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Effektivwert

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Effektivwert einfach erklärt

Effektivwert Formel

Effektivwerte von Wechselspannungen

Effektivwert berechnen Beispiel

In diesem Beitrag erfährst du, wie die Formel für den Effektivwert aussieht, wie du ihn berechnen kannst und wie die Effektivwerte für wichtige Signalformen aussehen.

Wenn du das Ganze anschaulich erklärt haben willst, schau einfach in unser Video rein.

Inhaltsübersicht

Effektivwert einfach erklärt

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Der Effektivwert oder auch im Englischen RMS (root mean square)-Wert gibt für elektrische Wechselspannungen und Wechselströme den Wert an, den eine Gleichspannung, beziehungsweise Gleichstrom haben müsste, um die selbe Wärmeleistung in einem rein ohmschen Verbraucher umzusetzen.

Merke

Eine Gleichspannung von 5V erzeugt in einem Widerstand also die selbe Leistung wie eine Wechselspannung mit einem Effektivwert von 5V. Dabei ist die Berechnung des Effektivwerts abhängig von der Signalform der Wechselspannung (Sinus, Rechteck, Dreieck).

Effektivwert Formel

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Im folgenden Stellen wir dir die allgemeine Formel zur Berechnung des Effektivwerts vor und zeigen dir außerdem ihre Lösung für häufige Signalformen.

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Allgemeine Formel des Effektivwerts

Der Effektivwert der Spannung eines beliebigen kontinuierlichen Signal ergibt sich aus folgender Formel.

$U_{eff}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T} u(t)^2 dt}$

Gleiches gilt auch für den Strom:

$I_{eff}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T} i(t)^2 dt}$

Mathematisch betrachtet entspricht der Effektivwert also dem quadratischen Mittel. Handelt es sich um ein nicht periodisches Signal muss das Integral strenggenommen über die komplette Signaldauer T erfolgen. In diesem Fall geht die T gegen unendlich( $T \rightarrow \infty$ ).

Effektivwert periodischer Signale

Häufig werden allerdings periodische Signale betrachtet. Für sie ist es ausreichend über eine Periode T zu integrieren um ihren Effektivwert zu erhalten.

$U_{eff}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T} u(t)^2 dt}$

$I_{eff}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T} i(t)^2 dt}$

Effektivwerte von Wechselspannungen

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Für gängige periodische Signalformen (Sinusspannung, Rechteckspannung, Dreieckspannung) ist die Berechnung über die allgemeine Formel nicht zwingend erforderlich. Der Effektivwert dieser Signale ist von ihrer Amplitude abhängig. Es folgt eine Übersicht über die wichtigsten Wechselspannungen.

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Sinusspannung

Für eine Sinusspannung ergibt sich der Effektivwert aus der Amplitude beziehungsweise dem Spitzenwert $\hat{U}$ .

$U_{eff}=\frac{\hat{U}}{\sqrt{2}}$

Symmetrische Rechteckspannung

Für eine periodisches symetrische Rechteckspannung entspricht der Effektivwert der Amplitude beziehungsweise dem Spitzenwert $\hat{U}$ :

$U_{eff}=\hat{U}}$

Dreieckspannung

Für eine Dreieckspannung ergibt sich der Effektivwert aus der Amplitude beziehungsweise dem Spitzenwert $\hat{U}$ .

$U_{eff}=\frac{\hat{U}}{\sqrt{3}}$

Sägezahnspannung

Für eine Sägezahnspannung ergibt sich der Effektivwert aus der Amplitude beziehungsweise dem Spitzenwert $\hat{U}$ .

$U_{eff}=\frac{\hat{U}}{\sqrt{3}}$

Pulssignal/Rechteckssignal

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Für ein Pulssignal der Amplitude $\hat{U}$ und dem Duty Cycle beziehungsweise Taskgrad D ergibt sich der Effektivwert als.

$U_{eff}= \hat{U} \cdot \sqrt{D}$

Effektivwert berechnen Beispiel

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In diesem Beispiel wird der Effektivwert einer weniger häufig vorkommenden Spannungsverlaufs ermittelt. Hier ist es wichtig darüber klarzuwerden, dass die Funktion dieses Spannungsverlaufs abschnittsweise definiert werden kann.

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In diesem Fall können die beiden Abschnitte durch Geradengleichungen beschrieben werden:

$u(t)=\begin{cases} \frac{20V}{T} \cdot t , & 0 \leq t \leq \frac{T}{2}} \\ \frac{-10V}{T} \cdot t , & \frac{T}{2} \leq t \leq T \end{cases}$

Im ersten Schritt wird die allgemeine Berechnungsformel angesetzt.

$U_{eff}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T} u(t)^2 dt}$

Bei Spannungsverläufen die Abschnittsweise definiert werden können, ist es sinnvoll auch das Integral abschnittsweise zu bilden. Mit dieser Überlegung folgt:

$U_{eff}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T} u(t)^2 dt}=\sqrt{\frac{1}{T} \left( \int_{0}^{\frac{T}{2}} \left( \frac{20V}{T}\cdot t \right)^2 dt + \int_{\frac{T}{2}}^{T} \left( \frac{-10V}{T}\cdot t \right)^2 dt} \right)$

Nach dem Quadrieren der Klammern ergibt sich:

$U_{eff}=\sqrt{\frac{1}{T} \left(\int_{0}^{\frac{T}{2}} \frac{400V^2}{T^2}\cdot t^2 dt + \int_{\frac{T}{2}}^{T} \frac{100V^2}{T^2}\cdot t^2 dt} \right)$

An dieser Stelle können die Integrale gelöst werden:

$U_{eff}= \sqrt{\frac{1}{T} \left(\left[\left \frac{400V^2}{3T^2}\cdot t^3\right]_0^\frac{T}{2} + \left[\left\frac{100V^2}{3T^2}\cdot t^3\right]_\frac{T}{2}^T } \right) }$

Nach Einsetzten der Integrationsgrenzen ergibt sich:

$U_{eff}= \sqrt{\frac{1}{T} \left( \frac{400V^2}{3T^2}\cdot \left(\frac{T}{2} \right) ^3 - 0 + \frac{100V^2}{3T^2}\cdot T^3 - \frac{100V^2}{3T^2}\cdot \left( \frac{T}{2} \right)^3 \right) }$

$= \sqrt{\frac{1}{T} \left( \frac{400V^2}{3T^2}\cdot \frac{T^3}{8} -0 + \frac{100V^2}{3T^2}\cdot T^3 - \frac{100V^2}{3T^2}\cdot \frac{T^3}{8} \right)}$

Nun können die einzelnen Brüche multipliziert und T gekürzt werden:

$U_{eff}= \sqrt{\frac{1}{T} \left( \frac{400V^2 T}{24} -0 + \frac{100V^2 T}{3} - \frac{100V^2 T}{24}\right) }\\ = \sqrt{ \frac{400V^2 }{24} -0 + \frac{100V^2 }{3} - \frac{100V^2 }{24}}$

Im letzten Schritt können die Brüche einfach addiert werden. Die Einheit des Ergebnisses, in diesem Fall Volt kann als Hinweis für die korrekte Berechnung herangezogen werden.

$U_{eff}= \sqrt{\frac{275}{6}}V =6,77V$

Weitere Anwendungen des Effektivwerts

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Der Effektivwert ist eine zentrale Größe in der Elektrotechnik. Mit ihm kannst du zum Beispiel die Scheinleistung berechnen. Das ist die Leistung, die eine Quelle einem Verbraucher zu Verfügung stellen muss. Du berechnest sie aus dem Produkt der Effektivwerte von elektrischer Spannung und Stromstärke $S = U \cdot I$ .

In unserem Beitrag zur Schein-, Blind- und Wirkleistung erfährst du mehr darüber, was sie ausmacht und wie genau du sie berechnest!

Zum Video: Scheinleistung, Wirkleistung, Blindleistung

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