Analysis

Quotientenregel

Wann lässt sich die Quotientenregel für eine Funktion mit einem Bruch anwenden und wie kannst du diese herleiten? In diesem Artikel geben wir die Antworten auf diese Fragen mit einem anschaulichen Beispiel.

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Inhaltsübersicht

Quotientenregel einfach erklärt

Die Quotientenregel ist eine nützliche Methode der Differentialrechnung. Durch sie kannst du die Ableitungen von Funktionen mit Brüchen berechnen.

Quotientenregel

f(x)= \frac {u(x)}{v(x)} \quad \rightarrow \quad f'(x) = \frac {v(x) \cdot u'(x) - u(x) \cdot v'(x)}{(v(x))^2}.

Wichtig ist, dass für das Anwenden dieser Regel einerseits im Zähler, andererseits auch im Nenner eine Funktion vorkommen muss, die eine Variable x beinhaltet, hier u(x) und v(x).

Merksatz

Um dir die Quotientenregel schneller zu merken, hilft dir sicher der folgende Satz weiter:

NAZ minus ZAN durch N Quadrat.

Zur Erklärung: NAZ bedeutet „Nenner v(x) mal Ableitung Zähler u'(x).“ Dementsprechend bedeutet ZAN: „Zähler u(x) mal Ableitung Nenner v'(x).“

N Quadrat entspricht einfach nur einem quadrierten Nenner v(x).

Meistens kannst du das Ergebnis der Quotientenregel noch durch Ausklammern oder Zusammenfassen weiter vereinfachen.

Quotientenregel Aufgaben

Soviel zur Theorie, betrachten wir nun ein Beispiel:

f(x) = \frac {x^5}{x^2}

                 =\frac {u(x)}{v(x)}.

Diese Funktion kannst du einfach mit der Quotientenregel ableiten. Zuerst musst du die Ableitungen der beiden Teilfunktionen u(x) und v(x) bilden. In diesem Fall sind u(x) und v(x) Potenzfunktionen. Um die Ableitung einer Funktion mit einer Potenz zu bilden, musst du die sogenannte Potenzregel anwenden.

Sie liefert dir für die Ableitung des Zählers

u(x) = x^5 \quad \rightarrow \quad u'(x) = 5x^4

und für die Ableitung des Nenners

v(x)=x^2 \quad \rightarrow \quad v'(x) = 2x.

Nun kannst du diese Ergebnisse in die Formel der Quotientenregel einsetzen. Damit erhältst du:

f'(x) = \frac {v(x) \cdot u'(x) - u(x) \cdot v'(x)}{(v(x))^2}

=\frac {x^2 \cdot 5x^4 - x^5 \cdot 2x}{(x^2)^2}

Diesen Bruch kannst du noch folgendermaßen vereinfachen:

f'(x)=\frac {x^2 \cdot 5x^4 - x^5 \cdot 2x}{(x^2)^2}

         = \frac {5x^6 - 2x^6}{x^4}

= \frac {3x^6}{x^4}

  = 3x^2.

Damit hast du auch schon die Ableitung f'(x) berechnet.

In diesem Beispiel hättest du die Quotientenregel auch umgehen können, indem du f(x) vor dem Ableiten zusammenfasst.

Quotientenregel Herleitung

Im Folgenden wollen wir mithilfe der Produktregel und der Kehrwertregel die Quotientenregel herleiten.

Dazu betrachten wir die allgemeine Funktion:

f(x)=\frac {u(x)}{v(x)}.

Diese kannst du auch umschreiben zu:

f(x)=u(x) \cdot \frac {1}{v(x)}.

Die Ableitung dieser Funktion kannst du mit der Produktregel aufstellen:

f'(x)=u'(x) \cdot \frac {1}{v(x)} + u(x) \cdot (\frac {1}{v(x)})^'

Um die Ableitung des Kehrwerts \frac {1}{v(x)} zu berechnen, hilft dir die sogenannte Kehrwertregel:

(\frac {1}{v(x)})^{'} = - \frac {v'(x)}{v^2(x)}.

Wendest du diese Regel an, bekommst du:

f'(x)=\frac {u'(x)}{v(x)} - u(x) \cdot \frac {v'(x)}{(v(x))^2}.

Nun bringst du die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner, indem du den linken um v(x) erweiterst:

= \frac {v(x) \cdot u'(x)}{(v(x))^2} - \frac {u(x) \cdot v'(x)}{(v(x))^2}

= \frac {v(x) \cdot u'(x) - u(x) \cdot v'(x)}{(v(x))^2}.

Das Ergebnis ist die Formel der Quotientenregel.

Weitere Ableitungsregeln

Die Quotientenregel ist eine von vielen Ableitungsregeln der Differentialrechnung. Weitere wichtige Ableitungsregeln sind:

Ableitungsregel Funktion Ableitung
Produktregel f(x)=g(x) \cdot h(x) f'(x)=g'(x)\cdot h(x)+g(x)\cdot h'(x)
Summenregel f(x)=g(x)+h(x) f'(x)=g'(x)+h'(x)
Differenzregel f(x)=g(x)-h(x) f'(x)=g'(x)-h'(x)
Kettenregel f(x)=g(h(x)) f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)
Potenzregel f(x)=x^n f'(x)=n\cdot x^{n-1}
Faktorregel f(x)=a\cdot g(x) f'(x)=a \cdot g'(x)

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