicht noch von der isentropen Zustandsänderung bekannt vor. Hier kommt der Isentropenexponent $\kappa$ zur Anwendung.
Jede Zustandsänderung ist durch einen eigenen Polytropenexponenten definiert. Für die isobare ist n gleich Null, sodass der Druck konstant bleibt. Bei der isochoren ist n gleich unendlich und das Volumen bleibt konstant. Im Fall der isothermen ist n gleich eins, wodurch die Temperatur konstant bleibt.

Isobare Zustandsänderung: $p=\frac{C}{V^n}=konst.$ für n=0

Isochore Zustandsänderung: $V=(\frac{C}{p})^\frac{1}{n}=konst.$ für n→ꚙ

Isotherme Zustandsänderung: $T=\frac{p\cdot V}{m\cdot R}=\frac{C}{m\cdot R\cdot V^n^-^1} =konst.$ für n=1

Isentrope Zustandsänderung: $S = p\cdot V^\kappa=konst.^$ für $n=\kappa$

Polytropenexponenten Polytrope Zustandsänderung — Polytropenexponenten

Berechnung der Volumenarbeit

Gucken wir uns nun an wie wir die Volumenänderungsarbeit der Zustandsänderungen berechnen können. Für n≠1 gilt:

$W_v,_1_2=\frac{m\cdot R_i\cdot \Delta T} {n-1}=\frac {m\cdot R_i\cdot T_1} {n-1}\cdot((\frac {p_2}{p_1})^\frac{n-1} {n}-1)$

Wenn der Polytropenexponent gleich Null ist, dann dürfen wir nur die linke Formel verwenden, da sonst im Exponenten durch Null geteilt wird. Für n gleich eins, also für die isotherme Volumenänderungsarbeit gibt es eine weitere Formel:

$W_v,_1_2= m \cdot R_i \cdot T_1 \cdot ln(\frac{p_1}{p_2})$

Volumenänderungsarbeit Zustandsänderung Polytrope Zustandsänderung — Volumenänderungsarbeit der Zustandsänderung

Schauen wir uns an was für die Volumenarbeit rauskommt, wenn wir die jeweiligen Polytropenexponenten in die Formeln einfügen. Für die isobare Volumenänderungsarbeit ergibt sich:

$W_v,_1_2=\frac{m\cdot R_i\cdot \Delta T}{0-1}=-R\cdot \Delta T=-p\cdot \Delta V$

R ist die universelle Gaskonstante. Für die isotherme Volumenänderungsarbeit (n=1) ergibt sich die bereits erwähnte Formel:

$W_v,_1_2=m\cdot R_i\cdot T_1\cdot ln⁡(\frac{p_1}{p_2})$ .

Im isentropen Fall erhalten wir:

$W_v,_1_2=\frac{m\cdot R_i\cdot T_1}{\kappa-1}\cdot ((\frac{p_2}{p_1} )^\frac{\kappa-1}{\kappa}-1)$

Bei der isochoren Zustandsänderung ändert sich das Volumen nicht und daher wird auch keine Volumenarbeit verrichtet. Das ergibt sich auch wenn wir den entsprechenden Polytropenexponenten in die Formel einfügen:

$W_v,_1_2=\frac{m\cdot R_i\cdot T_1}{\infty-1}\cdot ((\frac{p_2}{p_1} )^\frac{\infty-1}{\infty}-1)=0\cdot (\frac{p_2}{p_1}-1)=0$

Jetzt weißt du bestens über die polytrope Zustandsänderung Bescheid. Gucken wir uns nochmal kurz die wichtigsten Punkte an. Für die polytropen Zustandsänderungen gilt, dass $p\times V^n$ konstant bleibt. Mit dieser Formel können wir jede Zustandsänderung darstellen, indem wir den jeweiligen Polytropenexponenten n einfügen.

Druckänderungsarbeit

Die Druckänderungsarbeit (reversible technische Arbeit) können wir im polytropen Fall mit folgender Formel berechnen:

$W_t=n \cdot W_{v,12}$

Wir können die Druckänderungsarbeit demnach über die bereits oben erwähnte Formel für die Volumenänderungsarbeit herleiten. Die Druckänderungsarbeit entspricht der Fläche im p-V-Diagramm unter der Polytropen zur p-Achse hin.

Wärme

Um die Wärme bei der polytropen Zustandsänderung zu bestimmen, nehmen wir uns die Formel für die Änderung der inneren Energie zu Hilfe:

$\Delta U=Q + W_{v,12} + W_{diss}$

Lösen wir die Gleichung nach der Wärme auf erhalten wir:

$Q= \Delta U - W_{v,12} - W_{diss}$

Für die Volumenänderungsarbeit setzen wir in die Gleichung für die Wärme folgenden Ausdruck ein:

$W_{v,12}= \frac{m \cdot R_i \cdot \Delta T}{n-1} = m c_{vm} \big | _ {T_1}^{T_2}\frac{ \kappa -1}{n-1} (T_2 - T_1)$

Für die Änderung der inneren Energie wird der Term:

$m c_{vm} \big | _ {T_1}^{T_2} (T_2 - T_1)$

eingesetzt, wodurch wir schließlich für die Wärme Q festhalten können:

$Q = m c_{vm} \big | _ {T_1}^{T_2} (T_2 - T_1) - m c_{vm} \big | _ {T_1}^{T_2}\frac{ \kappa -1}{n-1} (T_2 - T_1) - W_{diss}$

$c_{vm}$ = spezifische molare Wärmekapazität

Durch Zusammenfassen resultiert für die Wärme der Ausdruck:

$Q = m c_{vm} \big | _ {T_1}^{T_2} (T_2 - T_1) \frac{n - \kappa}{n-1} - W_{diss}$

Bei einem reversiblen Prozess fällt dabei die Dissipationsarbeit weg ( $W_{diss}=0)$ .

Ersetzen wir $c_{vm} \big | _ {T_1}^{T_2}$ mit $\frac{R_i}{\kappa -1}$ vereinfacht sich die Formel zu:

$Q=m \cdot \frac{R_i}{\kappa -1} (T_2 - T_1) \cdot\frac{n - \kappa}{n -1} -W_{diss}$ ; falls $W_{diss} \neq 0$

Entropie

Bei der polytropen Zustandsänderung können wir die Entropie über drei verschiedene Formeln berechnen:

$\Delta S = m c_{vm} \big | _ {T_1}^{T_2}\frac{n -\kappa}{n-1} \cdot \ln( \frac{T_2}{T_1})$

$\Delta S = m c_{vm} \big | _ {T_1}^{T_2}\frac{n -\kappa}{n-1} \cdot \ln( \frac{p_2}{p_1})$

$\Delta S = m c_{vm} \big | _ {T_1}^{T_2}\frac{n -\kappa}{n-1} \cdot \ln( \frac{V_2}{V_1})$

c_vm= spezifische molare Wärmekapazität bei konstantem Volumen
c_pm= spezifische molare Wärmekapazität bei konstantem Druck
R_i= spezifische Gaskonstante

Wir können die Entropie darüber hinaus auch im einem T-s-Diagramm darstellen. Allgemein gilt für die Entropie:

$\int TdS = Q + W_{diss}$

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