Strömungsmechanik

Hydrostatischer Druck

Wenn du schon einmal Tauchen warst, dann bist du dem hydrostatischen Druck begegnet. Was der hydrostatische Druck ist und was er mit dem Tauchen zu tun hat, erfährst du hier.

Du kannst besser lernen, wenn du die entsprechende Thematik in einem Video sehen kannst? Keine Sorge, denn auch zum hydrostatischen Druck haben wir ein Video , das du dir gerne ansehen kannst. 

Inhaltsübersicht

Hydrostatischer Druck einfach erklärt

Beginnen wir damit, was hydrostatischer Druck ist und welche wichtigen Formeln es in diesem Zusammenhang gibt. 

Merke

Hydrostatischer Druck ist der Druck innerhalb eines ruhenden Fluids, der aufgrund der Gravitationswechselwirkung zwischen den Fluidteilchen und der Erde entsteht.

Hydrostatischer Druck hat zwei wesentliche Charakteristiken. Erstens besitzt er innerhalb eines Fluids in allen Richtungen denselben Betrag, und zweitens wirkt er immer senkrecht auf jede Fläche, die im Kontakt mit dem Fluid steht. Als eine Form des Drucks besitzt der hydrostatische Druck die Einheit bar oder Pascal (\mathsf{Pa}).

Wenn wir den Boden eines Behälters mit einem Fluid durch y = 0 beschreiben und uns zwei Punkte y_1 und y_2 oberhalb des Bodens wählen, dann gilt für die Differenz im hydrostatischen Druck \Delta p = p_2  -  p_1 zwischen diesen zwei Punkten

\Delta p = p_2 - p_1 = -\rho \cdot g \cdot (y_2 - y_1).

Hier ist \rho die Dichte des Fluids und g die Schwerebeschleunigung.

Häufig wird als Referenz die Oberfläche des Fluids genommen, d.h. man betrachtet den hydrostatischen Druck in Abhängigkeit der Tiefe unterhalb der Fluidoberfläche. In diesem Fall ergibt sich für den Druck p im Punkt y_1 

p = p_0 + \rho \cdot g \cdot h,

wobei h die Tiefe unterhalb der Fluidoberfläche, also die Höhe der Wassersäule oberhalb des Punktes y_1, beschreibt und p_0 der Umgebungsdruck ist, der auf der Oberfläche des Fluids wirkt. Befindet sich die Fluidoberfläche im Kontakt mit Luft, dann entspricht dieser Umgebungsdruck gerade dem Atmosphärendruck, welcher häufig durch einen Wert von 1 \ \mathsf{bar} approximiert wird.

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Hydrostatischer Druck

Hydrostatischer Druck Formel

In diesem Abschnitt erläutern wir die Formel für den hydrostatischen Druck genauer und schauen uns eine kurze Herleitung an. Wir besprechen zudem das Pascal’sche Gesetz (auch Pascal’sches Prinzip) und in diesem Zusammenhang das hydrostatische Paradoxon.

Allgemeine Formel

Wir stellen uns einen Behälter mit Wasser vor. Innerhalb des Wassers betrachten wir ein kleines quaderförmiges Wasservolumen mit dem Volumen dV = A \cdot dy, wobei A die große Fläche des Volumenelementes ist. Dieses kleine Volumen wird in keine Richtung beschleunigt und befindet sich daher in einem Kräftegleichgewicht. Von Interesse ist das Kräftegleichgewicht in y-Richtung. % Hier die Abbildung 0 aus dem entsprechenden Videoskript einfügen

Es wirken drei Kräfte auf das Volumenelement: Einerseits die Gravitationskraft, die mit F_g = -m_{\mathsf{dV}} \cdot g = -\rho \cdot dV \cdot g = -\rho \cdot A \cdot dy \cdot g gegeben ist und andererseits die Kräfte, die auf der oberen und unteren Fläche wirken, die durch

F_{\mathsf{y}} = p \cdot A für die untere Fläche und

F_{\mathsf{y + dy}} = - (p + dp) \cdot A für die obere Fläche

gegeben sind. Wenn die Summe dieser drei Kräft gleich Null setzt, erhält man durch Umstellen 

\frac{dp}{dy} = -\rho \cdot g.

Hydrostatischer Druck nimmt also mit zunehmender Höhe ab, was zu erwarten war, da die Menge an Wasser oberhalb eine Punktes mit steigender Höhe abnimmt. Durch Lösen dieser Differentialgleichung unter der Annahme einer von der Höhe unabhängigen Dichte \rho kann man die zu Beginn genannten Formeln erhalten. Eine detaillierte Rechnung hierzu kannst du in unserem Beitrag zum Druck in ruhenden Flüssigkeiten finden. Ebenso kannst du in diesem Zusammenhang bei unserem Beitrag zur Auftriebskraft vorbeischauen. 

Pascal’sches Gesetz 

Die Gleichung für den hydrostatischen Druck zeigt uns, dass sich bei Änderung des Umgebungsdruck p_0 der Druck innerhalb des Fluids unabhängig von der Höhe um den selben Betrag ändert. Diese Beobachtung wird als Pascal’sches Gesetz (oder auch Pascal’sches Prinzip) genannt und kann folgendermaßen präzisiert werden

Druck, der auf ein eingeschlossenes Fluid ausgeübt wird, verteilt sich unverändert auf jeden Teil des Fluids.

Eine sehr anschauliche Anwendung, die sich das Pascal’sche Gesetz zu Nutze macht, ist die hydraulische Hebebühne. Dabei erzeugt eine Kraft F_1 die auf die Fläche A_1 des kleinen Kolbens wirkt eine Änderung im hydrostatischen Druck, die auf die Fläche A_2 des großen Kolbens übertragen wird. Es resultiert dadurch eine Kraft F_2 auf den großen Kolben. Da nach dem Pascal’schen Gesetz der Druck gleichmäßig im gesamten Fluid verteilt wird, gilt 

p_{\mathsf{kleiner \ Kolben}} = p_{\mathsf{gro \ss er \ Kolben}} oder

\frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2} und umgestellt auf F_2

F_2 = F_1 \cdot \frac{A_2}{A_1}.

Da die Fläche A_2 des großen Kolbens viel größer als die Fläche A_1 des kleinen Kolbens ist, ist die auf den großen Kolben wirkende Kraft F_2 ebenfalls viel größer als F_1. Dadurch kann eine kleine Kraft zu einer großen Kraft verstärkt werden. Somit braucht man beispielsweise keine allzu große Kraft, um ein PKW zu heben.

Hydrostatisches Paradoxon

Die Gleichung für den hydrostatischen Druck sagt aber auch aus, dass hydrostatischer Druck nur von der Höhe der Fluidsäule abhängt. Das heißt, für eine gegebene Höhe spielt die Form des Behälters keine Rolle. Eine sehr elegante Methode das zu beobachten, sind die sogenannten kommunizierenden Röhren. Dabei handelt es sich um verschieden geformte Röhren, die miteinander verbunden sind. Abhängig von der Form, würde man unterschiedliche Werte des hydrostatischen Drucks am Boden erwarten. Entsprechend der Gleichung müsste dann die Höhe des Fluidspiegels unterschiedlich sein. Tatsächlich beobachtet man aber, dass die Höhe in allen Röhren gleich ist. Diese Beobachtung bezeichnet man als hydrostatisches Paradoxon, dessen Aussage wie folgt lauten kann

Hydrostatischer Druck innerhalb eines Fluids hängt nur von der Fluidhöhe ab und nicht von der Form des Gefäßes, indem sich das Fluid befindet.

Hydrostatisches Paradoxon; Druck
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Hydrostatisches Paradoxon

Hydrostatischer Druck Beispiel

In diesem Abschnitt zeigen wir dir ein kurzes Beispiel zum hydrostatischen Druck und zählen abschließend ein paar Anwendungsgebiete auf, wo hydrostatischer Druck eine wichtige Rolle spielt.

Berechnungsbeispiel

Als ein kleines Berechnungsbeispiel schauen wir uns eine Hebebühne an. Der große Kolbe habe einen Radius von r_2 = 32 \ \mathsf{cm}, der kleine Kolben einen Radius von r_1 = 3 \ \mathsf{cm}. Mit welcher Kraft musst du dann auf den kleinen Kolben drücken, damit der große Kolben einen Wagen der Masse 1.200 \ \mathsf{kg} heben kann?

Nach der Formel im Unterabschnitt zum Pascal’schen Gesetz gilt 

\frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2}.

Wir interessieren uns hier für die Kraft F_1, die auf den kleinen Kolben ausgeübt werden muss. Umgestellt auf F_1 erhalten wir also

F_1 = F_2 \cdot \frac{A_1}{A_2}.

Die Kraft F_2, die auf den großen Kolben wirkt, entspricht gerade der Gewichtskraft des Wagens. Es ergibt sich somit für die gesucht Kraft

F_1 = F_2 \cdot \frac{A_1}{A_2} = m_{\mathsf{Wagen}} \cdot g \cdot \frac{A_1}{A_2} = 1.200 \ \mathsf{kg} \cdot 9,81 \ \mathsf{\frac{m}{s^2}} \cdot \frac{\pi \cdot (0,03 \ \mathsf{m})^2}{\pi \cdot (0,32 \ \mathsf{m})^2} = 103,46 \ \mathsf{N}.

Ist das nicht erstaunlich? Um einen Wagen mit einer Masse von 1.200 \ \mathsf{kg} zu heben, musst du nur eine Kraft von etwa 100 \ \mathsf{N} aufwenden. Das entspricht ungefähr das Heben eines Objektes der Masse 10 \ \mathsf{kg}.

Anwendungsgebiete

Zum Abschluss schauen wir uns ein paar Lebensbereiche an, wo hydrostatischer Druck eine wesentliche Rolle spielt.

Wir hatten am Anfang das Tauchen erwähnt. An diesem Punkt sollte dir bekannt sein, dass der hydrostatische Druck mit steigender Wasserhöhe ebenfalls steigt. Beim Tauchen macht es sich dadurch bemerkbar, dass du einen umso größeren Druck verspürst, je tiefer du tauscht.

Eine weitere wichtige Anwendung sind Wassertürme. Durch Verwendung von Pumpen füllt man diese mit Wasser. Aufgrund des hydrostatischen Drucks kann sich dann das Wasser auf die Wohnungen verteilen, die tiefer liegen, ohne Verwendung von Pumpen.

Beim Trinken mit einem Strohhalm befördern wir dir die Luft innerhalb des Strohhalms durch das Saugen in unseren Mund. Dadurch reduziert sich der Druck im Strohhalm. Am Boden des Glases ist der hydrostatische Druck höher als im Strohhalm, wodurch die Flüssigkeit über den Strohhalm in unseren Mund gelangt.


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