Analysis
Integralrechnung
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Integrationsregeln Übersicht

Die wichtigsten Integrationsregeln findest du hier zusammengefasst. Diese Regeln musst du beim Integrieren beachten, genau wie beim Ableiten von Funktionen:

Name Regel Beispiel
Potenzregel \int x^{\textcolor{red}{n}} dx = \frac{1}{\textcolor{orange}{n+1}}x^{\textcolor{orange}{n+1}}+c

\int x^ {\textcolor{red}{2}}dx = \frac{1}{\textcolor{orange}{3}}x^{\textcolor{orange}{3}} +c

Faktorregel \int \textcolor{red}{c} \cdot f(x) dx= \textcolor{red}{c} \cdot \int f(x)dx

\int \textcolor{red}{2}x^2dx = \textcolor{red}{2} \cdot \int x^2 dx

Summenregel \int (\textcolor{blue}{f(x)} \;\textcolor{teal}{+} \; \textcolor{red}{g(x)}) dx = \int \textcolor{blue}{f(x)} dx \; \textcolor{teal}{ +}\int \textcolor{red}{g(x)} dx

\int (\textcolor{blue}{1} \;\textcolor{teal}{+} \; \textcolor{red}{x^3}) dx = \int \textcolor{blue}{1} dx \; \textcolor{teal}{ +}\int \textcolor{red}{x^3} dx

Differenzregel \int (\textcolor{blue}{f(x)} \; \textcolor{teal}{-} \; \textcolor{red}{g(x)}) dx = \int \textcolor{blue}{f(x)} dx \; \textcolor{teal}{-} \int \textcolor{red}{ g(x)} dx

\int (\textcolor{blue}{1} \; \textcolor{teal}{-} \; \textcolor{red}{x^4}) dx = \int \textcolor{blue}{1} dx \; \textcolor{teal}{-} \int \textcolor{red}{ x^4} dx

Partielle Integration \int \textcolor{teal}{f'(x)} \cdot \textcolor{red}{g(x)} dx = \textcolor{blue}{f(x)} \cdot \textcolor{red}{g(x)} -\int \textcolor{blue}{f(x)}\cdot \textcolor{orange}{g'(x)} dx Ein ausführliches Beispiel dazu siehst du weiter unten.
Integration durch Substitution

\int\limits_a^b \textcolor{blue}{u(} \textcolor{red}{v(}x\textcolor{red}{)} \textcolor{blue}{)}\cdot \textcolor{orange}{v'(}x\textcolor{orange}{)} dx =

\int\limit_{\textcolor{red}{v(}a\textcolor{red}{)}}^{\textcolor{red}{v(}b\textcolor{red}{)}} \textcolor{blue}{u(}y\textcolor{blue}{)}dy

Ein ausführliches Beispiel dazu siehst du weiter unten.

Du interessierst dich für eine Regel im Detail? Eine ausführlichere Erklärung und mehrere Beispiele zu jeder Integralregel siehst du hier.

Potenzregel

Die Potenzregel ist die wichtigste der Integrationsregeln. Du wendest sie immer dann an, wenn das zu berechnende Integral eine Potenzfunktion enthält, also ein x mit einer Hochzahl.

Potenzregel 

    \[\int x^n dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1}+c\]

Du erhöhst den Exponenten um 1 und teilst durch die neue Hochzahl.

c ist hier eine Konstante. Du siehst sofort, dass du wieder f(x) = x^n erhältst, wenn du die rechte Seite der obigen Formel ableitest.

Beispiele:

  •     \[\int 1dx = x+c \]

  •     \[\int xdx = \frac{1}{2}x^2 +c \]

  •     \[\int x^2dx = \frac{1}{3}x^3 +c \]

  •     \[\int x^5dx = \frac{1}{6}x^6 +c \]

Faktorregel

Die Faktorregel ist eine der einfachsten Integrationsregeln. Du benutzt sie immer, wenn deine Funktion einen Faktor c enthält, also wenn du mit einer konstanten Zahl multiplizierst.

Faktorregel

    \[ \int c \cdot f(x) dx= c \cdot \int f(x)dx. \]

Hast du einen Faktor in deinem Integranden, dann kannst du ihn vor das Integralzeichen ziehen und sozusagen ‚ausklammern ‚.

Beispiele:

  •     \[\int 2x^2dx = 2 \cdot \int x^2 dx = 2 \cdot \frac{1}{3}x^3 + c = \frac{2}{3}x^3 +c \]

  •     \[\int 4x^3dx = 4 \cdot \int x^3 dx = 4 \cdot \frac{1}{4}x^4+ c = x^4 +c\]

Summenregel

Die dritte der Integralregeln ist die Summenregel. Du verwendest sie immer, wenn dein Integral eine Summe enthält.

Summenregel

    \[\int (f(x)+g(x)) dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx.\]

Hast du im Integranden eine Summe, dann kannst du diese auseinanderziehen und einzeln integrieren.

Beispiel:

  •     \[\int x^2+x^4 dx = \int x^2 dx + \int x^4 dx = \frac{1}{3}x^3+\frac{1}{5}x^5+c\]


Differenzregel

Wenn dein Integral stattdessen eine Differenz enthält, gehst du analog vor.

Differenzregel

    \[\int (f(x)-g(x)) dx = \int f(x) dx - \int g(x) dx.\]

Hast du im Integranden eine Differenz, dann kannst du sie auseinanderziehen und einzeln integrieren.

Beispiel:

  •     \[ \int 2x - x^3 dx = \int 2x dx - \int x^3dx = x^2 - \frac{1}{4}x^4+c\]

Partielle Integration

Die Integrationsregeln zur partiellen Integration findest du ausführlich in einem eigenen Video erklärt.

Partielle Integration 

    \[\int f'(x) \cdot g(x) dx = f(x) \cdot g(x) -\int f(x)\cdot g'(x) dx\]

Du benötigst die partielle Integration, wenn du ein Produkt von Funktionen integrieren möchtest.

Beispiel:

Du sollst folgende Funktion integrieren:

    \[\int x \cdot e^x dx\]

Zuerst entscheidest du, welche Funktion dein f'(x) und welche dein g(x) sein soll. Die Funktion, die sich durch das Ableiten vereinfacht, wird dein g(x). Da e^x abgeleitet e^x ergibt und x abgeleitet 1, ist g(x) = x und f'(x) = ex.

Jetzt stellst du f(x) und g'(x) auf, da du sie für die Formel benötigst.

    \[f'(x) = e^x \qquad \underrightarrow{integrieren} \qquad f(x) = e^x\]

    \[g(x) = x \qquad  \underrightarrow{ableiten} \qquad g'(x) = 1\]

Dann musst du deine Ergebnisse nur noch in die Formel einsetzen.

    \begin{align*} \int f'(x) \cdot g(x) dx &= f(x) \cdot g(x) -\int f(x)\cdot g'(x) dx \\ \int e^x \cdot x dx &= e^x \cdot x -\int e^x\cdot 1 dx \\ &= e^x \cdot x - \int e^x dx \\ &= e^x \cdot x - e^x +c \\ &= e^x(x-1) +c\end{align*}

Integrationsregeln zur Substitution

Für die Integrationsregeln zur Substitution haben wir ebenfalls ein eigenes, ausführliches Video für dich vorbereitet. Hier stellen wir dir nur kurz die Formel und ein typisches Beispiel vor.

Integration durch Substitution 

    \[\int\limits_a^b u(v(x))\cdot v'(x) dx = \int\limit_{v(a)}^{v(b)} u(y)dy. \]

Du verwendest die Substitutionsregel ähnlich wie beim Ableiten die Kettenregel , also bei verketteten Funktionen. Hast du eine innere Funktion v(x) und eine äußere Funktion u(x), also f(x) = u(v(x)), dann substituierst du v(x) =y.

Beispiel:

Als Beispiel für die Integralrechnung durch Substitution wollen wir uns \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(2x)dx genauer anschauen. Wir substituieren y=2x und erhalten durch Ableiten und Umstellen dx = \frac{1}{2}dy. Einsetzen in das Integral ergibt nach Anpassung der Integrationsgrenzen

    \[\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(2x)dx=\int\limits_0^\pi \sin(y)\cdot\frac{1}{2}dy = \biggl[\frac{-\cos(y)}{2}\biggr]\limits_0^\pi = 1.\]

Integrationsregeln für Sinus und Cosinus

Im vorherigen Beispiel haben wir die Integrationsregeln für Sinus und Cosinus schon gesehen. Allgemein brauchst du dazu – ähnlich wie beim Ableiten – spezielle Regeln. Du weißt, dass die Ableitung von f(x)=\sin(x) gerade f'(x)=\cos(x) ist. Für f(x)=\cos(x) gilt f'(x) = -\sin(x). Interpretierst du Integrieren als Umkehrung des Differenzierens, siehst du direkt, dass:

Integration von Sinus und Cosinus

    \[\int \sin(x) dx = -\cos(x)+c\quad und \quad \int \cos(x)dx = \sin(x)+c.\]

Am leichtesten kannst du es dir mit dem folgenden Bild merken.

Integrationsregeln Sinus Cosinus Merkhilfe
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Integralrechnung Regeln Sinus Cosinus – Merkhilfe

Gehst du in der Zeile von links nach rechts, erfährst du, was die Ableitung ist, gehst du von oben nach unten, erhältst du die Stammfunktion.

Integrationsregeln für ex und ln(x)

Da die Ableitung von e^x gerade wieder e^x ist, ist auch die zugehörige Integrationsregel nicht schwer. Es gilt

Integration e-Funktion 

    \[\int e^x dx = e^x+c.\]

Das Integral von e^x ist wieder e^x.

Steht in der Potenz noch ein Faktor, kannst du diese Regel anwenden:

Integration spezielle e-Funktion

    \[\int e^{\alpha x} dx = \frac{1}{\alpha} e^{\alpha x}\]

Wenn du es mit noch komplizierteren Funktionen zu tun hast, dann schau doch unser Video speziell zum Integrieren von e-Funktionen an.

Das Integral von \ln(x) kannst du mithilfe der Integrationsregel zur partiellen Integration bestimmen und erhältst:

Integration ln-Funktion 

    \[\int \ln(x)dx = \int \ln(x)\cdot 1 dx = x\cdot \ln(x)-x+c.\]

Vielleicht erinnerst du dich auch, dass von f(x) = \ln(x) die Ableitung f'(x) = \frac{1}{x} war. Damit ist F(x)=\ln\left(|x|\right) natürlich die Stammfunktion von f(x)=\frac{1}{x}. Dies ist ein Spezialfall der logarithmischen Integrationsregeln.

logarithmische Integration 

    \[\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \ln\left(|f(x)| \right).\]

Wenn du einen Bruch integrieren sollst, bei dem der Zähler die Ableitung des Nenners ist, dann entspricht das Integral dem ln des Nenners.

Beispiele: 

  •     \[\int e^{3x} dx = \frac{1}{3}e^{3x}+c\]

  •     \[\int \frac{3x^2+2x}{x^3+x^2} dx = \ln(x^3+x^2)+c\]

Stammfunktion und Ableitung der wichtigsten Funktionen

In der folgenden Tabelle findest du für die wichtigsten Funktionen ihre Ableitungen und ihre Stammfunktionen :

Ableitung
Funktion
Stammfunktion

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