Analysis

y Achsenabschnitt berechnen

In diesem Artikel erklären wir dir, was der y Achsenabschnitt ist und wie du ihn für verschiedene Arten von Funktionen berechnest.

Möchtest du das Thema in kurzer Zeit erklärt bekommen? Dann schau dir unser Video dazu an!

Inhaltsübersicht

y Achsenabschnitt einfach erklärt

Manchmal wird nach dem Schnittpunkt des Funktionsgraphen mit den Achsen gefragt. Dabei wird der Schnittpunkt mit der y Achse als y Achsenabschnitt oder Ordinatenabschnitt bezeichnet.

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Der y Achsenabschnitt einer Funktion

 

Das Besondere am y-Achsenabschnitt ist, dass die x-Koordinate immer 0 ist

y Achsenabschnitt berechnen

Für eine beliebige Funktion f(x) entspricht der y Achsenabschnitt

y_0 = f(0).

Um den y Achsenabschnitt einer Funktion f zu berechnen, setzt du also einfach 0 in f ein.

Beispiel: Die Funktion f(x)=2x+1 hat den y Achsenabschnitt bei f(0)=2 \cdot 0 +1 = 1   \quad \rightarrow y_0=1.

y Achsenabschnit berechnen: Lineare Funktionen

Bei linearen Funktionen f(x)=mx+b liegt der y Achsenabschnitt immer bei

f(0)=m \cdot 0 +b = b.

Aber was machst du, wenn du den y Achsenabschnitt einer Geraden berechnen sollst, wenn du nur zwei Punkte gegeben hast, die auf der Geraden liegen?

Sind (x_1 \vert y_1) und (x_2 \vert y_2) zwei Punkte der linearen Funktion f(x) = mx + y_0, so kannst du die x-Werte beider Punkte in die Funktion einsetzen. Du erhältst dann

y_1 = m \cdot x_1 + y_0

y_2 = m \cdot x_2 + y_0.

Stellst du nun beide Gleichungen nach m um, bekommst du

\frac{y_1 -y_0}{x_1} = m = \frac{y_2 - y_0}{x_2}.

Nun kannst du die Gleichung nach y_0 umstellen und erhältst somit den y Achsenabschnitt

y_0= \frac{x_2 y_1 - x_1 y_2}{x_2 - x_1}.

Beispiel 1

Nehmen wir an, du hast die Punkte A(1 \vert 3,5) und B(3 \vert 4,5) einer linearen Funktion f(x) gegeben. Setzt du die x-Werte der Punkte in die Funktion ein, erhältst du 

3,5 = m \cdot 1 + y_0

4,5 = m \cdot 3 + y_0.

Nun stellst du beide Gleichungen nach m um. Dabei bekommst du

\frac{3,5 - y_0}{1} = m = \frac{4,5 - y_0}{3}.

Jetzt kannst du die Gleichung nach y_0 umstellen und du erhältst mit

y_0 = \frac{3 \cdot 3,5 - 1 \cdot 4,5}{3-1}= 3

den Schnittpunkt der Funktion mit der y Achse.

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Der y Achsenabschnitt der linearen Funktion

Beispiel 2

Hast du nun die lineare Funktion f(x) = -\frac{1}{3}x+1 gegeben, so lässt sich der Ordinatenabschnitt berechnen, indem du x=0 einsetzt

y_0 = f(0) = -\frac{1}{3} \cdot 0 + 1 = 1.

y Achsenabschnitt berechnen: Ganzrationale Funktionen

Ganzrationale Funktionen sind Funktionen der Form 

f(x) = a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_2x^2 + a_1x + a_0.

Willst du von Polynomfunktionen den Ordinatenabschnitt berechnen, so musst du x=0 in die Funktion einsetzen

f(0) = a_{n} \cdot 0^{n} + a_{n-1} \cdot 0^{n-1} + ... + a_2 \cdot 0^2 + a_1 \cdot 0 + a_0 = a_0.

Das heißt, der Ordinatenabschnitt einer Polynomfunktion ist das konstante Glied a_0 den du direkt aus der Funktionsgleichung ablesen kannst.

Hinweis: Das gilt natürlich auch für quadratische Funktionen , denn quadratische Funktionen sind Polynomfunktionen vom Grad 2.

Beispiel

Hast du zum Beispiel die Funktion f(x) = -3x^2 +\frac{3}{2}x+\frac{5}{2} gegeben, so setzt du x=0 ein und erhältst mit

y_0 = f(0) = -3 \cdot 0^2 +\frac{3}{2} \cdot 0 + \frac{5}{2} = \frac{5}{2}

den y Achsenabschnitt der quadratischen Funktion.

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Der y Achsenabschnitt der Funktion f

y Achsenabschnitt berechnen: Gebrochenrationale Funktionen

Bei einer gebrochenrationalen Funktion musst du nichts besonderes beachten. In dem Fall musst du einfach x=0 in die Funktion einsetzen.

Beispiel

Betrachte die Funktion

f(x) = \frac{3x-5}{x^2+\frac{1}{2}x -10}

Setzt du x= 0 in die Funktion ein, so erhältst du als y Achsenabschnitt

y_0 = f(0) = \frac{3 \cdot 0 -5}{0^2+\frac{1}{2} \cdot 0 -10} = \frac{1}{2}.

Achtung: Eine gebrochenrationale Funktion f(x) = \frac{p(x)}{q(x)} muss nicht unbedingt einen Schnittpunkt mit der y Achse haben. Ist der Nenner q(x) = 0 für x=0, dann ist die Funktion für x=0 nicht definiert und hat somit keinen y-Achsenabschnitt.

y Achsenabschnitt berechnen: Exponentialfunktionen

Exponentialfunktionen  sind Abbildungen der Form

f(x) = a \cdot b^x.

Setzt du x = 0 in f ein, so erhältst du 

f(0) = a \cdot b^0

f(0) = a \cdot 1 = a.

Der Ordinatenabschnitt einer Exponentialfunktion ist somit der Parameter a, den du auch direkt aus der Funktionsgleichung ablesen kannst.

Hinweis: Wenn du  b=e setzt, dann hast du eine e Funktion . Hier gilt das Gleiche.

Beispiel

Wenn du die Funktion f(x) = -\frac{1}{6} \cdot 4^x betrachtest, dann siehst du, dass

y_0 = f(0) = -\frac{1}{6} \cdot 4^0 = -\frac{1}{6} \cdot 1 = -\frac{1}{6} 

der Schnittpunkt mit der y Achse ist.

y Achsenabschnitt berechnen: ln Funktionen

Bei der ln Funktion musst du ein bisschen aufpassen. Denn die Definitionsmenge  des natürlichen Logarithmus ist D = ]0; \infty [ und somit ist \ln(x) für x=0 nicht definiert und hat deshalb auch keinen y-Achsenabschnitt.

Ist aber die ln Funktion mit einer anderen Funktion verschachtelt, so ist es möglich, dass die Funktion einen Schnittpunkt mit der y Achse hat.

Beispiel

Du hast folgende Funktion gegeben

f(x) = \ln(3x^2+10).

Setzt du x=0 ein, erhältst du

f(0) = \ln(3 \cdot 0^2 +10) = \ln(10) = 2,3

und somit den y-Achsenabschnitt der Funktion.

x Achsenabschnitt

Im Gegensatz zum y Achsenabschnitt, können bestimmte Funktionen auch einen oder mehrere Schnittpunkte mit der x Achse haben.  Das ist der Punkt, an dem die Funktion f die x-Achse schneidet. Das heißt, du bekommst den x Achsenabschnitt, indem du die Funktion f(x) = 0 setzt und die Nullstellen berechnest .

Wichtige Begriffe der Kurvendiskussion

Bevor wir uns den Aufgaben widmen, geben wir dir an dieser Stelle eine kleine Übersicht wichtiger Begriffe, die du im Zusammenhang mit der Kurvendiskussion beherrschen solltest:

y Achsenabschnitt berechnen: Aufgaben

Widmen wir uns nun ein paar Aufgaben, um das Thema besser zu verstehen.

Aufgabe 1: Ablesen des y Achsenabschnitts

Gebe den y Achsenabschnitt der folgenden Funktionen an, ohne x=0 einzusetzen.

a) f(x) = -5x + 3

b) f(x) = 3x (x - 4)

c) f(x) = 4x^4 +\frac{2}{5}x^3-3x^2+\frac{1}{4}

d) f(x) = (3-\frac{1}{2}x)^3

e) f(x) = -\frac{1}{6} \cdot 5^x

f) f(x) = (3-x)+x(x^2+3)^2

Lösung: Aufgabe 1

a) Hier handelt es sich bei einer linearen Funktion, bei der du den y-Achsenabschnitt direkt ablesen kannst. Du schaust dir dabei an, welcher der Summanden konstant ist.

In dem Fall ist es y_0 = 3.

b) In dem Fall kannst du den Ordinatenabschnitt nicht direkt ablesen. Dafür musst du den Term erst umschreiben

3x(x-4) = 3x^2-12x

Nun hast du eine quadratische Funktion gegeben bei der du den Schnittpunkt mit der y Achse y_0 = 0 direkt ablesen kannst.

c) Die Funktion ist eine ganzrationale Funktion, das heißt du kannst den y Achsenabschnitt y_0 = \frac{1}{4} einfach ablesen.

d) Diesmal kannst du den Ordinatenabschnitt nicht direkt sehen, denn dafür musst du den Term erstmal ausmultiplizieren. Damit ergibt sich

f(x) = -\frac{1}{8}x^3+\frac{9}{4}x^2-13,5x+27.

Nun kannst du den y Achsenabschnitt y_0 = 27 direkt ablesen.

e) Hier hast du eine Exponentialfunktion gegeben bei der du den y Achsenabschnitt y_0 = -\frac{1}{6} schnell ablesen kannst.

f) Nachdem du die Funktion in die ganzrationale Funktion

f(x) = x^5+6x^3+8x+3

umgeformt hast, siehst du sofort den Ordinatenabschnitt y_0 = 3.

Aufgabe 2: y-Achsenabschnitt berechnen

Berechne den y Achsenabschnitt der folgenden Funktionen.

a) f(x) = \frac{4x^2+3x}{3x^3-4x^2+3}

b) f(x) = \ln(5 - 3x^3)

Lösung Aufgabe 2

a) Setze den Wert x=0 in die Funktion f ein und erhalte

f(0) = \frac{4 \cdot 0^2 +3 \cdot 0}{3 \cdot 0^3 -4 \cdot 0^2 +3} = 0

als Schnittpunkt der Funktion mit der y Achse.

b) Wenn du x=0 in die Funktion einsetzt, erhältst du

f(0) = \ln(5-3 \cdot 0^3)= \ln(5) = 1,61

und somit den Ordinatenabschnitt der Funktion.

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