Strömungsmechanik

Navier Stokes Gleichung

Die Navier Stokes Gleichung ist eine universelle Formel, um die Strömung von Fluiden zu beschreiben. In diesem Beitrag zeigen wir dir die Navier Stokes Gleichung und dessen Herleitung. Außerdem schauen wir, was der Unterschied zwischen kompressiblen und inkompressiblen Fluiden ist und wie man die Navier Stokes Gleichung für bestimmte Systeme vereinfachen kann.

Du willst die Navier Stokes Gleichung verstehen? Dann schau dir doch unser Video an, in dem wir dir alles Wichtige zur Navier Stokes Gleichung erklären.

Inhaltsübersicht

Navier Stokes Gleichung einfach erklärt

In der Strömungsmechanik befasst man sich mit dem physikalischen Verhalten von Gasen und Flüssigkeiten. Diese Stoffe werden als Fluide bezeichnet und werden durch die Navier Stokes Gleichung beschrieben. Bei inkompressiblen Fluiden hängt die Dichte nicht vom Druck ab. Die Navier Stokes Gleichung für inkompressible Fluide ist

 \underbrace{\rho \frac{\partial}{\partial t} \vec{v} + \rho ( \vec{v} \cdot \vec{\nabla}) \vec{v}}_{Gesamtkraft} = \underbrace{- \vec{\nabla} p}_{Druck \ddot{a} nderung} + \underbrace{\eta \vec{\nabla}^2 \vec{v}}_{Reibungskraft} + \underbrace{\rho \vec{f}.}_{\ddot{a}ussere  \, Kr\ddot{a}fte}

Die Gleichung entspricht dem 2. Newtonsches Gesetz . Die Masse eines Objekts ersetzen wir hierbei durch die Dichte \rho des Fluids. Das Geschwindigkeitsfeld \vec{v} = \vec{v} (\vec{r},t) beschreibt die Geschwindigkeit  zu jeder Zeit t und an jedem Ort \vec{r}. Der Term - \vec{\nabla} p bezeichnet die Änderung des statischen Drucks. \eta repräsentiert die Viskosität des Fluids und ist ein Maß für die Zähflüssigkeit eines Stoffes. Dies beeinflusst die Reibung  des Fluids. Äußere Kräfte wie zum Beispiel die Erdanziehungskraft werden durch den Term \rho \vec{f} berücksichtigt.

Herleitung Navier Stokes Gleichung

Jetzt wollen wir nachvollziehen, wie sich die Navier Stokes Gleichung aus dem Newtonschen Gesetz ergibt. Um die Strömung eines Volumenelements \Delta V mit Masse \Delta m = \rho \cdot \Delta V beschreiben zu können, gehen wir vom 2. Newtonschen Gesetz aus:

\vec{F} = \Delta m \cdot \ddot{\vec{r}} = \rho \cdot \Delta V \cdot \dot{\vec{v}}.

Dabei bezeichnet \dot{\vec{v}} die totale Änderung der Geschwindigkeit

 \dot{\vec{v}} = \frac{\partial}{\partial t} \vec{v} +  ( \vec{v} \cdot \vec{\nabla} ) \vec{v}.

Wir berücksichtigen damit zum einen die zeitliche Änderung von \vec{v} am selben Ort und die zeitliche Änderung, wenn das Fluid von einem Ort zum anderen strömt. Daher nennt man den Term auch substantielle Beschleunigung. Weil wir die rechte Seite des 2. Newtonschen Axioms nun kennen, benötigen wir jetzt die Kräfte, welche auf ein Volumenelement \Delta V des Fluides wirken. Druckdifferenzen zwischen zwei verschiedenen Orten führen zu einer Druckkraft

 \vec{F}_{Druck} = - \vec{\nabla} p \cdot \Delta V.

Wenn du dir das Fluid als Stapelung von Schichten vorstellst, führt die Bewegung der Schichten zu Reibung zwischen den Schichten, wenn die Geschwindigkeit der Schichten unterschiedlich ist. Die Reibungskraft ist

 \vec{F}_{Reib} =  \eta \vec{\nabla}^2 \vec{v} \cdot \Delta V

Alle anderen Kräfte zählen zu den äußeren Kräften und schreiben wir allgemein

 \vec{F}_{ext} = \rho \vec{f} \cdot \Delta V,

wobei \vec{f} die Kraftdichte ist. Wenn wir zum Beispiel die Erdbeschleunigung \vec{g} mit einbeziehen, erhält man

 \vec{F}_{ext} = \rho \vec{g} \cdot \Delta V.

Wenn du im 2. Newtonschen Axiom die Kraft \vec{F} = \vec{F}_{Druck} + \vec{F}_{Reib} + F_{ext} und die substantielle Beschleunigung \dot{\vec{v}} einsetzt, führt das auf

 - \vec{\nabla} p \cdot \Delta V + \eta \vec{\nabla}^2 \vec{v} \cdot \Delta V + \rho \vec{f} \cdot \Delta V  = \rho \Delta V \cdot \left( \frac{\partial}{\partial t} \vec{v} +  (\vec{v} \cdot \vec{\nabla} ) \vec{v} \right).

Die Navier Stokes Gleichung erhältst du nun durch Division vom Volumenelement \Delta V.

 - \vec{\nabla} p  + \eta \vec{\nabla}^2 \vec{v} + \rho \vec{f}   = \rho   \left( \frac{\partial}{\partial t} \vec{v} +  (\vec{v} \cdot \vec{\nabla} ) \vec{v} \right).

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Navier Stokes Gleichung Kompressible Fluide

Wenn sich die Dichte eines Fluids durch Druckeinwirkung ändert, sprechen wir von kompressiblen Fluiden.  Das ist vor allem bei Gasen der Fall. Die Navier Stokes Gleichung muss dann neben der Impulserhaltung auch die Energieerhaltung und die Zustandsgleichung des Gases berücksichtigen. Für kompressible Fluide lautet die Navier Stokes Gleichung

 - \vec{\nabla} p  + \eta \vec{\nabla}^2 \vec{v} + \rho \vec{f}  + (\lambda + \eta) \vec{\nabla} (\vec{\nabla} \cdot \vec{v}) = \rho   \left( \frac{\partial}{\partial t} \vec{v} +  (\vec{v} \cdot \vec{\nabla} ) \vec{v} \right).

Die Lamé-Zahl \lambda gibt einen Zusammenhang zwischen Dehnung und daraus resultierender Spannung in einem Fluid an und ist eine Materialkonstante. Um zu zeigen, wie sich aus der Navier Stokes Gleichung für kompressible Fluide die Gleichung für inkompressible Fluide ergibt, betrachten wir zunächst die Kontinuitätsgleichung

\frac{\partial \rho}{\partial t}  + \vec{\nabla} (\rho \vec{v}) = 0

\Leftrightarrow \frac{\partial \rho}{\partial t}  + \vec{\nabla} \rho \cdot \vec{v}  +\vec{\nabla} \vec{v} \cdot \rho = 0

\Leftrightarrow \frac{\partial \rho}{\partial t}  + \vec{\nabla} \rho \cdot \vec{v}  =-\vec{\nabla} \vec{v} \cdot \rho .

Nun erkennt man, dass auf der linken Seite das totale Differential der Funktion \rho(t,\vec{x}(t)) steht

\frac{\mathrm{d} \rho}{\mathrm{d} t} (t, \vec{x}(t)) = -\vec{\nabla} \vec{v} \cdot \rho.

Betrachten wir inkompressible Fluide, so ist die Dichte entlang jeder Teilchenbahn konstant, das heißt

\frac{\mathrm{d} \rho}{\mathrm{d} t} (t, \vec{x}(t)) = 0.

Daraus erhalten wir direkt die Divergenzfreiheit des Geschwindigkeitsfeldes

\vec{\nabla} \cdot \vec{v} = 0 , denn

-\vec{\nabla} \vec{v} \cdot \rho =0 \Longrightarrow \vec{\nabla} \vec{v}=0.

Somit haben wir die Navier Stokes Gleichung für inkompressible Fluide direkt aus der Navier Stokes Gleichung für kompressible Fluide abgeleitet

 - \vec{\nabla} p  + \eta \vec{\nabla}^2 \vec{v} + \rho \vec{f}   = \rho   \left( \frac{\partial}{\partial t} \vec{v} +  (\vec{v} \cdot \vec{\nabla} ) \vec{v} \right).

Navier Stokes Gleichung Vereinfachungen

Die Navier Stokes Gleichung ist eine komplizierte Formel. Im Folgenden zeigen wir dir, wie man die inkompressible Navier Stokes Gleichung für bestimmte Fälle vereinfachen kann.

Eulersche Gleichung

Kann man die innere Reibung des Fluids vernachlässigen (\eta = 0), vereinfacht sich die Navier Stokes Gleichung zu

 \rho  \cdot \left( \frac{\partial}{\partial t} \vec{v} +  (\vec{v} \cdot \vec{\nabla} ) \vec{v} \right) = - \vec{\nabla} p +  \rho \vec{f}.

Diese Näherung heißt Eulersche Gleichung und wird zum Beispiel bei der Entwicklung von Flugsystemen oder Rohrströmungen angewendet.

Stokes-Gleichung

Für sehr zähe Fluide kann die Zeitabhängigkeit des Geschwindigkeitsfelds und der Trägheitsterm vernachlässigt werden (\frac{\partial}{\partial t} \vec{v} = (\vec{v} \cdot \vec{\nabla}) \vec{v} = 0), sodass sich die Navier Stokes Gleichung zu

 - \eta \vec{\nabla}^2 \vec{v} + \vec{\nabla} p   = \rho \vec{f}.

vereinfacht. Das ist die Stokes-Gleichung und beschreibt sehr viskose Fluide, wie sie zum Beispiel im Erdmantel vorzufinden sind.

Navier Stokes Gleichung - Vereinfachungen
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Navier Stokes Gleichung – Vereinfachungen

Navier Stokes Gleichung Entdimensionalisierung

Wenn wir die physikalischen Größen in der Navier Stokes Gleichung  transformieren, lässt sich eine dimensionslose Gleichung herleiten. Dazu schreiben wir

 \tilde{\vec{v}} = \frac{\vec{v}}{U}  \qquad \tilde{\vec{r}} = \frac{\vec{r}}{L}  \qquad \tilde{t} = \frac{t}{T} \qquad \tilde{p} = \frac{p}{\rho U^2} \qquad \tilde{\vec{f}} = \frac{L}{ U^2} \vec{f},

wobei U eine charakteristische Geschwindigkeit, L eine charakteristische Länge und T eine charakteristische Zeit ist. Setzt man das ein, bekommen wir

 \rho \frac{U}{T} \frac{\partial}{\partial \tilde{t}} \tilde{\vec{v}} + \rho \frac{U^2}{L}(\tilde{\vec{v}}  \cdot \tilde{\vec{\nabla}}) \tilde{\vec{v}} = - \rho \frac{U^2}{L} \tilde{\vec{\nabla}}\tilde{p} + \eta \frac{U}{L^2} \tilde{\vec{\nabla}}^2 \tilde{\vec{v}} + \rho \frac{U^2}{L} \tilde{\vec{f}},

Wir vereinfachen diese Gleichung durch Division von \rho \frac{U^2}{L}:

 \frac{L}{TU}\frac{\partial}{\partial \tilde{t}} \tilde{\vec{v}} + (\tilde{\vec{v}}  \cdot \tilde{\vec{\nabla}}) \tilde{\vec{v}} = -\tilde{\vec{\nabla}}\tilde{p} + \frac{\eta}{\rho L U} \tilde{\vec{\nabla}}^2 \tilde{\vec{v}} + \tilde{\vec{f}}.

Damit erhalten wir für inkompressible Fluide die dimensionslose Navier Stokes Gleichung 

 \mathrm{St} \frac{\partial \tilde{\vec{v}}}{\partial \tilde{t}} - \frac{1}{\mathrm{Re}} \tilde{\vec{\nabla}}^2 \tilde{\vec{v}} + ( \tilde{\vec{v}} \cdot \tilde{\vec{\nabla}} ) \tilde{\vec{v}} + \tilde{\vec{\nabla}} \tilde{p} = \tilde{\vec{f}}.

Dabei ist \mathrm{St} = \frac{L}{UT} die Strouhal-Zahl und bezeichnet eine Kennzahl für nichtstationäre Strömungen. \mathrm{Re} = \frac{\rho U L}{\eta} heißt Reynolds-Zahl  und beschreibt stationäres Strömungsverhalten. Die beiden Kenngrößen sind von einander abhängig.

Navier Stokes Gleichung Lösung

Die Navier Stokes Gleichung konnte im dreidimensionalen Fall bis heute nicht gelöst werden und zählt zu den Millenium Problemen der Mathematik. Analytisch lässt sich die Navier Stokes Gleichung bislang nur unter vereinfachenden Annahmen lösen. Im zweidimensionalen Fall konnte die Existenz von Lösungen schon erfolgreich untersucht werden. Man kann die Navier Stokes Gleichung jedoch numerisch lösen, was zum Beispiel für die Simulation von Flüssigkeiten genutzt wird.

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