Analysis

ln ableiten

In diesem Artikel zeigen wir dir, wie du den ln ableiten kannst. Dafür greifen wir kurz die Kettenregel auf und berechnen mit ihr einige Beispiele zur Ableitung ln.

Du möchtest ohne große Anstrengung verstehen, wie du ln x ableiten kannst? Dann schau dir unser Video  dazu an!

Inhaltsübersicht

ln ableiten einfach erklärt

Die Ableitung der Funktion ln(x) (natürlicher Logarithmus) ist leicht zu merken.

Es gilt für

f(x)=\ln(x) \quad \rightarrow \quad f'(x)=\frac{1}{x}.

Die Ableitung log x ist übrigens die gleiche wie die Ableitung ln x.

Ln ableiten, ln Ableitung Graph
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ln(x) Ableitung – Graph

ln ableiten mit Kettenregel

Schwieriger wird es, wenn im ln x das x durch einen komplizierteren Ausdruck ersetzt wird, wie beispielsweise bei f(x)=\ln(2x^2+3). Dann musst du, um den Logarithmus ableiten zu können, die Kettenregel  anwenden. Dafür identifizierst du zunächst die innere Funktion h(x) und äußere Funktion  g(x) der verketteten Funktion

f(x)=g(h(x)).

Anschließend berechnest du die Ableitungen h'(x) und g'(x) und setzt sie zusammen mit h(x) in die Formel der Kettenregel ein

f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x).

Beispiel 1

Möchtest du also die oben erwähnte ln Funktion ableiten

f(x)=\ln(2x^2+3),

so bestimmst du:

  • innere Funktion h(x) und Ableitung h'(x):

h(x)=2x^2+3 \quad \rightarrow \quad h'(x)=4x

  • äußere Funktion g(x) und Ableitung g'(x):

g(x)= \ln(x) \quad \rightarrow \quad g'(x)=\frac{1}{x}.

Hierbei wurden die Potenz- und Faktorregel  angewandt, um die Ableitungen zu bestimmen.

Jetzt setzt du deine Ergebnisse in die Formel der Kettenregel ein und bekommst

f'(x)= g'(h(x))\cdot h'(x)

=\frac{1}{2x^2+3} \cdot 4x

=\frac{4x}{2x^2+3}.

Beispiel 2

Schauen wir uns noch ein weiteres Ableitung Logarithmus Beispiel an

f(x)= 5 \cdot \ln(x^2+x).

Bestimme dafür erneut die innere und äußere Funktion, sowie deren Ableitungen mit der Potenz- und Faktorregel :

  • innere Funktion und Ableitung: 

h(x)=x^2+x \quad \rightarrow \quad h'(x)=2x+1

  • äußere Funktion und Ableitung:

g(x)=5\ln(x) \quad \rightarrow \quad g'(x)=\frac{5}{x}.

Die Formel der Kettenregel liefert dir dann als Ergebnis

f'(x)= \frac{5}{x^2+x} \cdot (2x+1)

=\frac{5\cdot (2x+1)}{x^2+x}.

Beispiel 3 

f(x)=\frac{\ln(4x+2)}{3}

In diesem Beispiel zum ln Ableiten, erhältst du als

  • innere Funktion und Ableitung: 

h(x)=4x+2 \quad \rightarrow \quad h'(x)= 4

  • äußere Funktion und Ableitung: 

g(x)=\frac{\ln(x)}{3} \quad \rightarrow \quad g'(x)=\frac{1}{3x}.

Damit gilt aufgrund der Kettenregel:

f'(x)=\frac{1}{3\cdot(4x+2)}\cdot 4

=\frac{4}{3\cdot(4x+2)}.

ln ableiten Beispiele

Du weißt jetzt, wie du mit der Kettenregel und der Potenz- und Faktorregel den ln ableiten kannst. Aber es kann auch vorkommen, dass du neben dieser noch weitere Ableitungsregeln anwenden musst. Es folgen nun verschiedene Regeln mit Beispielen zur Logarithmus Funktion:

Ableitungsregel Funktion Ableitung
Summenregel f(x)=g(x)+h(x)

f(x)=\ln(3x)+\ln(x)

f'(x)=g'(x)+h'(x)

f'(x)=\frac{1}{3x}\cdot 3 + \frac{1}{x}

Differenzregel f(x)=g(x)-h(x)

f(x)=\ln(x)-\ln(x^2)

f'(x)=g'(x)-h'(x)

f'(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}\cdot 2x

Produktregel f(x)=g(x)\cdot h(x)

f(x)=\ln(-x)\cdot 3x^2

f'(x)=g'(x)\cdot h(x)+g(x)\cdot h'(x)

f'(x)=-\frac{1}{-x}\cdot 3x^2 + \ln(-x)\cdot 6x

Quotientenregel f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}

f(x)=\frac{\ln(x)}{x^2+1}

f'(x)=\frac{g'(x)\cdot h(x)-g(x)\cdot h'(x)}{[h(x)]^2}

f'(x)=\frac{\frac{x^2+1}{x}-\ln(x)\cdot 2x}{(x^2+1)^2}

Faktorregel f(x)=a\cdot g(x)

f(x)=4 \cdot \ln(x)

f'(x)=a \cdot g'(x)

f'(x)=\frac{4}{x}

Potenzregel f(x)=x^n

f(x)=x^4

f'(x)=n \cdot x^{n-1}

f'(x)=4 \cdot x^3

Weitere Funktionen und ihre Ableitungen

Die Ableitungen der folgenden Funktionen solltest du ebenfalls auswendig wissen und anwenden können.

Funktion Ableitung
Wurzel ableiten f(x)=\sqrt{x} f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}
Ableitung Cosinus f(x)=\cos(x) f'(x)=-\sin(x)
Ableitung Sinus f(x)=\sin(x) f'(x)=\cos(x)
Ableitung Tangens f(x)=\tan(x) f'(x)=\frac{1}{\cos^2(x)}
e Funktion ableiten f(x)=e^x f'(x)=e^x

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