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Schwingkreis

Was ist der Schwingkreis und wie funktioniert er? Das und alles weitere Wichtige zu seinen Vorgängen erfährst du hier und im Video !

Inhaltsübersicht

Schwingkreis einfach erklärt

Der Schwingkreis ist ein geschlossener Schaltkreis mit einem Kondensator und einer Spule. Durch das Anlegen einer Spannung entstehen in ihm periodische elektromagnetische Schwingungen. Bei ihnen kommt es zu ständigen Wechseln von elektrischer Feldenergie beim Kondensator zu magnetischer Feldenergie beim Magnetfeld der Spule und wieder zurück.

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Theoretisch kann dieser Prozess unendlich lang ablaufen und jedes Mal wechselt die Polarität des Kondensators.

Übrigens: Aufgrund der Induktivität L der Spule und der Kapazität C des Kondensators kannst du den Schwingkreis auch LC Schwingkreis nennen.

Schwingkreis Anwendung

Schwingkreise finden häufig Anwendung als Filterschaltungen. Sie verstärken oder unterdrücken bestimmte Frequenzen in einem Signal. Das kann beispielsweise bei der Filterung von Störsignalen eine Rolle spielen. Letztlich empfangen oder senden Antennen, Radios, Fernseher und viele weitere Geräte auch nur periodische Schwingungssignale von elektromagnetischen Schwingkreisen.

Vorgänge im Schwingkreis

Der elektrische Schwingkreis läuft in vier Schritten ab:

Spannung am Kondensator: Ladungsungleichgewicht zwischen den Kondensatorplatten
Vorgänge an der Spule: Entladevorgang und Abbau eines Magnetfelds
Polarität wird getauscht: Plus-Pol und Minus-Pol des Kondensators wechseln
Prozess wiederholt sich: Die ersten drei Schritte treten erneut auf

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Vorgänge im Schwingkreis

Bei jedem dieser Schritte verändert sich, in welcher Form die Energie im Stromkreis vorliegt.

Spannung am Kondensator

Im ersten Schritt wird der geschlossene Stromkreis und somit auch der Kondensator unter Spannung gesetzt. Es herrscht ein Ungleichgewicht der Ladungen.

Die gesamte Energie des geschlossenen Stromkreises liegt beim elektrischen Feld zwischen den Kondensatorplatten vor: W_C= max, W_L= 0

Vorgänge an der Spule

Nach dem Aufladen des Kondensators startet der Entladevorgang. Elektronen fließen vom Minus-Pol zum Plus-Pol der Platte, um das Ladungsungleichgewicht zu beseitigen. Bewegte Ladungen erzeugen Magnetfelder.

Durchlaufen die Elektronen jetzt die Spule, wird dieses Magnetfeld durch die Windungen der Spule erhöht. Es wird immer stärker, je mehr Strom durch die Spule fließt und umso schwächer die Spannung des Kondensators wird.

Nach einer gewissen Zeit fließt der Strom normalerweise vollkommen durch die Spule und es herrscht keine Spannung mehr. Das Magnetfeld baut sich ab. Jedoch erzeugt die Spule einen Induktionsstrom, der weiterhin fließt und diesen Abbau verlangsamt. Das ist eine Wirkung der Selbstinduktion .

Die ganze Energie des geschlossenen Stromkreises liegt bei der Spule in Form des magnetischen Feldes vor: W_C= 0, W_L= max

Polarität wird getauscht

Nach der Lenzschen Regel ist der entstehende Induktionsstrom der Ursache seiner Entstehung entgegengesetzt. Die Ursache der Entstehung ist das abnehmende Magnetfeld. Der Induktionsstrom läuft also in die Richtung des ursprünglichen Stroms und lädt die vorher positiv geladene Kondensatorplatte negativ auf.

Prozess wiederholt sich

Jetzt herrscht zwischen den Kondensatorplatten wieder ein Ladungsungleichgewicht und der Prozess beginnt von vorne. Bei jedem Ablauf ändert sich die Polarität der Kondensatorplatten.

Spannungs- und Stromverlauf

Die Änderung der Energieformen passiert beim Schwingkreis kontinuierlich. Die E-Feld-Energie ist höher, wenn die B-Feld-Energie gering ist und umgekehrt genauso. Hierbei ist das elektrische Feld von der Spannung abhängig und das magnetische Feld von dem Induktionsstrom, weshalb du diesen Verlauf auch bei diesen Größen beobachten kannst.

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Der Verlauf stellt bei der Spannung U(t) eine Kosinus-Kurve und bei dem Induktionsstrom I(t) eine Sinus-Kurve dar.

Dabei ist der Wert der Stromstärke immer dann maximal, wenn die Spannung einen Nullpunkt erreicht. Hingegen kommt die Spannung bei ihrem Maximum an, wenn die Stromstärke einen Nullpunkt aufweist.

Elektromagnetischer Schwingkreis ungedämpft

Beim ungedämpften elektromagnetischen Schwingkreis findet der Prozess unendlich oft statt. Er sendet kontinuierlich elektromagnetische Schwingungen bzw. Wellen aus. Die Schwingungen selbst sind dann ungedämpft.

Wenn kein Widerstand die Schwingung mindert, bleibt die Dauer für jeden Ablauf unverändert. Diese Zeit wird durch die Schwingungsdauer der ausgesendeten elektromagnetischen Wellen beschrieben. Im elektrischen Schwingkreis ist das die Zeit vom Aufladen des Kondensators von einer Polarität zur umgekehrten Polarität.

Ohne Widerstand ist die Schwingungsdauer nur von der Kapazität C des Kondensators und der Spulen-Induktivität L abhängig. Sie lässt sich mit der Thomson’schen Schwingungsgleichung berechnen:

$T = 2\pi \sqrt {L \cdot C}$

Übrigens: Die Frequenz stellt nichts anderes als den Kehrwert der Schwingungsdauer dar. Deshalb lautet die Formel für die Schwingkreis Frequenz:

$f_\mathrm{0} = \frac {1}{2\pi \sqrt {L \cdot C}}$

Herleitung der Schwingungsgleichung

Mit dem Ansatz der Kirchhoff’schen Maschenregel lässt sich die Thomson’sche Schwingungsgleichung herleiten:

Die Regel kommt aus der Energieerhaltung und besagt, dass die Teilspannungen in einem geschlossenen Schaltkreis zusammen die Gesamtspannung ergeben.

$U_\mathrm{ges} = U_1 + U_2 + U_3 + ... + U_\mathrm{n}$

Gleichzeitig ist die Summe aller Spannungen unter Beachtung der Vorzeichen gleich 0.

$0 = U_1 + U_2 + U_3 + ... + U_\mathrm{n}$

In dem elektromagnetischen Schwingkreis existieren die Teilspannungen U_Cdes Kondensators und U_L der Spule .

$0 = U_\mathrm{C}+U_\mathrm{L}$

Die Formeln dieser Spannungen sind:

$U_\mathrm{C} = \frac{Q(t)}{C}$

$U_\mathrm{L} = L \cdot \dot I(t)$

Die Stromstärke ist die zeitliche Veränderung von Ladungen, die einen Leiter durchfließen.

$I(t) = \dot Q(t)$

$\longrightarrow U_\mathrm{L} = L \cdot \dot I(t) = L \cdot \ddot Q(t)$

Mit den Ableitungen der Ladung ergibt sich der Ansatz:

$\frac{Q(t)}{C} + L \cdot \ddot Q(t) = 0$

Wenn du die Gleichung durch L teilst und die beiden Summanden tauschst, kommt Folgendes heraus:

$\ddot Q(t) + \frac{1}{L\cdot C} \cdot Q(t)\ = 0$

Um die Schwingkreis Differentialgleichung zu lösen, hilft folgender Ansatz:

$Q(t) = \hat Q \cdot \cos(\omega_0 \cdot t)$

Diese Formel setzt du ein. Je nachdem, ob ein Punkt über dem Q steht, leitest du sie ab. Jetzt musst du nur noch nach ω₀ auflösen:

$\omega_0 = \sqrt{\frac{1}{L \cdot C} }$

Für die Schwingungsdauer T gilt allgemein:

$T = \frac{2\pi}{\omega}$

Im konkreten Beispiel der Schwingungsgleichung ergibt sich dann:

$T = \frac{2\pi}{\sqrt {\frac{1}{L \cdot C}} } = 2\pi \cdot \sqrt{L \cdot C} \left \quad \textbf{Thomsonsche Schwingungsgleichung} \right$

Übrigens: Physiker benutzen für die Ableitung einen Punkt über der Variable. Damit drücken Physiker auch gleichzeitig aus, dass nach der Zeit abgeleitet wird. Hingegen schreiben Mathematiker häufig einen Strich oben rechts neben der Variable.

Elektromagnetischer Schwingkreis gedämpft

In der Praxis ist der elektromagnetische Schwingkreis meist gedämpft. Das liegt an den verschiedenen Widerständen der Bauteile. Das Kabel und die Spule des Stromkreises haben beispielsweise ihre eigenen Widerstände und schwächen die Schwingungen bei jedem Durchlauf.

Die Differentialgleichung des gedämpften elektromagnetischen Schwingkreises lautet:

$\frac{Q(t)}{C} + L \cdot \ddot Q(t) + R \cdot \dot Q(t) = 0$

Für die Schwingungsdauer T ergibt sich nach dem Lösen der Schwingkreis Differentialgleichung:

$T = \frac{2\cdot \pi}{ \sqrt{ \frac {1}{L \cdot C} - \frac{R^2}{4 \cdot L^2} } }$

Schwingkreis — Vergleich zum Federpendel

Der Schwingkreis weist einige Ähnlichkeiten zum Federpendel auf.

federpendel — Federpendel

Beim Entspannen einer Feder des ausgelenkten Federpendels in den Ruhezustand wird ebenfalls eine Differentialgleichung gelöst. Mit ihr erhältst du die Schwingungsdauer des Federpendels:

$D \cdot x + m \cdot \ddot x + k \cdot \dot x = 0$

Schau dir nun die Schwingkreis-Gleichung beim Entladungsvorgang im Vergleich an:

$\frac{Q}{C} + L \cdot \ddot Q + R \cdot \dot Q\ = 0$

Beide Vorgänge unterliegen der Energieerhaltung, weshalb die Summe im System 0 sein muss. Darüber hinaus gibt es für jede Größe im Federpendel eine analoge Größe im elektrischen Schwingkreis:

Mechanik (Federpendel)	Elektrik (Schwingkreis)
Äußere Kraft F_a	Kondensatorspannung U(t)
Auslenkung x	Ladung Q
Geschwindigkeit v	Strom I
Federhärte D	Kehrwert der Kapazität 1/C
Masse m	Spulen-Induktivität L
Reibung mit Reibungskonstante k	Widerstand R

Zusätzlich lassen sich beide Gleichungen mit dem Kosinus lösen. Bei der Feder lautet der Lösungsansatz dann:

$x(t)=\hat x \cdot \cos \left( \omega _0 \cdot t\right)$

Beim Schwingkreis lautet der Ansatz wiederum:

$Q(t) = \hat Q \cdot \cos \left( \omega _0 \cdot t \right)$

Bei diesen Differentialgleichungen gilt der Merkspruch „the same equations, the same solutions”. Unter Beachtung der analogen Größen ist die Lösung der Gleichung nahezu gleich.

Gut zu wissen: Auch bei der Feder gibt es Widerstände, welche die Schwingung dämpfen. Dazu gehört beispielsweise die Reibung der Räder auf dem Boden oder die Reibung der Luft. Somit gibt es bei der Feder ebenfalls eine gedämpfte und eine ungedämpfte Schwingungsform.

Offene und geschlossene Schwingkreise

Es gibt offene und geschlossene Schwingkreise, welche unterschiedlich strukturiert sind. Stell dir vor, dass du die Kondensatorplatten im geschlossenen Schwingkreis wie eine Ziehharmonika auseinanderziehen würdest.

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Das Ergebnis ist ein offener Schwingkreis.

Sowohl der offene als auch der geschlossene Schwingkreis erzeugt elektromagnetische Schwingungen. Der offene Schwingkreis kann diese Schwingungen allerdings lediglich senden, während der geschlossene Schwingkreis sie senden und empfangen kann.

Übrigens: Ein offener elektrischer Schwingkreis mit nur einer Spulenwindung und minimaler Fläche der Kondensatorplatten nennst du Hertzscher Dipol.

Schwingkreis — häufigste Fragen

Wie lautet die Schwingkreis Erklärung?
Der Schwingkreis speichert am Anfang elektrische Energie in Form der Spannung zwischen den zwei Kondensatorplatten im geschlossenen Stromkreis. Darauf fließt der Strom durch eine Spule und baut ein Magnetfeld auf. Hierbei baut sich das elektrische Feld langsam ab, während das Magnetfeld und die magnetische Energie ihr Maximum erreichen.
Was ist die Schwingkreis Frequenz?
Die Frequenz, mit der die Schaltung des Schwingkreises ohne äußere Einflüsse schwingt, wird als Eigenfrequenz f₀ beziehungsweise Eigenkreisfrequenz bezeichnet. Sie ist charakteristisch für jeden Schwingkreis und ist von der Kapazität und Induktivität abhängig.
Wie lautet die Schwingkreis Formel?
Als Schwingkreis Formel wird häufig die Differentialgleichung des gedämpften Schwingkreises verwendet: L ⋅ Q ¨ + Q C + R ⋅ Q ˙ = 0. Hierbei ist die Schwingung durch die Widerstände der Bauteile gedämpft.

Quiz zum Thema Schwingkreis

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