Strömungsmechanik

Archimedisches Prinzip

Wenn du dein Wissen über Archimedisches Prinzip erweitern, oder erst erfahren möchtest, was archimedisches Prinzip aussagt, dann bist du hier an der richtigen Stelle.

Bevor es losgeht, ein kleiner Hinweis: In unserem Video%verlinken über archimedisches Prinzip erfährst du das Wichtigste in kurzer Zeit.

Inhaltsübersicht

Archimedisches Prinzip einfach erklärt

Das archimedische Prinzip ist unter anderem dafür verantwortlich, dass Schiffe schwimmen können, aber auch, dass beispielsweise Ballone Auftrieb erfahren. 

Archimedisches Prinzip

Wenn ein Körper ganz oder teilweise in ein Fluid eingetaucht wird, erfährt er eine nach oben gerichtete Kraft, die gleich dem Gewicht dem von ihm verdrängten Fluid ist.

Brechen wir archimedisches Prinzip in mehrere Teile auseinander. Zuerst, was ist mit Fluid gemeint? Mit Fluid wird „etwas“ bezeichnet, das fließen kann. Darunter kannst du dir also Flüssigkeiten wie Wasser oder Gase wie Luft vorstellen.

Eine „nach oben gerichtete Kraft“ erlebst du jedes Mal, wenn du jemanden oder etwas im Wasser anhebst. Dir wird sofort auffallen, dass sich dieser jemand oder dieses etwas deutlich leichter anfühlt im Vergleich zur Situation außerhalb vom Wasser. Diese Kraft findest du auch unter dem Namen Auftriebskraft .

Mit „gleich dem Gewicht dem von ihm verdrängten Fluid“ wird dir mitgeteilt, dass diese Auftriebskraft einen ganz bestimmten Betrag hat. Es handelt sich dabei um die Gewichtskraft , die das verdrängte Fluid ausüben würde, wenn du es zum Beispiel auf eine Waage stellst.

Archimedisches Prinzip Formel

In diesem Abschnitt erklären wir dir, worauf archimedisches Prinzip basiert und welche wichtige Formeln es dazu gibt.

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Archimedisches Prinzip: Hydrostatischer Druck und Gewichtskraft

Hier beschäftigen wir uns mit der Auftriebskraft und schauen uns an, wie genau sie mit der Gewichtskraft des verdrängten Fluids zusammenhängt. Zur Einfachheit betrachten wir den Fall für Wasser. Die Aussagen gelten aber auch für andere Fluide.

Hydrostatischer Druck

Der Grund, weshalb es zu einer Auftriebskraft kommt ist der, dass zwischen dem oberen Ende und dem unteren Ende des eingetauchten Körpers ein Unterschied im hydrostatischen Druck herrscht.

Stell dir zum Beispiel einen Würfel vor, den du vollständig in Wasser eintauchst. Der hydrostatische Druck steigt mit zunehmender Tiefe. Das bedeutet, dass der untere Teil des Würfels einen größeren Druck erfährt als der obere Teil. Würdest du mit deinem Finger keine Kraft auf dem Würfel ausüben, dann führt dieser Druckunterschied dazu, dass der Würfel eine Kraft nach oben erfährt. Mit anderen Worten: Der Würfel taucht von selbst wieder auf. Und genau das steckt hinter der Auftriebskraft.

Lass uns die Druckdifferenz mit \Delta p bezeichnen und die Höhendifferenz zwischen dem oberen und unteren Ende des Würfels mit h, also die Höhe des Würfels. Dann kannst du den Unterschied im hydrostatischen Druck folgendermaßen berechnen

\Delta p = \rho_{\mathsf{W}} \cdot g \cdot h.

Hier ist g die Schwerebeschleunigung und \rho{\mathsf{W}} die Dichte des Wassers.

% Abbildung 1 aus dem Videoskript einfügen.

Gewichtskraft

Wenn du den Würfel in Wasser eintauchst, wirst du feststellen, dass der Wasserspiegel steigt. Beim Eintauchen des Würfels verdrängst du schrittweise das Wasser. Solange der Würfel nicht vollständig eingetaucht ist, steigt der Wasserspiegel bei jedem Schritt. Dieses Steigen hört genau dann auf, wenn sich der Würfel vollständig im Wasser befindet.

Würdest du dieses verdrängte Wasser in einem separaten Behälter auffangen, dann kannst du sein Gewicht bestimmen. Der zweite Teil im archimedischen Prinzip teilt dir nun mit, dass diese „nach oben gerichtete Kraft“ gleich der Gewichtskraft des verdrängten Wassers ist. Es gilt also

F_{\mathsf{A}} = F_{g, \mathsf{W}} = m_{\mathsf{W}} \cdot g = \rho_{\mathsf{W}} \cdot V_{\mathsf{verdrängt}} \cdot g.

Wir haben hier die Definition der Dichte

\rho = \frac{m}{V}

verwendet, um die Masse des verdrängten Wasser m_{\mathsf{W}} durch seine Dichte \rho_{\mathsf{W}} und sein Volumen V_{\mathsf{verdrängt}} zu ersetzen. 

Das verdrängte Volumen entspricht gerade dem Volumen des Würfels

V_{\mathsf{verdrängt}} = V_{\mathsf{Würfel}} = A \cdot h,

wobei A die Fläche des Würfels ist. Damit ergibt sich

F_{\mathsf{A}} = \rho_{\mathsf{W}} \cdot V_{\mathsf{verdrängt}} \cdot g = \rho_{\mathsf{W}} \cdot A \cdot h \cdot g = \Delta p \cdot A

für den Betrag der nach oben gerichteten Kraft. 

Hinweis: Erinnerst du dich an die Definition des Drucks als Kraft pro Fläche? Wir wissen bereits, dass die nach oben gerichtete Kraft aufgrund des Unterschieds im hydrostatischen Druck hervorgerufen wird. Wir wissen auch, wie groß dieser Unterschied ist. Damit können wir den Betrag auch direkt aus der Definition des Drucks und der Formel für \Delta p berechnen. Das Ergebnis ist dasselbe.

Archimedisches Prinzip: Steigen, Schwimmen und Sinken

Dein Würfel steigt wieder auf, wenn du ihn loslässt. Andere Objekte sinken oder schwimmen. Woran können wir festmachen, welcher dieser drei Fälle eintreten wird? Nehmen wir an, dass wir einen Körper mit der Dichte \rho_{\mathsf{K}} und Fläche A haben. Diesen Körper tauchen wir um die Höhe h in ein Behälter mit Wasser ein. 

Um zu bestimmen, was nun mit diesem Körper passieren wird, wenn wir ihn loslassen, benötigen wir zwei Informationen: (1) Welche Kraft zieht den Körper nach unten (notiert als F_g)? und (2) welche Kraft drückt den Körper nach oben (notiert als F_A)?

Wenn wir diese Information haben, dann können wir problemlos vorhersagen, was mit dem Körper passieren wird. Die folgenden drei Fälle müssen wir unterscheiden

(1) F_g > F_A: Der Körper wird sinken,

(2) F_g = F_A: Der Körper wird in der eingetauchten Position schwimmen und

(3) F_g < F_A: Der Körper wird steigen (und dann schwimmen, das untere Ende befindet sich aber nicht mehr in der Tiefe h unter dem Wasserspiegel).

In unserem Beitrag zur Auftriebskraft findest du die relevanten Informationen, um diese beiden Kräfte zu bestimmen.

Archimedisches Prinzip Beispiel: Person auf Holzfloß

Schauen wir uns ein kleines Beispiel an, bei dem archimedisches Prinzip eine zentrale Rolle spielt. Nehmen wir an, du hast ein Holzfloß mit einer bekannten Masse m_2 = 20 \ \mathsf{kg}. Du selbst hast eine Masse von m_1 = 60 \ \mathsf{kg}. Dir ist auch die Dichte von Wasser bekannt \rho_{\mathsf{W}} = 1000 \ \mathsf{\frac{kg}{m^3}}

Du möchtest mit diesem Floß über den Fluss auf das andere Ufer gelangen. Dabei soll das Floß mit einer Dicke von D = 0,2 \ \mathsf{m} um die Hälfte im Wasser eingetaucht sein. Wie groß muss dann die Fläche A deine Holzfloßes dann sein?

Da du mit dem Floß zum anderen Ufer gelangen möchtest, muss dieser über den Fluss schwimmen. Wir befinden uns also in der Situation, bei der F_g = F_A gilt. Die Gewichtskraft F_g können wir folgendermaßen berechnen

F_g = (m_1 + m_2) \cdot g.

Die Auftriebskraft F_A entspricht gemäß archimedisches Prinzip der Gewichtskraft des verdrängten Wassers. Das Volumen des verdrängten Wasser ist 

V_{\mathsf{verdrängt}} = A \cdot \frac{D}{2},

da das Holzfloß um die Hälfte seiner Dicke eingetaucht sein soll. Gemeinsam mit der Dichte \rho_{\mathsf{W}} ergibt sich die Auftriebskraft zu

F_A = \rho_{\mathsf{W}} \cdot V_{\mathsf{verdrängt}} \cdot g = \rho_{\mathsf{W}} \cdot A \cdot \frac{D}{2} \cdot g.

Da F_g = F_A gilt, erhalten wir

\rho_{\mathsf{W}} \cdot A \cdot \frac{D}{2} \cdot g = (m_1 + m_2) \cdot g.

Kürzen wir auf beiden Seite die Schwerebeschleunigung g und stellen das Ergebnis auf die gesuchte Fläche A um, so bekommen wir

A = \frac{m_1 + m_2}{\rho_{\mathsf{W}} \cdot \frac{D}{2}}.

Jetzt brauchen wir nur noch die gegebenen Zahlenwerte einzusetzen. Das Resultat lautet dann

A = \frac{m_1 + m_2}{\rho_{\mathsf{W}} \cdot \frac{D}{2}} = \frac{60 \ \mathsf{kg} \ + \ 20 \ \mathsf{kg}}{1000 \ \mathsf{\frac{kg}{m^3}} \cdot \frac{0,2 \ \mathsf{m}}{2}} = 0,8 \ \mathsf{m^2}.

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