Chemie Grundlagen

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Physikalische Chemie

Stöchiometrie

In diesem Beitrag zeigen wir dir, was du unter der Stöchiometrie in der Chemie verstehen kannst und wie du sie anhand von Aufgaben berechnen kannst.

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Inhaltsübersicht

Stöchiometrie einfach erklärt

Du kannst dir die Stöchiometrie als ein mathematisches Hilfsmittel in der Chemie vorstellen. Ihr Ziel ist vor allem, die Mengenverhältnisse und Stoffmengen an Ausgangsstoffen und Produkten während einer Reaktion zu bestimmen.

Außerdem kannst du mit der Stöchiometrie mehrere Informationen über das Verhältnis von Edukten und Produkten herausfinden. Die wichtigsten dieser Informationen sind der Umsatz, die Ausbeute und die Selektivität.

Definition

Die Stöchiometrie ist ein mathematisches Hilfsmittel in der Chemie. Ihr Name setzt sich aus dem griechischen stoicheion („Grundstoff“) und metron („Maß“) zusammen.

Stöchiometrie in der Chemie

Die Stöchiometrie ist ein grundlegendes mathematisches Hilfsmittel in der Chemie. Durch sie kannst du die Zusammensetzung chemischer Verbindungen und Mischungen berechnen.
Außerdem erhältst du Informationen über die Volumen-, Massen und Ladungsverhältnisse aller beteiligten Reaktionspartner.

Der Grundbegriff der Stöchiometrie trat zum ersten Mal im Jahr 1792 auf. In seinem Werk „Anfangsgründe der Stöchiometrie“ definierte der deutsche Chemiker Jeremias Benjamin Richter verschiedene Gesetze zur geometrischen und rechnerischen Beschreibung chemischer Reaktionen. Er war damit eine der ersten und bedeutendsten Personen, welche die Chemie mit der Mathematik kombinierte.

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Prinzip der Stöchiometrie

Das Ziel einer stöchiometrischen Rechnung kann einerseits sein, Informationen über die Edukte bei bekannten Produkten herauszufinden. Das kann zum Beispiel die Stoffmenge n, oder die Masse m sein. Wenn du die Menge an Edukten bereits kennst, kannst du daraus Informationen über die Produkte berechnen.

Heute beruhen die Berechnungsgrundlagen der modernen Stöchiometrie auf verschiedenen Gesetzen:

  • Gesetz der konstanten Proportionen: Die Elemente in einer chemischen Verbindung kommen immer im gleichen Masseverhältnis vor. (Bsp: Natriumchlorid (NaCl) besteht immer zu 39% aus Natrium (Na) und zu 61% aus Chlor (Cl))
  • Gesetz der Erhaltung der Anzahl der Atome: Die Anzahl der Atome ändert sich innerhalb der Reaktion nicht.
  • Gesetz der Erhaltung der Masse: Die Gesamtmasse der beteiligten Stoffe ändert sich nicht.
  • Gesetz der Erhaltung der Ladung: Die Ladung innerhalb der Reaktion bleibt erhalten.

Nachfolgend betrachten wir eine anschauliche stöchiometrische Berechnung und eine eher mathematische stöchiometrische Berechnung mit Gleichungssystemen.

Anschauliche stöchiometrische Berechnung

Wenn du eine verhältnismäßig simple Reaktionsgleichung vorliegen hast, kannst du die Stöchiometrie relativ einfach anwenden.

Schauen wir uns dazu eine Aufgabe an, die häufig gestellt wird:

10 g Methan (CH_4) reagieren unter einer Verbrennung zu Kohlenstoffdioxid (CO_2) und Wasser (H_2 O). Wie viel Kohlenstoffdioxid und Wasser entstehen dabei?

Reaktionsgleichung aufstellen

Zuerst musst du die Reaktionsgleichung aufstellen. Sie lautet:

CH4 + O2 \longrightarrow CO2 + H2O

Wie du bestimmt schon siehst, ist die Gleichung noch nicht ausgeglichen. Für die exakte stöchiometrische Umsetzung setzt du nun vor O_2 und H_2 O eine 2. (Unter dem Absatz „Stöchiometrische Berechnung mit Gleichungssystemen“ findest du eine Methode, um kompliziertere Ausgleichsrechnungen auszuführen)

CH4 + 2O2 \longrightarrow CO2 + 2H2O

Nun hast du auf der Edukt- und der Produktseite exakt ein C-Atom, vier H-Atome und vier O-Atome.

Molare Masse bestimmen

Als nächstes bestimmst du die Molare Masse M der beteiligten Moleküle.
Diese kannst du für die einzelnen Atome ganz einfach im Periodensystem ablesen. Wasserstoff (H) hat zum Beispiel eine molare Masse von 1 \frac {g}{mol}.

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Die einzelnen Molaren Massen M für die Moleküle in unserer Beispielreaktion berechnen sich wie folgt:

M(CH_4)  = M(C) + 4 \cdot M(H) = 12 \frac {g}{mol} + 4 \cdot 1 \frac {g}{mol} = 16 \frac {g}{mol}

2 M(O_2) = 2 \cdot 2 \cdot M(O) = 2 \cdot (2 \cdot 16 \frac {g}{mol}) = 64 \frac {g}{mol}

M(CO_2) = M(C) \cdot 2 \cdot M(O) = 12 \frac {g}{mol} + 2 \cdot 16 \frac {g}{mol} = 44 \frac {g}{mol}

2 M(H_2 O) = 2 \cdot (2 \cdot M(H) + M(O)) = 2 \cdot (2 \cdot 1 \frac {g}{mol} + 16 \frac {g}{mol}) = 36 \frac {g}{mol}

Berechnung der Masse

Im dritten Schritt berechnen wir die Masse m von Kohlenstoffdioxid und Wasser. Diese Berechnung beruht auf dem Gesetz der konstanten Proportionen.

Um die Masse m von CO2 zu erhalten, kannst du folgende Gleichung verwenden:

m (CO_2): \frac {M(CO_2)}{M(CH_4)} = \frac {44 \frac {g}{mol}}{16 \frac {g}{mol}} = \frac {x}{10 g}

Das x in dieser Gleichung ist die Masse des CO_2. Nun stellst du diese Gleichung nach x um und erhältst:

m (CO_2): x =  \frac {44 \frac {g}{mol}}{16 \frac {g}{mol}} \cdot 10g = 27,5 g

Die Masse m von CO_2 beträgt also 27,5 g.

Für die Masse von H_2 O kannst du die selbe Gleichung verwenden:

m (H_2 O): \frac {2M( H_2O)}{M(CH_4)} = \frac {36 \frac {g}{mol}}{16 \frac {g}{mol}} = \frac {x}{10 g}

Nun stellst du die Gleichung wieder nach x um und erhältst:

m (H_2 O): x = \frac {36 \frac {g}{mol}}{16 \frac {g}{mol}} \cdot 10g = 22,5 g

Die Masse m von H_2 O beträgt 22,5 g.

Durch die Formel n = \frac {m}{M} kannst du nun auch die Stoffmenge der Produkte berechnen (für die Stoffmenge von H_2 O benötigen wir die Molare Masse M eines Moleküls, d.h. 18 \frac {g}{mol}):

n(CO_2) = \frac {27,5 g}{44 \frac {g}{mol}} = 0,625 mol

n (H_2 O) = \frac {22,5 g}{18\frac {g}{mol}} = 1,25 mol

Aus diesen Ergebnissen kannst du schließen, dass du für 10 g eingesetztes Methan 27,5 g Kohlenstoffdioxid und 22,5 g Wasser erhältst.

Stöchiometrische Berechnung mit Gleichungssystemen

Die meisten simplen Reaktionsgleichungen kannst du ohne Probleme relativ einfach ausgleichen. Bei etwas komplexeren Reaktionsgleichungen kannst du ein sogenanntes lineares Gleichungssystem (LGS) verwenden.

Lineares Gleichungssystem

Durch ein solches LGS kannst du mithilfe mehrerer linearer Gleichungen (= keine Potenzen, reelle Zahlen, …) unbekannte Variablen bestimmen.

Betrachten wir dazu die Reaktionsgleichung der sogenannten Photosynthese . Bei ihr reagiert Kohlenstoffdioxid (CO_2) mit Wasser (H_2 O) zu Glucose (C_6 H_{12} O_6) und Sauerstoff (O_2):

x_1 CO_2 + x_2 H_2 O \longrightarrow x_3 C_6 H_12 O_6 + x_4 O_2

Da wir die stöchiometrischen Koeffizienten noch nicht kennen, ersetzen wir diese mit x_1, x_2, x_3 und x_4.

Bilanzgleichung

Nun stellst du eine sogenannte Bilanzgleichung auf. Hierzu multiplizierst du für alle Elemente die stöchiometrischen Koeffizienten mit der Anzahl des jeweiligen Elements im Molekül und summierst diese auf. Das C-Atom kommt beispielsweise ein mal im CO_2 mit Koeffizient x_1 und sechs mal im C_6 H_12 O_6 mit Koeffizient x_3 vor:

C: x_1 = 6 x_3

Für die beiden anderen beteiligten Elemente sieht das dann wie folgt aus:

O: 2x_1 + x_2 = 6 x_3 + 2 x_4

H: 2 x_2 = 12 x_3

Da nun vier Unbekannte x_1, ..., x_4 und nur drei Gleichungen vorhanden sind, kannst du das LGS nur mithilfe zweier Nebenbedingungen lösen.

  1. Die Lösungsmenge der Koeffizienten ist ganzzahlig und natürlich.
  2. Der kleinste ganzzahlige Wert für diese Koeffizienten muss gesucht werden.

Durch diese Nebenbedingungen ist es dir erlaubt, eine Variable festzulegen. Der Einfachheit halber wählen wir x_1 = 1.

Für x_3 erhältst du: x_1 = 6 x_3 \Rightarrow x_3 = \frac {1}{6}.

x_2 ergibt sich aus: 2 x_2 = 12 x_3 \Rightarrow x_2 = 1.

Somit kannst du nun x_4 berechnen mit: 2x_1 + x_2 = 6 x_3 + 2 x_4 \Rightarrow x_4 = 1

Da x_3 keine gerade Zahl ist, musst du alle Koeffizienten mit dem Nenner von x_3 (= 6) multiplizieren.

Du erhältst für die stöchiometrischen Koeffizienten:

x_1 = 6
x_2 = 6
x_3 = 1
x_4 = 6

Eingesetzt in die allgemeine Gleichung ergibt sich das Ergebnis:

6 CO_2 + 6 H_2 O \longrightarrow C_6 H_{12} O_6 + 6 O_2

Stöchiometrie Formeln

Neben den bisher genannten Methoden zur stöchiometrischen Berechnung und der Berechnung durch ein Gleichungssystem kannst du mehrere Formeln verwenden, um weitere stöchiometrische Zusammenhänge herauszufinden.

Stöchiometrische Bilanz

Die sogenannte stöchiometrische Bilanz erlaubt es dir, chemische Reaktionen allgemein zu beschreiben:

|\nu_1|A_1 + |\nu_2|A_2 = |\nu_3|A_3 + |\nu_4|A_4

Die Variable \nu_i (hier: \nu_1, \nu_2, \nu_3, \nu_4}) gibt die stöchiometrischen Koeffizienten (= Verhältniszahlen) innerhalb der Reaktionsgleichung an. A_1 und A_2 sind die Edukte und A_3 und A_4 die Produkte.

Hierbei musst du beachten, dass du für eine Reaktion jeweils unterschiedliche Koeffizienten aufstellen kannst:

2Na + Cl_2 \longrightarrow 2NaCl oder Na + \frac {1}{2}Cl_2 \longrightarrow NaCl

Deshalb existieren für die Bilanzierung einige Regeln:

  1. Edukte erhalten immer einen negativen Koeffizienten
  2. Produkte erhalten immer einen positiven Koeffizienten
  3. Begleitstoffe wie z.B. Katalysatoren erhalten den Koeffizienten 0
  4. Für die Koeffizienten wird immer die kleinste ganze Zahl gewählt

Mit diesen Regeln kannst du die stöchiometrische Bilanz gut aufstellen. Wenn du die Koeffizienten der Edukte betrachtest, erkennst du, in welchem Verhältnis sich die Stoffmengenanteile n_i der Edukte verändern. Unter einem Stoffmengenanteil n_i kannst du dir die Stoffmenge einer Reaktionskomponente i (hier z.B. von Na) in einer Reaktion bezogen auf die gesamte Stoffmenge aller Reaktionskomponenten (hier: Na, Cl_2 und NaCl).

Für die beliebigen Edukte i und k ergibt sich die Bilanz als:

\frac {n_{i,0}-n_i}{-\nu_i} = \frac{n_{k,0}-n_k}{-\nu_k}

n_i,0 steht für den eingesetzen Stoffmengenanteil der Komponente i vor der Reaktion. n_i ist dann die noch vorhandene Restmenge der Komponente i nach der Reaktion.

Durch Umformung erhältst du folgende Form:

\frac{n_{i,0}-n_i}{n_{k,0}-n_k} = \frac{\nu_i}{\nu_k}

Diese Form steht für einen sogenannten diskontinuerlichen Prozess, auch Satzbetrieb genannt. In der Chemie kannst du darunter eine Reaktion verstehen, die nicht durchgehend abläuft.

Die Form für einen kontinuierlichen Prozess (= Fließbetrieb) sieht wie folgt aus:

\frac{\dot{n}_{i,0}-\dot{n}_i}{\dot{n}_{k,0}-\dot{n}_k} = \frac{\nu_i}{\nu_k}

Wie du siehst verwenden wir hier die zeitliche Ableitung {\dot n}={dn \over dt}.

Umsatz

Unter dem Umsatz X_i kannst du dir einen Begriff vorstellen, der beschreibt, welche Stoffmenge der Edukte bei einer Reaktion reagiert. Der Umsatz ist also der Anteil der umgesetzten Menge n_i der Komponente i bezogen auf die eingesetzte Menge n_{i,0}.:

X_i = \frac{n_{i,0} - n_i}{n_{i,0}}

Wenn die Reaktion mehrere Edukte enthält, wird der Umsatz immer für den Stoff angegeben, der nicht im Überschuss vorliegt.

Hierzu ein kurzes Beispiel:

A + B \longrightarrow C

Du fügst bei obiger ablaufender Reaktion 100 Teile des Stoffes „A“ und 200 Teile des Stoffes „B“ zu. Da Stoff „A“ nicht im Überschuss vorliegt (100<200), betrachtest du dessen Umsatz.

Wenn nun nach der Reaktion 70 Teile von „A“, 160 Teile von „B“ und 70 Teile von „C“ vorliegen, beträgt der Umsatz 0,3, also 30%.

X_A = \frac{n_{A,0} - n_A}{n_{A,0}} = \frac{100-70}{100} = 0,3

Ausbeute

Die Ausbeute Y gibt dir den Teil des Eduktes an, welches in das gewünschte Produkt P umgewandelt wurde.

Bei einem diskontinuierlichen Prozess gilt:

Y_{P}={n_{P}-n_{{P,0}} \over n_{{k,0}}}\cdot {\left|\nu_{k}\right| \over \nu_{P}} 

n_k bezeichnet hierbei die Stoffmenge des Eduktes, das nicht im Überschuss vorliegt.

Bei einem kontinuierlichen Prozess verwendest du wieder die zeitliche Ableitung:

Y_{P}={{\dot n}_{P}-{\dot n}_{{P,0}} \over {\dot n}_{{k,0}}}\cdot {\left|\nu_{k}\right| \over \nu_{P}}

Wenn mehrere Edukte vorhanden sind, beziehst du die Ausbeute auf den Stoff, der nicht im Überschuss vorliegt.

Dies kannst du an unserem Beispiel einfach berechnen:

A + B \longrightarrow C

Bei 100 Teilen „A“ und 200 Teilen „B“ wählst du wieder A aus. Bei 70 Teilen von „C“ nach der Reaktion erhältst du eine Ausbeute von 0,7 also 70%.

Y_C = \frac{n_C - n_{C,0}}{n_{A,0}} \cdot \frac{\nu_A}{\nu_C} = \frac{70-0}{100} \cdot \frac{1}{1} = 0,7

Selektivität

Die Selektivität S kombiniert den Umsatz X_i und die Ausbeute Y_i. Sie gibt also an, welcher Anteil des umgesetzten Eduktes unter Berücksichtigung der Stöchiometrie in das gewünschte Produkt umgesetzt wurde.

S = \frac{gebildete\ Menge\ Zeilprodukt}{umgesetzte\ Menge\ Reaktant} = {(n_{p}-n_{{p,0}})\cdot \left|v_{k}\right| \over (n_{{k,0}}-n_{k})\cdot v_{p}}={Y_{p} \over X_{i}}

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