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Hydrostatik – Druck in ruhender Flüssigkeit

Wenn du eine Bierflasche im Wasser kühlst, wirkt auf diese ein bestimmter Druck. Wie du ihn ermitteln kannst, erklären wir dir in den nächsten acht Minuten.

Inhaltsübersicht

Druckberechnung im ruhenden Zustand

Um den Druck in ruhender Flüssigkeit zu verstehen, musst du erst einmal wissen was Druck überhaupt ist. In diesem Beitrag erklären wir dir alles wichtige zum Druck in ruhender Flüssigkeit.Wird mit einer bestimmten Kraft auf eine Fläche gedrückt, entsteht auf dieser ein gewisser Druck p. Mit der Formel

$p= \frac{F}{A}$

kannst du ihn dann genau berechnen.

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Luftdruck und Umgebungsdruck

Du hast bestimmt schon etwas von Luftdruck gehört. Das bedeutet, dass die Luft mit einer gewissen Kraft auf eine Fläche wirkt und Druck entsteht. Jetzt wirst du dich bestimmt fragen, ob auch die Luft, die uns ständig umgibt, einen Druck auf uns und andere Gegenstände ausübt. Die Antwort ist ja. Dieser Druck ist der sogenannte Umgebungs- oder Atmosphärendruck p_0 , der immer 1 bar beträgt. In Flüssigkeiten ist es genau dasselbe. Die Flüssigkeit wirkt mit einer bestimmten Kraft auf eine Fläche und übt damit Druck aus. Die Fläche kann entweder die Wände des Behälters sein, in der sich die Flüssigkeit befindet oder auch ein Köper, der in der Flüssigkeit liegt.
Jedoch ist es hier nicht so einfach, den Druck zu berechnen. Es müssen noch weitere Einflussfaktoren berücksichtigt werden. Damit du das verstehst, erklären wir es dir am besten anhand eines Beispiels.

Beispiel

Stell dir vor du hast einen Behälter, der mit einer Flüssigkeit gefüllt ist und nicht bewegt wird. Nun legst du einen Stab in Form eines Zylinders horizontal hinein. Zuerst betrachten wir nur den Druck in x- und y-Richtung.
Wie du siehst wirkt in x- und y-Richtung ein Druck auf den Stab. Die Frage ist jetzt: Wann ist der Zylinder im Gleichgewicht, also wann bewegt er sich weder nach links oder rechts noch nach vorne oder hinten?

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Aus der Skizze kann man schließen, dass dafür p1=p2 und p3=p4 sein muss. Da hier kein x oder y vorkommt, hängt der Druck also nicht von x und y ab.
Um nun den Druck in z-Richtung betrachten zu können, verändern wir die Skizze ein klein wenig. Dazu wird der Stab senkrecht statt horizontal in den Behälter gestellt. Da wir ja nun den Druck entlang der z-Achse betrachten, spielt hier auch die Gewichtskraft des Stabes eine Rolle.
Jetzt wirkt der Druck oben und unten auf die Stirnfläche des Zylinders. Um zu wissen wann der Stab im Gleichgewicht ist, ermitteln wir nun das Kräftegleichgewicht.

-F1 + F2 - Fg = 0

Jetzt stellen wir die Formel $p= \frac{F}{A}$ nach F um und setzen diese für F1 und F2 ein. Die Gewichtskraft Fg ist die Masse m mal die Erdbeschleunigung, also $F_g=m\times g$ .

Die Formel lautet nun $-p_1\times A+p_2\times A-m\times g=0$

Aus der Physik weißt du, dass die Masse gleich Dichte mal Volumen, also $m=\rho\times V$ ist. V wiederrum berechnet sich durch Fläche mal Höhe, also $V=A\times h$ Da gemäß unserer Skizze $h=\mathrm{\Delta}z$ gilt, kannst du nun für die Masse $m=\rho\times A\times\mathrm{\Delta z}$ schreiben. Setzt du die Masse in die vorherige Gleichgewichtsbedingung ein, erhältst du $-p_1\times A+p_2\times A-\rho\times A\times\mathrm{\Delta z}\times g=0$ . Wenn du jetzt durch A teilst und nach p_2 auflöst, siehst du, dass hier nicht nur der Druck p_1 vorkommt, sondern auch die Höhe h. Die Formel lautet also

$p_2=p_1+\rho\times g\times\mathrm{\Delta z}$ .

Allgemeine Formel zur Druckberechnung

Da diese Formel nur genau auf unser Beispiel bezogen ist, erklären wir dir noch den allgemeinen Fall.
Der Druck p_1 ist der Umgebungsdruck p_0 und p_2 der gesuchte Tiefendruck p. Allgemein lautet die Formel zur Druckberechnung also

$p=p_0+\rho\times g\times h$ .

Fassen wir das nochmal zusammen: Der Druck in einer ruhenden Flüssigkeit ändert sich in x- und y-Richtung nicht. Aber er wächst linear mit zunehmender Wassertiefe h an.
Auch wenn der Druck nicht von x und y abhängt, kann die Flüssigkeit auf Wände trotzdem einen Druck ausüben. Das klingt verwirrend? Keine Angst, das ist alles halb so schlimm. Wir werden es dir wieder anhand eines Beispiels erklären.
Du hast einen Behälter, der mit einer Flüssigkeit gefüllt ist. Nun hat dieser jedoch auf einer Seite eine kleine rechteckige Klappe, durch die die Flüssigkeit hinaus fließen kann. Da du aber nicht willst, dass dort etwas hinausdringt, drückst du mit deinem Finger dagegen. Du möchtest nun wissen, mit welcher Kraft du dagegen halten musst? Dazu solltest du erst einmal herausfinden, welche Kraft das Fluid von innen auf die Klappe ausübt.

Druck in ruhenden Flüssigkeiten Klappe Gegenkraft — Gegenkraft auf die Klappe

Also wie groß ist die Kraft auf die Fläche A? Von innen wirkt der Flüssigkeitsdruck p_i . Wie du gerade gelernt hast, lässt sich dieser mit der Formel

$p_i=p_0-\rho\times g\times z_c$ berechnen.

Jetzt stellt sich dir bestimmt die Frage wieso hier z_c steht. z_c = z + y_c . Mit Hilfe der Skizze kannst du sehen, dass z der Abstand von der Oberfläche bis zum Scharnier der Klappe ist. Y_c ist nichts Anderes als die Lage des Flächen-Schwerpunktes der Klappe. Bei einem Rechteck also $\frac{h}{2}$ . Aber Achtung: bei der Formel zc = z + yc musst du unbedingt darauf achten, wo das Koordinatensystem liegt und die Vorzeichen dementsprechend anpassen!

Was du ebenfalls bereits weißt ist, dass $F= p\times A$ ist. Also ist $F_i = p_i\times A$ . Da p_i von z_c abhängt, schreibt man auch $F_i = p_c\times A$ .

Druck Klappe Berechnung — Berechnung Druck auf Klappe

Weil ja außen nicht nur deine Fingerkraft sondern auch noch der Umgebungsdruck wirkt, muss dieser auch noch berücksichtigt werden. Mit $F_a= p_a\times A$ und p_a=p_0 kann man dann die Gesamtkraft berechnen, die auf die Klappe ausgeübt wird:

$F_{ges}=F_i+(-F_a)=A\times(p_c-p_o)$ .

Setzt du nun für p_c $p_0 - ρ\times g\times z_c$ ein, dann erhältst du folgende Gleichung:

$F_{ges}=-A\times\rho\times g\times z_c=F_{Fl\rightarrow W a n d}$ .

Da die Kraft ohnehin als Betrag gesehen wird und in Richtung des zugehörigen Vektors gilt, kann das Minus weggelassen werden. Wie du siehst verbleibt offenbar nur der von der Flüssigkeit allein erzeugte Kraftanteil. Der Umgebungsdruck fällt vollkommen weg und ist somit unwichtig.

Das heißt für dich, dass die Kraft, die du aufbringen musst, genauso groß sein muss wie die Kraft, die das Fluid auf die Wand bzw. auf die Klappe ausübt.
Das Ganze kannst du noch optimieren, indem du mit deinem Finger genau dort drauf drückst, wo die Kraft vom Fluid an der Klappe angreift. Aber wo ist das? Kann man das berechnen? Ja das kannst du. Sogar relativ schnell.
Dazu stellen wir ein Momentengleichgewicht um das Scharnier der Klappe auf. Das heißt wir betrachten die Kräfte mit ihrem Angriffspunkt, die bewirken, dass sich die Klappe um das Scharnier bewegt. Wie wir bereits festgestellt haben, drückt von innen die Kraft des Fluides und von außen der Umgebungsdruck. Der Abstand vom Scharnier zum Kraftangriffspunkt ist dabei der sogenannte Hebel, den wir mit y bezeichnen. Die Gleichung lautet also:

$F_{Fl}\times y_D=\iint_{A}{(p_i-p_0)\times y\ dA}$ .

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y_D

ist hierbei die Lage des Kraftangriffspunktes, die nicht automatisch der des Flächenschwerpunktes entspricht.

Da $p_i-p_0= ρ\times g\times y$ ist, erhältst du durch Einsetzen

$F_{Fl}\times y_D=\rho\times g\times\iint_{A}{y^2dA}$ .

Das Doppelintegral $\iint_{A}{y^2dA}$ wird als Trägheitsmoment eines Körpers um die x-Achse beschrieben. Dieses wird mit I_x bezeichnet. Schreiben wir nun statt dem Integral I_x und lösen nach y_D auf, so erhalten wir

$y_D=\frac{\rho\times g\times I_x}{F_{Fl}}$ .

Wie du bereits weißt ist { $F}_{Fl}=\rho\times g\times A\times z_c$ . Da wir aber nur den Abstand vom Scharnier zum Flächenschwerpunkt benötigen, wird z_c zu y_c . Du erhältst also:

$y_D=\frac{I_x}{A\times y_c}$ .

Mit dem Satz von Steiner sind wir dann auch fast schon am Ziel. Dieser Satz lautet: { $I}_x=I_{xc}+yc^2\times A$ . Wenn wir ihn in unsere { y}_D – Gleichung einsetzen, hast du endlich die fertige Formel. Diese lautet dann also

${y}_D=y_c+\frac{I_{xc}}{A\times y_c}$ .

Mit $I_{xc}$ ist das Flächenträgheitsmoment bezüglich des Flächenschwerpunktes gemeint und beträgt bei einem Rechteck $l_{xc}=\frac{b\times h^3}{12}$

Für andere Flächen kannst du diese Formel in der Formelsammlung nachschlagen.
So, nun bist du bestens informiert über den Druck in einer Flüssigkeit und wie sie sich auf verschiedene Konstruktionen auswirkt. Mach’s gut und bis bald.

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