Warum darf ich 1/x als x⁻¹ umschreiben, obwohl das ein Bruch ist?

Du darfst als schreiben, weil negative Exponenten genau Kehrwerte bedeuten. Die Potenzregel sagt: für . Deshalb sind Bruchschreibweise und Potenzschreibweise zwei gleichwertige Darstellungen derselben Funktion.

Welche Ableitungsregel nehme ich, wenn im Nenner nicht nur x steht, sondern zum Beispiel x² oder x⁵?

Du nutzt die Potenzregel, indem du den Bruch als negative Potenz schreibst. Konkret gilt und , dann ableiten mit . Ergebnis: .

Wie leite ich 1/(x + 3) ab, ohne die Regel falsch anzuwenden?

Du leitest ab, indem du es als schreibst und die Kettenregel nutzt. Außen ableiten gibt , innen ableiten gibt . Zusammen: .

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Ableitung 1/x

Wichtige Inhalte in diesem Video

Ableitung 1/x berechnen

(00:13)

Höhere Ableitungen von 1/x

(01:16)

Allgemeine Regel

(02:19)

Ableitungen können manchmal ganz schön kompliziert sein. Wie du die Ableitung von 1/x aber ganz schnell berechnest, erfährst du im Video und hier!

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Inhaltsübersicht

Ableitung 1/x berechnen

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(00:13)

Wenn du die Funktion $f(x)=\frac{1}{x}$ gegeben hast, dann ist die Ableitung der Funktion 1/x:

$f'(x)=-\frac{1}{x^2}$

Auf die Lösung kommst du dabei mit diesem Rechenweg:

Schritt 1 – Funktion umformen: Zuerst kannst du 1/x umschreiben. Das ist nämlich nichts anderes als x^-1. Damit kannst du jetzt leichter ableiten.

Schritt 2 – Funktion ableiten: Die allgemeine Regel für das Ableiten lautet wie folgt:

$f(x)=x^a \quad\quad\quad f'(x)=a \cdot x^{a-1}$

Die Regel kannst du jetzt auch auf x^-1 anwenden. Du schreibst also die -1 vor das x. Danach ziehst du vom Exponenten noch 1 ab:

$f(x)=x^{-1} \quad\quad\quad f'(x)=(-1) \cdot x^{-1-1}=-x^{-2}$

Schritt 3 – Funktion mit Bruch schreiben: Wenn du die Ableitung von 1/x dann wieder als Bruch schreibst, kommst du auf:

$f'(x)=-\frac{1}{x^2}$

Und schon hast du die Ableitung von 1/x!

Höhere Ableitungen von 1/x

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(01:16)

Jetzt kannst du dir als nächstes höhere Ableitungen von 1/x ansehen. Schau dir mal die zweite Ableitung an. Dafür musst du $f'(x)&=-\frac{1}{x^2}$ nochmal ableiten:

Schritt 1 – Funktion umformen: Schreibe auch hier die Funktion zunächst ohne Bruch:

f'(x) = -x^-2

Schritt 2 – Funktion ableiten: Dann schiebst du den Exponenten wieder davor und ziehst vom Exponenten 1 ab:

$f''(x)=-(-2) \cdot x^{-2-1}=2 \cdot x^{-3}=\frac{2}{x^3}$

Schritt 3 – Funktion mit Bruch schreiben: Schließlich kannst du die Formel wieder umschreiben.

$f''(x)=2 \cdot x^{-3}=\frac{2}{x^3}$

Damit hast du die zweite Ableitung von 1/x. Auch weitere Ableitungen kannst du mit denselben Regeln berechnen.

Studyflix vernetzt: Hier ein Video aus einem anderen Bereich

Allgemeine Regel

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(02:19)

Es kann vorkommen, dass du nicht einfach nur 1 durch x ableiten musst. Es können auch andere Zahlen oben im Zähler des Bruchs stehen. Der Rechenweg bleibt dabei allerdings gleich.

Merke: Allgemein kannst du dir daher die Formel $f(x)=\frac{a}{x}$ merken.

Die kannst du immer in $f(x)=a \cdot x^{-1}$ umformen und dann ableiten. Du ersetzt a dann durch die Zahl oder den Term, der bei dir oben im Zähler steht.

$\begin{split}f(x)&=\frac{17}{x}=17 \cdot x^{-1} \\ f'(x)&=-1 \cdot 17 \cdot x^{-1-1}=-17 \cdot x^{-2}=-\frac{17}{x^2}\end{split}$$

Ableitung 1/x — häufigste Fragen

(ausklappen)

Warum darf ich 1/x als x⁻¹ umschreiben, obwohl das ein Bruch ist?

Du darfst $\frac{1}{x}$ als $x^{-1}$ schreiben, weil negative Exponenten genau Kehrwerte bedeuten. Die Potenzregel sagt: $x^{-n}=\frac{1}{x^n}$ für $x \neq 0$ . Deshalb sind Bruchschreibweise und Potenzschreibweise zwei gleichwertige Darstellungen derselben Funktion.
Welche Ableitungsregel nehme ich, wenn im Nenner nicht nur x steht, sondern zum Beispiel x² oder x⁵?

Du nutzt die Potenzregel, indem du den Bruch als negative Potenz schreibst. Konkret gilt $\frac{1}{x^2}=x^{-2}$ und $\frac{1}{x^5}=x^{-5}$ , dann ableiten mit $x^a \rightarrow a \cdot x^{a-1}$ . Ergebnis: $\left(\frac{1}{x^2}\right)'=-\frac{2}{x^3}$ .
Wie leite ich 1/(x + 3) ab, ohne die Regel falsch anzuwenden?

Du leitest $\frac{1}{x+3}$ ab, indem du es als $(x+3)^{-1}$ schreibst und die Kettenregel nutzt. Außen ableiten gibt $-1 \cdot (x+3)^{-2}$ , innen ableiten gibt . Zusammen: $-\frac{1}{(x+3)^2}$ .

Zusammenfassung

Ableitung 1/x — das Wichtigste

Die Ableitung von 1 durch x ist −1/x².
Das berechnest du, indem du 1/x umschreibst zu x^-1.
Davon bildest du die Ableitung, indem du den Exponenten vor das x ziehst und oben minus 1 rechnest.
Heraus kommt −1x^-2, was umgeformt −1/x² ist.

Neben der Ableitung 1/x können dir noch weitere Funktionen über den Weg laufen, die nicht ganz so einfach abzuleiten sind. Die Ableitung bestimmter Funktionen zeigen wir dir hier .