Wie erkenne ich am Graphen linksgekrümmt und rechtsgekrümmt?

Am Graphen ist eine Funktion linksgekrümmt, wenn die Steigung nach rechts zunimmt, und rechtsgekrümmt, wenn sie abnimmt. Linksgekrümmt wirkt wie eine nach oben offene Schüssel, rechtsgekrümmt wie eine nach unten offene Schüssel. Beispiel: Bei wird die Steigung nach rechts immer größer.

Wann reicht f“ von x gleich null nicht für einen Wendepunkt?

reicht nicht für einen Wendepunkt, wenn das Vorzeichen von dort nicht wechselt. Dann ist die Krümmung an dieser Stelle zwar kurz „null“, aber links und rechts bleibt sie gleich. Beispiel: Bei gilt , aber für .

Wie prüfe ich sicher, ob die Krümmung wirklich wechselt?

Einen Krümmungswechsel prüfst du sicher, indem du das Vorzeichen von links und rechts der Stelle testest. Rechne dazu aus, bestimme die Kandidaten mit , und setze je einen Testwert in die Intervalle ein. Beispiel: Bei teste und .

Welche Fehler passieren oft beim Lösen von f“ von x größer oder kleiner null?

Häufige Fehler sind Vorzeichenfehler beim Umformen und das falsche Umdrehen des Ungleichheitszeichens beim Multiplizieren mit einer negativen Zahl. Außerdem wird oft vergessen, die Nullstellen von als Intervallgrenzen zu nutzen. Beispiel: Aus folgt richtig , nicht .

Wie hängt das Vorzeichen von f“ von x mit der Steigung zusammen?

Das Vorzeichen von zeigt, ob die Steigung wächst oder fällt. Gilt , dann nimmt zu und der Graph wird nach oben „gebogener“ (linksgekrümmt). Gilt , dann nimmt ab und der Graph ist rechtsgekrümmt. Beispiel: Bei ist , also fällt nach rechts.

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Krümmungsverhalten

Wichtige Inhalte in diesem Video

Krümmungsverhalten — das Wichtigste auf einen Blick

(00:14)

Krümmungsverhalten berechnen — rechtsgekrümmt

(01:10)

Krümmungsverhalten berechnen — Linksgekrümmt

(01:42)

Krümmung berechnen — Linkskurve und Rechtskurve

(02:42)

Wie kannst du das Krümmungsverhalten einer Funktion berechnen? Beschreibt sie eine Linkskurve oder eine Rechtskurve? Alles, was du über die Krümmung einer Funktion wissen musst, erfährst du hier im Beitrag und im zugehörigen Video .

Inhaltsübersicht

Krümmungsverhalten — das Wichtigste auf einen Blick

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(00:14)

Die Krümmung einer Funktion f kannst du an ihrer zweiten Ableitung f“ ablesen:

f“(x) < 0 → f rechtsgekrümmt (konkav) an der Stelle x
f“(x) > 0 → f linksgekrümmt (konvex) an der Stelle x
f“(x) = 0 → keine Krümmung an der Stelle x

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Krümmung berechnen

Um das Krümmungsverhalten einer Funktion f herauszufinden, musst du also zunächst ihre zweite Ableitung f“ berechnen. Dabei gibt es drei Möglichkeiten, wie sie aussehen kann:

f“(x) ist eine negative Zahl (z. B. f“(x) = – 2) → f ist überall rechtsgekrümmt.
f“(x) ist eine positive Zahl (z. B. f“(x) = 6) → f ist überall linksgekrümmt.
f“(x) enthält noch ein x → Es kann sein, dass f sein Krümmungsverhalten an den Nullstellen von f“(x) ändert.

Schau dir nun genauer an, wie du in den einzelnen Fällen die Krümmung berechnest.

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Krümmungsverhalten berechnen — rechtsgekrümmt

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(01:10)

Du hast zum Beispiel die Funktion f(x) = – x²gegeben und sollst ihr Krümmungsverhalten berechnen. Dazu bestimmst du zunächst die zweite Ableitung f“(x):

f(x) = – x²
f'(x) = – 2x
f“(x) = – 2 < 0

f“(x) ist also für jedes x negativ. Damit ist der Graph von f(x) = – x²überall rechtsgekrümmt.

Krümmungsverhalten berechnen — Linksgekrümmt

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(01:42)

Betrachte nun die Funktion f(x) = 3x²

f(x) = 3x²
f'(x) = 6x
f“(x) = 6 > 0

f“(x) ist dieses Mal immer eine positive Zahl. Daher ist der zugehörige Graph eine einzige Linkskurve.

Merkhilfen — Linkskurve und Rechtskurve

Stell dir vor, der Funktionsgraph ist ein Weg auf dem du mit dem Fahrrad fährst. In welche Richtung musst du lenken?
- Nach rechts → Rechtsgekrümmte Funktion
- Nach links → Linksgekrümmte Funktion
Du kannst dich auch an den Buchstaben in den Wörtern orientieren:
- f“(x) negativ → rechtskrümmt
- f“(x) positiv → linkskrümmt
Die Fachbegriffe konkav und konvex kannst du dir zum Beispiel mit folgenden Sprüchen merken:
- „Konkav ist der Buckel vom Schaf.“
- „Konvex ist der Kochtopf von der Hex.“

Krümmung berechnen — Linkskurve und Rechtskurve

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(02:42)

Was passiert aber, wenn in der zweiten Ableitung noch ein x auftaucht? Am Beispiel der Funktion f(x) = x³ + 3x²zeigen wir dir, wie du in so einem Fall vorgehst.

Um die Krümmung zu berechnen, musst du auch hier zuerst die zweite Ableitung bilden:

f(x) = x³ + 3x²
f'(x) = 3x² + 6x
f“(x) = 6x + 6

Das Krümmungsverhalten ist jetzt nicht an jeder Stelle x dasselbe. Du musst dich also fragen:

Für welche x ist f“(x) = 6x + 6 kleiner als 0? Dazu löst du die Ungleichung 6x + 6 < 0.

6x + 6 < 0
⇔ 6x < -6
⇔ x < -1

Für alle x < -1 ist also f“(x) < 0. Damit ist f rechtsgekrümmt (konkav) für alle x, die kleiner als -1 sind.

Um die Stellen zu finden, wo die Funktion eine Linkskurve macht, löst du die umgekehrte Ungleichung:

6x + 6 > 0
⇔ 6x > -6
⇔ x > -1

Das bedeutet: f ist linksgekrümmt (konvex) für alle x, die größer als -1 sind.

Zwischen der Rechts– und der Linkskurve gibt es eine Stelle x, wo die Funktion keine Krümmung hat. Dort gilt f“(x) = 0. (Hier: f(-1) = 0). Solche Punkte, wo die Funktion ihr Krümmungsverhalten ändert, nennst du Wendepunkte. Eine Funktion kann auch mehrere Wendepunkte haben und damit mehrmals ihre Krümmung wechseln.

Achtung: Bei der Funktion f(x) = x⁴ kommt in der zweiten Ableitung f“(x) = 12x²auch ein x vor. An der Stelle x = 0 ist f“(x) = 0. Davor und danach ist f“(x) aber immer positiv (denn x²ist nie negativ). Der Funktionsgraph von f(x) = x⁴ist also eine einzige Linkskurve und ändert sein Krümmungsverhalten nicht!

Krümmungsverhalten — häufigste Fragen

(ausklappen)

Wie erkenne ich am Graphen linksgekrümmt und rechtsgekrümmt?

Am Graphen ist eine Funktion linksgekrümmt, wenn die Steigung nach rechts zunimmt, und rechtsgekrümmt, wenn sie abnimmt. Linksgekrümmt wirkt wie eine nach oben offene Schüssel, rechtsgekrümmt wie eine nach unten offene Schüssel. Beispiel: Bei wird die Steigung nach rechts immer größer.
Wann reicht f“ von x gleich null nicht für einen Wendepunkt?

reicht nicht für einen Wendepunkt, wenn das Vorzeichen von dort nicht wechselt. Dann ist die Krümmung an dieser Stelle zwar kurz „null“, aber links und rechts bleibt sie gleich. Beispiel: Bei gilt , aber für $x\neq 0$ .
Wie prüfe ich sicher, ob die Krümmung wirklich wechselt?

Einen Krümmungswechsel prüfst du sicher, indem du das Vorzeichen von links und rechts der Stelle testest. Rechne dazu aus, bestimme die Kandidaten mit , und setze je einen Testwert in die Intervalle ein. Beispiel: Bei teste und .
Welche Fehler passieren oft beim Lösen von f“ von x größer oder kleiner null?

Häufige Fehler sind Vorzeichenfehler beim Umformen und das falsche Umdrehen des Ungleichheitszeichens beim Multiplizieren mit einer negativen Zahl. Außerdem wird oft vergessen, die Nullstellen von als Intervallgrenzen zu nutzen. Beispiel: Aus folgt richtig , nicht .
Wie hängt das Vorzeichen von f“ von x mit der Steigung zusammen?

Das Vorzeichen von zeigt, ob die Steigung wächst oder fällt. Gilt , dann nimmt zu und der Graph wird nach oben „gebogener“ (linksgekrümmt). Gilt , dann nimmt ab und der Graph ist rechtsgekrümmt. Beispiel: Bei ist , also fällt nach rechts.

Wendepunkt berechnen

Klasse! Wenn in Mathe die Begriffe konvex und konkav auftauchen, weißt du nun Bescheid. Das Krümmungsverhalten einer Funktion zu berechnen ist jetzt kein Problem mehr für dich! Aber was genau hat es mit diesen Wendepunkten auf sich? Mehr dazu erfährst du in unserem Video !