Analysis

Integrationsregeln

Du möchtest alle Integrationsregeln auf einen Blick sehen und verstehen, wann und wie du sie anwendest? Dann bist du hier genau richtig, denn wir erklären es dir einfach und mit vielen Beispielen!

Kurz und knapp haben wir die Integrationsregeln für dich im Video zusammengefasst. Am besten schaust du es dir direkt an!

Inhaltsübersicht

 Integrationsregeln einfach erklärt

Integrationsregeln brauchst du immer, wenn du ein Integral berechnen willst. Integrieren (Aufleiten) kannst du dir als Umkehrung vom Differenzieren (Ableiten) vorstellen. Das besagt der sogenannte HDI, der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.  Integrieren und differenzieren hängt also eng zusammen!

Genauso wie es beim Ableiten verschiedene Regeln, wie z.B. die Produktregel oder die Quotientenregel gibt, musst du also auch beim Integrieren einiges beachten. Immerhin machst du die Ableitungsregeln sozusagen „rückgängig“. Was genau du zu tun hast, erklären wir dir in den nächsten Abschnitten. Ganz am Ende des Artikels findest du in einer übersichtliche Tabelle für die wichtigsten Funktionen, die zugehörigen Stammfunktionen und Ableitungen.

Potenzregel

Die Potenzregel ist die wichtigste der Integrationsregeln. Du wirst sie vermutlich am meisten anwenden, nämlich immer dann, wenn das zu berechnende Integral Potenzfunktionen enthält. Sie besagt

Potenzregel 

\int x^n dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1}+c

c ist hier eine Konstante. Du siehst sofort, dass du wieder f(x) = x^n erhältst, wenn du die rechte Seite der obigen Formel ableitest.

Beispiele:

  • \int 1dx = x+c
  • \int xdx = \frac{1}{2}x^2 +c
  • \int x^2dx = \frac{1}{3}x^3 +c
  • \int x^5dx = \frac{1}{6}x^6 +c

Faktorregel

Die Faktorregel ist eine der einfachsten Integrationsregeln. Du benutzt sie immer, wenn deine Funktion einen konstanten Faktor enthält. Diesen kannst du dann „vor das Integral ziehen“, du klammerst ihn sozusagen aus. Es gilt

Faktorregel  

\int c \cdot f(x) dx= c \cdot \int f(x)dx.

Beispiele:

  • \int 2x^2dx = 2 \cdot \int x^2 dx = \frac{2}{3}x^3 +c
  • \int 4x^3dx = 4 \cdot \int x^3 dx = \frac{4}{4}x^4+ c = x^4 +c

Summenregel und Differenzregel

Die dritte der Integrationsregeln ist die Summenregel. Du verwendest sie immer, wenn dein Integral eine Summe enthält. Mit dieser Integrationsregel kannst du das Integral aufsplitten und die beiden Summanden einzeln integrieren. Das bedeutet

Summenregel

\int f(x)+g(x) dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx.

Wenn dein Integral stattdessen eine Differenz enthält, gehst du analog vor und erhältst 

Differenzregel

\int f(x)-g(x) dx = \int f(x) dx - \int g(x) dx.

Beispiele:

  • \int 3x^2+x^4 dx = \int 3x^2 dx + \int x^4 dx = x^3+\frac{1}{5}x^5+c
  • \int 2x - x^3 dx = \int 2x dx - \int x^3dx = x^2 - \frac{1}{4}x^4+c

Partielle Integration

Die Integrationsregeln zur partiellen Integration findest du ausführlich in einem eigenen Video erklärt. Deswegen gehen wir hier nur ganz kurz auf die Formel ein und zeigen dir ein kleines Beispiel. Du verwendest diese Integrationsregel immer, wenn du ein Produkt im Inneren des Integrals gegeben hast. Die Formel lautet

Partielle Integration 

\int \limits_a^b f'(x) \cdot g(x) dx = \biggl[f(x) \cdot g(x)\biggr]\limits_a^b -\int\limits_a^b f(x)\cdot g'(x) dx.

Beispiel:

Wir wollen \int\limits_0^\pi x \cdot \sin(x) dx mittels partieller Integration berechnen. Hier ist f'(x)=\sin(x) und g(x) = x. Die Auswahl treffen wir so, dass das Integral im letzten Schritt, wenn wir g'(x) berechnen, wirklich einfacher wird. Damit gilt:

\int\limits_0^\pi x\cdot \sin(x)dx = \biggl[-x\cdot \cos(x)\biggr]\limits_0^\pi - \int\limits_0^\pi - \cos(x) dx = \pi +\sin(\pi)-\sin(0)=\pi.

Integrationsregeln zur Substitution

Für die Integrationsregeln zur Substitution haben wir ebenfalls ein eigenes, ausführliches Video für dich vorbereitet, hier stellen wir dir nur kurz die Formel und ein typisches Beispiel vor. Du verwendest die Substitutionsregel ähnlich wie beim Ableiten die Kettenregel, also immer wenn du eine innere Funktion v(x) und eine äußere Funktion u(x)  gegeben hast, d.h. wenn f(x) = u(v(x)). Substituierst du v(x) = y erhältst du

Integration durch Substitution 

\int\limits_a^b u(v(x))\cdot v'(x) = \int\limit_{v(a)}^{v(b)} u(y)dy.

Beispiel:

Als Beispiel für die Integrationsregeln zur Substitution wollen wir uns \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(2x)dx genauer anschauen. Wir substituieren y=2x und erhalten durch Ableiten und Umstellen dx = \frac{1}{2}dy. Einsetzen in das Integral ergibt nach Anpassung der Integrationsgrenzen

\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(2x)dx=\int\limits_0^\pi \sin(y)\cdot\frac{1}{2}dy = \biggl[\frac{-\cos(y)}{2}\biggr]\limits_0^\pi = 1.

Integrationsregeln für Sinus und Cosinus

Im vorherigen Beispiel haben wir die Integrationsregeln für Sinus und Cosinus schon gesehen. Allgemein brauchst du dazu – ähnlich wie beim Ableiten – spezielle Regeln. Du weißt, dass die Ableitung von f(x)=\sin(x) gerade f'(x)=\cos(x) ist. Für f(x)=\cos(x) gilt f'(x) = -\sin(x). Interpretierst du Integrieren als Umkehrung des Differenzierens, siehst du direkt, dass

Integration von Sinus und Cosinus

\int \sin(x) dx = -\cos(x)+c\quad und \quad \int \cos(x)dx = \sin(x)+c.

Am leichtesten kannst du es dir mit dem folgenden Bild merken.

Integrationsregeln Sinus Cosinus Merkhilfe
direkt ins Video springen
Integrationsregeln Sinus Cosinus – Merkhilfe

Gehst du in der Zeile von links nach rechts, erfährst du, was die Ableitung ist, gehst du von oben nach unten, erhältst du die Stammfunktion.

Integrationsregeln für ex und ln(x)

Da die Ableitung von e^x gerade wieder e^x ist, ist auch die zugehörige Integrationsregel nicht schwer. Es gilt

Integration e-Funktion 

\int e^x dx = e^x+c.

Etwas komplizierter ist es bei \ln(x). Hier kannst du das Integral mithilfe der Integrationsregel zur partiellen Integration bestimmen und erhältst

Integration ln-Funktion 

\int \ln(x)dx = \int \ln(x)\cdot 1 dx = x\cdot \ln(x)-x+c.

Vielleicht erinnerst du dich auch, dass von f(x) = \ln(x) die Ableitung f'(x) = \frac{1}{x} war. Damit ist F(x)=\ln\left(|x|\right) natürlich die Stammfunktion von f(x)=\frac{1}{x}. Dies ist ein Spezialfall der logarithmischen  Integrationsregeln

logarithmische Integration 

\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \ln\left(|f(x)| \right).

Beispiele: 

  • \int e^{2x} dx = \frac{1}{2}e^{2x}+c
  • \int \frac{2x}{x^2+1} dx = \ln(x^2+1)+c

Stammfunktion und Ableitung der wichtigsten Funktionen

In der folgenden Tabelle findest du für die wichtigsten Funktionen ihre Ableitungen und ihre Stammfunktionen:

Ableitung
Funktion
Stammfunktion


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