Festigkeitslehre

Flächenträgheitsmomente

In diesem Beitrag lernst du, wie das Flächenträgheitsmoment definiert ist und wie du es verwendest. Außerdem zeigen wir dir wichtige Formeln und ein Beispiel.

Anstatt langen Text zu lesen, möchtest du das Thema lieber kurz und knapp in einem Video erklärt bekommen? Dann schau doch hier mal rein.

Inhaltsübersicht

Flächenträgheitsmoment einfach erklärt

In der Festigkeitslehre wird das Flächenträgheitsmoment auch als Flächenmoment 2. Grades bezeichnet. Bei Flächenmomenten geht es generell um den Einfluss einer Querschnittsfläche auf die Eigenschaften von Bauteilen.

Das Flächenmoment 0. Grades gibt nur die Querschnittsfläche wieder. Bei dem Flächenmoment 1. Grades handelt es sich um das sogenannte statische Moment. Das Moment 2. Grades ist das Flächenträgheitsmoment. Dieses beschreibt, wie groß der Widerstand eines Querschnittes gegen eine Verformung von außen ist. Die Einheit der Berechnung eines Flächenträgheitsmoments ist [m4].

So wird das Flächenträgheitsmoment I in der Festigkeitslehre für die Verformungsberechnung und Spannungsberechnung verwendet. Außerdem wird mit den Momenten Belastungen, die zum Knicken von Stäben führen, berechnet.

Flächenmoment 2. Grades

Das Flächenmoment 2. Grades kannst du in drei verschiedene Arten unterteilen.

  • axiales Flächenträgheitsmoment: beschreibt eine Querschnittsfläche bei einer Verbiegung
  • polares Flächenträgheitsmoment: berechnet die Torsionsbelastung im Bezug auf eine Querschnittsfläche
  • biaxiales Flächenträgheitsmoment: berechnet die Spannungen und Verformungen bei einer nicht an einer Symmetrieachse angreifenden Belastung
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Verschiedene Flächenträgheitsmomente

Axiales Flächenträgheitsmoment

Wir beginnen zunächst mit dem axialen Flächenträgheitsmoment I_a. Dieses beschreibt die Querschnitts-Abhängigkeit der Verbiegung eines Balkens unter Belastung. Die Formel für das axiale Flächenträgheitsmoment um die y-Achse lautet:

{I}_y=\int_{A}^{\ }{z^2dA}

Z ist hierbei der senkrechte Abstand der y-Achse zum Element dA. Für die Biegung um die z-Achse würde das so aussehen:

{I}_z=\int_{A}^{\ }{y^2dA}

Das axiale Flächenträgheitsmoment kann nur positive Werte annehmen.

Polares Flächenträgheitsmoment

Das polare Flächenträgheitsmoment setzt sich aus beiden Flächenträgheitsmomenten I_y und\ I_z\ zusammen.

I_p=I_y+I_z

Die allgemeine Formel für das polare Flächenträgheitsmoment lautet:

I_p=\int_{A}^{\ }{r^2dA}

Biaxiales Flächenträgheitsmoment

Das biaxiale Flächenträgheitsmoment wird auch als Deviations- oder Zentrifugalmoment bezeichnet. Das biaxiale Flächenträgheitsmoment ist gleich Null wenn y oder z Symmetrieachsen des Körpers sind. Im Gegensatz zu den anderen beiden Flächenträgheitsmomenten kann das biaxiale Flächenträgheitsmoment positive und negative Werte annehmen. Die allgemeine Formel lautet:

{I}_{yz}=-yzdA

Flächenträgheitsmoment Kreis

Für oft verwendete geometrische Querschnitte gibt es Formeln für die Biegung um eine Schwerachse. Erfolgt die Biegung um eine Achse, die parallel zur Schwerachse ist, können die Formeln auch verwendet werden, allerdings muss der Steinersche Anteil hinzuaddiert werden. Wie man diesen berechnet, zeigen wir dir im nächsten Video. So kannst du mit dem Satz von Steiner die Flächenträgheitsmomente einer beliebigen Querschnittsfläche berechnen.
Schauen wir uns einige dieser Formeln doch einmal anhand einer Tabelle an:

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Flächenträgheitsmomente Kreis

Wie du sehen kannst, gibt es für die verschiedenen geometrischen Formen sehr viele Formeln. Die aufgelisteten sind nur die wichtigsten.
Du kannst auch Flächenträgheitsmomente voneinander abziehen, um Formen zu berechnen. Sieh dir zum Beispiel die Formel für den Kreisring an und vergleiche sie mit derjenigen für den normalen Kreis. Außerdem kannst du auch das Flächenträgheitsmoment für zusammengesetzte Querschnitte berechnen.

Flächenträgheitsmoment Beispiel

Versuchen wir das doch mal anhand des Querschnitts eines Balkens. Dieser sieht aus wie ein umgedrehtes L mit einem Quadrat oben drauf. Zur Vereinfachung teilen wir den Querschnitt in drei Flächen auf. Als erste Fläche nehmen wir das senkrechte Rechteck. Das ist vier a hoch und a breit. Die zweite Fläche ist das waagerechte Rechteck mit der Breite drei a und der Höhe a. Das Quadrat hat die Kantenläge a. Die Länge a ist hier sechs Zentimeter.
Das Koordinatensystem legen wir im Abstand a unterhalb der Fläche zwei. Dabei liegt die y-Achse nach links und die z Achse nach unten genau entlang der linken Kante von Fläche eins.

%Hier wäre ein Bild nicht schlecht

Doch bevor wir die Flächenträgheitsmomente bestimmen können, müssen wir wissen wo der Schwerpunkt der Gesamtfläche liegt. Die Berechnung dazu sparen wir uns allerdings erst einmal. Wir nehmen den Schwerpunkt als gegeben an:

y_s=\frac{\sum{y_iA_i}}{A}=0

z_s=\frac{\sum{z_iA_i}}{A}=\ -2,25\ cm

Wenn du nicht mehr weißt wie du den Schwerpunkt selbst berechnen könntest, schau dir doch unser Video zur Schwerpunktberechnung an.
Jetzt können wir auch die Flächenträgheitsmomente bezüglich des Schwerpunkts finden. Wir beginnen mit dem axialen Flächenträgheitsmoment J_{22}. Dieses setzt sich zusammen aus den jeweiligen Flächenträgheitsmomenten der einzelnen Flächen. Die Zahl im Index nach dem Komma gibt dabei jeweils an, um welche Fläche es sich handelt.
Dafür betrachten wir die Flächen vorerst einzeln. Aus der Tabelle können wir ablesen, wie sich J_{22} für Rechtecke errechnet.
Für Fläche 1 gilt b gleich a und h gleich 4a. Somit erhalten wir:

1:\ \ {\bar{J}}_{22,1}=\frac{a\left(4a\right)^3}{12}

Danach bestimmen wir den jeweiligen Steiner-Anteil. Dieser berechnet sich immer aus dem senkrechten Abstand zur Achse, in die das Flächenträgheitsmoment zeigt. Das heißt, für J_{22}\ verwenden wir den Abstand in z-Richtung und für J_{33} in y-Richtung. Für Fläche 1 gilt: z_1 gleich a und A gleich 4a^2

Steiner-Anteil: \left(z_1-z_S\right)^2A_1={\frac{11}{8}}^24a^4

Analog dazu berechnen wir für Fläche 2 und 3:

2:\ \ {\bar{J}}_{22,2}=\frac{a^33a}{12}

Steiner-Anteil: \left(z_2-z_S\right)^2A_2={\frac{9}{8}}^23a^4

3:\ \ {\bar{J}}_{22,3}=\frac{a^4}{12}\

Steiner-Anteil: \left(z_3-z_S\right)^2A_3={\frac{17}{8}}^2a^4

Flächenträgheitsmomente addieren

Die Werte müssen wir jetzt nur noch summieren. Danach setzen wir unsere Kantenlänge von a gleich sechs Zentimetern ein und erhalten das gesamte Flächenträgheitsmoment mit:

{\hat{J}}_{22}={\bar{J}}_{22,1}+\left(z_1-z_S\right)^2A_1+{\bar{J}}_{22,2}+\left(z_2-z_S\right)^2A_2+{\bar{J}}_{22,3}+\left(z_3-z_S\right)^2A_3=\frac{517}{24}a^4=27918{cm}^4

Analog dazu können wir J_{33} berrechnen:

{\hat{J}}_{33}={\bar{J}}_{33,1}+\left(y_1-y_S\right)^2A_1+{\bar{J}}_{33,2}+\left(y_2-y_S\right)^2A_2+{\bar{J}}_{33,3}+\left(y_3-y_S\right)^2A_3=\frac{14}{3}a^4=6048{cm}^4

Als nächstes wollen wir das polare Flächenträgheitsmoment J_{11} ermitteln. Wir könnten das jetzt analog bestimmen. Doch du weißt vielleicht noch, dass im Schwerpunkt gilt:

J_{11}=J_{22}+J_{33}

Damit erhalten wir das polare Flächenträgheitsmoment:

J_{11}=J_{22}+J_{33}=33966{cm}^4

Jetzt fehlt uns nur noch das Deviationsmoment. Das müssen wir jetzt wieder über die einzelnen Flächen bestimmen. Der Tabelle entnehmen wir, dass das Deviationsmoment für Rechtecke gleich Null ist, wir müssen deshalb jetzt nur noch die Steiner-Anteile bestimmen:

1:\left(z_1-z_S\right)\left(y_1-y_S\right)A_1=-\frac{11}{8}\frac{1}{2}4a^4=-3564{cm}^4

2:\left(z_2-z_S\right)\left(y_2-y_S\right)A_2=-\frac{9}{8}\frac{1}{2}3a^4=-2187{cm}^4

3:\left(z_3-z_S\right)\left(y_3-y_S\right)A_3=-\frac{17}{8}\frac{1}{2}a^4=-1377{cm}^4

Damit erhalten wir für das gesamte Deviationsmoment:

{\hat{J}}_{23}=\left(z_1-z_S\right)\left(y_1-y_S\right)A_1+\left(z_2-z_S\right)\left(y_2-y_S\right)A_2+\left(z_3-z_S\right)\left(y_3-y_S\right)A_3=-7128{cm}^4

Wenn du dir die Berechnung des Flächenträgheitsmoments ausführlicher anschauen willst, dann bleib dran, denn in unserem Video Satz von Steiner – Flächenträgheitsmoment erklären wir dir nochmal die einzelnen Schritte.

Widerstandsmoment

Das Flächenträgheitsmoment wird übrigens zur Berechnung des Widerstandsmoments verwendet. Dieser gibt an, welchen Widerstand ein belasteter Balken der Entstehung von innerer Spannung entgegensetzt. Um diesen zu bestimmen, benötigst du folgende Formel:

W=\frac{I}{\alpha_{max}}

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