Thermodynamik

Innere Energie

Du hast vielleicht schon einmal davon gehört, dass die Gesamtenergie, die sogenannte innere Energie, eines abgeschlossenen Systems konstant ist; der berühmte 1. Hauptsatzes der Thermodynamik . In diesem Beitrag wollen wir dir die innere Energie näher bringen.

Bevor wir loslegen, möchten wir dich auf unser Video zum Thema innere Energie aufmerksam machen. Durch das Verbinden des Lesens mit einer audiovisuellen Unterstützung, fällt es dir leichter das Gelernte im Gedächtnis zu behalten.

Inhaltsübersicht

Innere Energie einfach erklärt

Die innere Energie bezeichnet die Gesamtheit an kinetischer und potentieller Energie der Bestandteile (Atome, Moleküle) eines Systems. Dabei wird nicht die kinetische Energie berücksichtigt, die das System aufgrund einer Bewegung als Ganzes besitzt und auch nicht die potentielle Energie, die sich durch eine Wechselwirkung des Systems mit der Umgebung ergibt. 

Zum Beispiel hat ein Behälter von Gas in einem sich bewegenden Zug eine kinetische Energie relativ zu dir, wenn du fest am Boden stehst. Die innere Energie des Gases interessiert sich aber für diese kinetische Energie nicht. Wenn du diesen Behälter auf einen Regal stellst, erhöht sich seine potentielle Energie aufgrund der Wechselwirkung des Behälters mit der Erde. Seine innere Energie jedoch nicht.

Beispiel - Gas im Behälter, innere Energie
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Beispiel – Gas im Behälter

Die innere Energie besitzt das Formelzeichen U und hat die Einheit Joule (J). Sie ist eine extensive Zustandsgröße und ein thermodynamisches Potential des Systems. Die Änderung der inneren Energie \Delta U ist mit der Wärme Q und der Arbeit W durch den 1. Hauptsatz der Thermodynamik verknüpft

ΔU = Q + W

oder in Worten

Die Änderung der inneren Energie eines Systems ist gleich der Summe aus der dem System zugeführten Wärmemenge Q und an dem System verrichteten Arbeit W.

Innere Energie Formel

In diesem Abschnitt beschäftigen wir uns mit gängigen Formeln zur inneren Energie und erläutern die Problematik der expliziten Darstellung der inneren Energie für ein vorgegebenes System. Wir werden außerdem kurz auf den 1. Hauptsatz der Thermodynamik eingehen.

Änderung der inneren Energie

James Prescott Joule hat durch Experimente feststellen können, dass sich durch Arbeit, die am System verrichtet wird, die innere Energie eines Systems ändert. Die Art und Weise wie die Arbeit verrichtet wird, spielt dabei keine Rolle. Du kannst zum Beispiel einen Behälter mit Gas komprimieren oder ein Glas Wasser mit einem Löffel umrühren. In beiden Fällen erhöhst du dadurch die innere Energie des Systems, an dem du die Arbeit verrichtest. 

Lassen wir nun auch zu, dass das System mit der Umgebung thermisch wechselwirken kann, das heißt wir können dem System Wärme zuführen oder das System kann an die Umgebung Wärme abführen, dann stellen wir fest, dass sich auch bei Wärmezufuhr die innere Energie des Systems erhöht.

Diese Beobachtungen können wir durch folgende Formel festhalten

\Delta U = Q \ + \ W.

\Delta U steht hier für die Änderung der inneren Energie, wenn dem System entweder Wärme Q zugeführt, an dem System Arbeit W verrichtet wird oder beide Prozesse gleichzeitig stattfinden. Wenn wir also uns unter ein System einen Bereich vorstellen, der durch gedachte Systemgrenzen von der Umgebung abgegrenzt wird, dann bedeutet die Formel in Worten: Die Änderung der inneren Energie eines geschlossenen Systems ist gleich der Energie, die in Form von Wärme oder Arbeit durch die Systemgrenzen fließt.

1. Hauptsatz der Thermodynamik

Du weißt vielleicht wie die innere Energie des Systems geändert wird. Das System selber interessiert sich aber nicht, ob das in Form von Wärme oder Arbeit geschieht. In diesem Sinne sind Wärme und Arbeit äquivalente Formen, um die innere Energie zu ändern. Wenn du jetzt das System von seiner Umgebung isolierst, wirst du feststellen, dass sich seine innere Energie nicht ändert. Diese Beobachtung nennt man den 1. Hauptsatz der Thermodynamik und lässt sich in Worte fassen als 

Die innere Energie eines abgeschlossenen Systems ist konstant.

Genauso erstaunlich wie der 1. Hauptsatz der Thermodynamik, ist folgende experimentelle Beobachtung

Die Änderung der inneren Energie hängt nicht davon ab, wie man vom Zustand 1 zum Zustand 2 kommt.

Die innere Energie hat also Ähnlichkeiten zur potentiellen Energie im Gravitationsfeld .

Innere Energie ideales Gas

Die Definition der inneren Energie im ersten Absatz als die Gesamtheit an kinetischer und potentieller Energie aller Moleküle des Systems ermöglicht es in der Regel nicht, eine explizite Formel für die innere Energie schreiben zu können. Das liegt daran, dass verschiedene Energien zur inneren Energie beitragen können. Zu diesen Energieformen zählen unter anderem die Translations-, Vibrations- und Rotationsenergie der Moleküle, die in den chemischen Bindungen gespeicherte Energie oder die potentielle Energie der Wechselwirkung der Moleküle untereinander (z.B. die Van-der-Waals-Kräfte ). Wenn du also die innere Energie eines Systems exakt berechnen möchtest, dann brauchst du die Kenntnis über all diese Energieformen. 

Ein Beispiel, bei welchen man die innere Energie explizit ausrechnen kann, ist das ideale Gas . Hierzu macht man Gebrauch vom Gleichverteilungssatz, der einfach ausgedrückt Folgendes aussagt

Ein Teilchen in einem System, das sich im thermodynamischen Gleichgewicht befindet, besitzt für jeden Freiheitsgrad eine Energie von \boldsymbol{\frac{1}{2} k_B T}.

Hier steht k_B für die Boltzmann-Konstante in \frac{J}{K} und T die Temperatur in K. Wenn wir also n Mol eines idealen Gases mit f Freiheitsgraden betrachten, dann beträgt die innere Energie 

U =N \frac{f}{2} k_B T = \frac{f}{2} n R T.

Hier haben wir die Beziehung 

R = N_A k_B

zwischen der Gaskontante R, der Avogadro Konstante N_A und der Boltzmann-Konstante k_B sowie den Zusammenhang 

N = n N_A

zwischen der Anzahl N an Teilchen im Gas und der Stoffmenge n verwendet.

Innere Energie berechnen

Wir wollen uns im Folgenden zwei Beispiele anschauen, um den vorherigen Formeln ein paar konkrete Zahlen zuordnen zu können. Die Beispiele sollten dir einen guten Einblick in den Umgang mit Einheiten und Vorzeichen geben können.

Innere Energie eines idealen Gases

Lass uns ein Molekül bei einer Temperatur von T=25^\circ\text{C} betrachten. In Kelvin entspricht diese Temperatur etwa 298 \ K. Wenn wir uns weiterhin nur auf die Translationsbewegung des Moleküls einschränken, dann erhalten wir für die innere Energie

U = \frac{3}{2} k_B T = 6,17\cdot 10^{-21} \ J.

Wir haben hier f=3 gesetzt, da sich ein einzelnes Moleküle frei in drei Richtungen bewegen kann. Die Anzahl N an Teilchen haben wir auf eins gesetzt, da wir hier nur ein Teilchen betrachtet haben. Die Rechnung zeigt uns, dass ein Molekül mit seiner Translationsbewegung einen Energiebetrag von 6,17\cdot 10^{-21} \ J zur inneren Energie eines Gases beitragen würde.

Änderung der inneren Energie

Nehmen wir an, dass wir an einem Behälter mit Wasser (unser System) durch Rühren eine Arbeit von 5 \ kJ verrichten. Das System soll zusätzlich dabei eine Wärmemenge von 15.000 \ J verlieren. Wir interessieren uns für die Änderung der inneren Energie durch diesen Prozess. Betrachten wir kurz die Einheiten und Vorzeichen der einzelnen Komponenten. Die innere Energie hat die Einheit J. Wir wissen noch nicht, welches Vorzeichen sie haben wird. Wir verrichten Arbeit an das System, daher werden die 5 \ kJ positiv berechnet. Das System verliert Wärme, also nehmen wir die 15.000  \ J negativ in die Bilanz auf. Wenn wir nun noch die kJ in J umwandeln, können wir die gesuchte Änderung berechnen zu

\Delta U = Q \ + \ W = -15.000 \ J + 5.000 \ J = -10.000 \ J.

Die innere Energie des Systems nimmt daher ab.


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