Mechanik: Dynamik

Hookesches Gesetz

Dieser Artikel behandelt das hookesche Gesetz, sowie dessen Anwendung auf eindimensionale und mehrdimensionale Werkstoffe.

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Inhaltsübersicht

Hookesches Gesetz einfach erklärt

Um eine Längenänderung eines elastisch verformbaren Körpers zu beschreiben, findet das nach Robert Hooke benannte Prinzip „hookesches Gesetz“ Anwendung. Diese Längenänderung muss proportional zur einwirkenden Belastung sein – sogenanntes linear-elastisches Verhalten. Das hookesche Gesetz gilt insbesondere für die elastische Verformung bei Federsystemen.

Das hookesche Gesetz (nicht: „hooksches Gesetz“ oder „hooksche Gesetz“) stellt einen linearen Sonderfall des Elastizitätsgesetzes dar. Es kann nur für den elastischen Bereich einer Verformung und auf linear elastische Körper angewendet werden. Ist die einwirkende Kraft so groß, dass eine plastische oder eine nicht-lineare Verformung auftritt, kann das Gesetz nicht mehr angewendet werden.

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Spannungs-Dehnungs-Diagramm

Federsysteme mit dem hookeschen Gesetz

Das hookesche Gesetz findet insbesondere bei Federn Anwendung und wird in diesem Zusammenhang auch als Federgesetz bezeichnet. Hierbei kann zum Beispiel die Federkonstante bestimmt, oder bei gegebener Federkonstante die Längenänderung ermittelt werden. Die Federkonstante wird in unserem zugehörigen Artikel genauer behandelt.

Anwendung zur Messung findet das hookesche Gesetz unter anderem bei sogenannten Federkraftmessern. Diese bestimmen, wie der Name schon sagt, die Kraft einer elastisch verformten Feder. Dabei wird ein Körper an eine elastische Feder angehängt und die Dehnung der Feder wird an einer Skala abgelesen.

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Federkraftmesser

Hookesches Gesetz Formel

Das hookesche Gesetz für ein Federsystem lässt sich mit folgender Formel, auch Federgleichung genannt, ausdrücken:

\Delta l=\frac{F}{D} beziehungsweise F=D\cdot \Delta l

\Delta l steht hierbei für die Längenänderung, F für die wirkende Kraft und D beschreibt den Proportionalitätsfaktor Federkonstante.

Die entstehende potentielle Energie für die Dehnung einer Feder erhält man durch:

E_{pot}=-\int_{0}^{\vec{s}}{\vec{F}\cdot d{\vec{s}}^\prime=}-\int_{0}^{\vec{s}}{(-D{\vec{s}}^\prime)\cdot d{\vec{s}}^\prime}=D\int_{0}^{\vec{s}}{{\vec{s}}^\prime\cdot d{\vec{s}}^\prime}=\frac{1}{2}Ds^2

Federkraft

Mit Hilfe des hookeschen Gesetzes ist es möglich, die sogenannte Federkraft, auch Spannkraft genannt, zu berechnen.

Eindimensionaler Fall

Wenn der Werkstoff in nur eine Richtung gedehnt wird, wird diese Dehnung als eindimensional bezeichnet. Bei einer Dehnung in x-Richtung lautet das hookesche Gesetz:

\sigma_x=\varepsilon_x \cdot E

\sigma_x gibt die Spannung an, die auf den Werkstoff wirkt, E beschreibt die Proportionalitätskonstante, den E-Modul. Die Dehnung \varepsilon_x kann auch durch folgende Formel beschrieben werden:

\varepsilon_x=\frac{\Delta l}{l_0}

Mehr zum eindimensionalen Fall und ein Anwendungsfall für das hookesche Gesetz ist im Artikel „Hookesche Gerade“ beschrieben.

Mehrdimensionaler Fall

Bei einer Dehnung in mehrere Raumrichtungen wird das hookesche Gesetz durch eine lineare Tensorgleichung ausgedrückt:

\widetilde{\sigma}=\widetilde{\widetilde{C}}\cdot\widetilde{\varepsilon}

Der Elastizitätstensor \widetilde{\widetilde{C}} gibt die elastischen Eigenschaften des Werkstoffes an. Die Zahl der unabhängigen Komponenten des Tensors beträgt 36, wodurch sich die elastischen Konstanten des hookeschen Gesetzes in einer 6×6-Matrix darstellen lassen:

\left[\begin{matrix}\sigma_1\\\sigma_2\\\sigma_3\\\sigma_4\\\sigma_5\\\sigma_6\\\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&C_{14}&C_{15}&C_{16}\\C_{21}&C_{22}&C_{23}&C_{24}&C_{25}&C_{26}\\C_{31}&C_{32}&C_{33}&C_{34}&C_{35}&C_{36}\\C_{41}&C_{42}&C_{43}&C_{44}&C_{45}&C_{46}\\C_{51}&C_{52}&C_{53}&C_{54}&C_{55}&C_{56}\\C_{61}&C_{62}&C_{63}&C_{64}&C_{65}&C_{66}\\\end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} \varepsilon 1 \\\varepsilon 2 \\\varepsilon 3\\\varepsilon 4 \\\varepsilon 5 \\\varepsilon 6\\\end{matrix}\right]

Da die Matrix symmetrisch ist, reduziert sich die Anzahl der unabhängigen elastischen Konstanten auf maximal 21. Für die Anwendung des allgemeinen Falles muss beachtet werden, dass bei \varepsilon_4, \varepsilon_5 und \varepsilon_6 ein zusätzlicher Faktor 2 hinzugefügt werden muss.

Spezialfall: Isotropes Material

Die Eigenschaften isotroper Werkstoffe weisen eine Richtungsunabhängigkeit auf. Somit verringert sich die Anzahl der unabhängigen elastischen Konstanten auf 2. Das hookesche Gesetz bei isotropen Materialien ist gegeben durch:

\bar{\varepsilon}=L^{-1}\bar{\sigma}

Mit L^{-1}= \left[\begin{matrix} 1&-\nu&-\nu&0&0&0\\.&1&-\nu&0&0&0\\.&.&1&0&0&0\\.&.&.&2(1+\nu)&0&0\\.&.&.&.&2(1+\nu)&0\\.&.&.&.&.&2(1+\nu)\\\end{matrix}\right]

Die sogenannte Querkontraktionszahl \nu beschreibt das Verhalten des Festkörpers unter dem Einfluss einer Druck- beziehungsweise Zugkraft. Für eindimensionale isotrope Medien fällt die Querkontraktionszahl weg und die Beziehung vereinfacht sich zu:

\varepsilon=\frac{1}{E}\sigma

Ebener Spannungszustand

Wenn ein ebenes Material in zwei Raumrichtungen Spannungen aufweist, in die dritte Raumrichtung jedoch keine Spannung vorhanden ist, herrscht in der Fläche ein sogenannter ebener Spannungszustand. Diese Spannungszustände treten an Scheiben oder Oberflächen auf. Dadurch können alle Spannungskomponenten senkrecht zur Fläche vernachlässigt werden.

Wir nehmen an, dass in x- und y- Richtung Spannungen auftreten und in z-Richtung keine Spannungen herrschen. Somit erhalten wir:

\sigma_{xz}=\sigma_{yz}=\sigma_{zz}=0.

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Ebener Spannungszustand

Die Elastizitätsbeziehung ist dann gegeben durch:

\left[\begin{matrix}\varepsilon_{xx}\\\varepsilon_{yy}\\2\varepsilon_{xy}\\\end{matrix}\right]=\frac{1}{E}\left[\begin{matrix}1&-\nu&0\\-\nu&1&0\\0&0&2(1+\nu)\\\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}\sigma_{xx}\\\sigma_{yy}\\\sigma_{xy}\\\end{matrix}\right]

Ebener Verzerrungszustand

Für den ebenen Verzerrungszustand, auch ebener Dehnungszustand genannt, gilt ein analoger Zusammenhang zum ebenen Spannungszustand. Jedoch wird hier ein ebenes Material betrachtet, das in zwei Raumrichtungen Dehnungen aufweist und in die dritte Raumrichtung nicht. Nun können alle Dehnungskomponenten senkrecht zur Fläche vernachlässigt werden.

Wir erhalten analog:

\varepsilon_{xz}=\varepsilon_{yz}=\varepsilon_{zz}=0

Jetzt lässt sich die Dehnung berechnen mit:

\left[\begin{matrix}\sigma_{xx}\\\sigma_{yy}\\\sigma_{xy}\\\end{matrix}\right]=\frac{2\mu}{1-2\nu}\left[\begin{matrix}1-\nu&\nu&0\\\nu&1-\nu&0\\0&0&1-2\nu\\\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}\varepsilon_{xx}\\\varepsilon_{yy}\\\varepsilon_{xy}\\\end{matrix}\right]

Die Materialkonstante \mu steht für den sogenannten Schubmodul G. Dieser beschreibt die linear-elastisch Verformung aufgrund von Schubspannungen. Der Zusammenhang mit dem Elastizitätsmodul E kann wie folgt ausgedrückt werden:

E=2\mu(1+\nu)


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