Wie erkenne ich schnell, welche Lösungsmethode zu einer DGL passt?

Du erkennst die passende Lösungsmethode meist an der Form der Gleichung: Steht als Produkt aus einer reinen -Funktion und einer reinen -Funktion, passt Variablentrennung. Hat die DGL die Form , ist sie linear. Bei ist es Bernoulli.

Wann darf ich Variablen trennen und woran scheitert es oft?

Variablen trennen darfst du, wenn sich die DGL so umformen lässt, dass alle Terme mit (und ) auf einer Seite und alle Terme mit (und ) auf der anderen Seite stehen. Oft scheitert es daran, dass und in einem Ausdruck „vermischt“ sind, zum Beispiel in oder .

Welche Anfangsbedingungen brauche ich, um die Konstanten zu bestimmen?

Um die Integrationskonstanten eindeutig zu bestimmen, brauchst du so viele unabhängige Anfangsbedingungen wie die Ordnung der DGL. Bei einer DGL 1. Ordnung reicht ein Wert wie . Bei einer DGL 2. Ordnung brauchst du typischerweise und , damit beide Konstanten festliegen.

Wie prüfe ich bei einer exakten Differentialgleichung, ob sie wirklich exakt ist?

Eine DGL der Form ist exakt, wenn die gemischten partiellen Ableitungen übereinstimmen, also (in einem passenden Gebiet). Konkret: Leite nach und nach ab und vergleiche die Ergebnisse; sind sie gleich, ist die DGL exakt.

Wann lohnt sich die Umformung in ein System erster Ordnung?

Die Umformung in ein System erster Ordnung lohnt sich, wenn eine DGL höherer Ordnung vorliegt oder wenn du Methoden für Systeme nutzen willst, etwa zur qualitativen Analyse im Phasenraum. Dabei ersetzt man durch neue Variablen, sodass nur noch erste Ableitungen vorkommen. Das macht viele Verfahren und Numerik deutlich einfacher.

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Intro Gewöhnliche DGL lösen

Diese Playlist zeigt dir die wichtigsten Lösungsmethoden für gewöhnliche Differentialgleichungen.

Inhaltsübersicht

Gliederung Gewöhnliche DGL lösen

$\bullet$ Wir starten mit einem Video zur Trennung der Variablen.

$\bullet$ Danach folgt von der Variation der Konstanten und der Ansatz vom Typ der Störfunktion beziehungsweise der rechten Seite.

$\bullet$ Anschließend schauen wir uns an, wie man Bernoulli’sche DGL´s löst und was exakte Differentialgleichungen sind.

Intro Gewöhnliche DGL lösen — häufigste Fragen

(ausklappen)

Wie erkenne ich schnell, welche Lösungsmethode zu einer DGL passt?

Du erkennst die passende Lösungsmethode meist an der Form der Gleichung: Steht als Produkt aus einer reinen -Funktion und einer reinen -Funktion, passt Variablentrennung. Hat die DGL die Form , ist sie linear. Bei ist es Bernoulli.
Wann darf ich Variablen trennen und woran scheitert es oft?

Variablen trennen darfst du, wenn sich die DGL so umformen lässt, dass alle Terme mit (und ) auf einer Seite und alle Terme mit (und ) auf der anderen Seite stehen. Oft scheitert es daran, dass und in einem Ausdruck „vermischt“ sind, zum Beispiel in oder $\sin(xy)$ .
Welche Anfangsbedingungen brauche ich, um die Konstanten zu bestimmen?

Um die Integrationskonstanten eindeutig zu bestimmen, brauchst du so viele unabhängige Anfangsbedingungen wie die Ordnung der DGL. Bei einer DGL 1. Ordnung reicht ein Wert wie . Bei einer DGL 2. Ordnung brauchst du typischerweise und , damit beide Konstanten festliegen.
Wie prüfe ich bei einer exakten Differentialgleichung, ob sie wirklich exakt ist?

Eine DGL der Form $M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0$ ist exakt, wenn die gemischten partiellen Ableitungen übereinstimmen, also $\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$ (in einem passenden Gebiet). Konkret: Leite nach und nach ab und vergleiche die Ergebnisse; sind sie gleich, ist die DGL exakt.
Wann lohnt sich die Umformung in ein System erster Ordnung?

Die Umformung in ein System erster Ordnung lohnt sich, wenn eine DGL höherer Ordnung vorliegt oder wenn du Methoden für Systeme nutzen willst, etwa zur qualitativen Analyse im Phasenraum. Dabei ersetzt man $y, y', y'', \dots$ durch neue Variablen, sodass nur noch erste Ableitungen vorkommen. Das macht viele Verfahren und Numerik deutlich einfacher.