Analysis

Zylinderkoordinaten

In diesem Artikel werden die Zylinderkoordinaten eingeführt. Außerdem wird deren Umrechnung mit den kartesischen Koordinaten erläutert. Darüber hinaus werden auch die Volumen-, Flächen– und Linienelemente sowie die Einheitsbasisvektoren und der Nabla– und Laplace-Operator bestimmt.

Um dir die Thematik der Zylinderkoordinaten audiovisuell näher zubringen, haben wir für dich auch ein anschauliches Video erstellt!

Inhaltsübersicht

Zylinderkoordinaten Definition

Merke
In Zylinderkoordinaten wird ein Punkt im Dreidimensionalen durch die Angabe seines Abstands r zu einer vorgegebenen Achse, eines Winkels \phi und einer Höhe z beschrieben.

Im Wesentlichen entsprechen sie den ebenen Polarkoordinaten, welche um die Höhe z erweitert wurden.

Zylinderkoordinatensystem

Das Zylinderkoordinatensystem zeichnet sich zum einen durch eine gerichtete Gerade aus, welche auch als zylindrische oder longitudale Achse bezeichnet wird. In der Regel wird hierfür die z-Achse des kartesischen Koordinatensystems gewählt. Außerdem gehört eine Halbgerade, die senkrecht auf der zylindrischen Achse steht, zum Zylinderkoordinatensystem. Diese bezeichnet man als Polachse und wählt hierfür meist die positive x-Achse des kartesischen Koordinatensystems. Dort, wo sie auf die zylindrische Achse trifft, liegt der Ursprung des Koordinatensystems. Orthogonal zur zylindrischen Achse und durch den Ursprung läuft die sogenannte Bezugsebene.

Zylinderkoordinatendarstellung

Projiziert man einen Punkt P im Raum orthogonal auf die Bezugsebene, so kann der Punkt der orthogonalen Projektion  in der Bezugsebene durch die Polarkoordinaten  (r,\phi) beschrieben werden. Hierbei stellt r den Abstand des projizierten Punktes zum Ursprung dar und \phi beschreibt den Winkel zwischen der Polachse und der Verbindungsstrecke vom Ursprung zum projizierten Punkt. Um nicht die Projektion zu beschreiben, sondern den Punkt P selbst, werden die beiden Koordinaten um die Höhe z ergänzt. Sie gibt den Abstand des Punktes P zur Bezugsebene an. Liegt der Punkt oberhalb der Ebene, bekommt die Koordinate ein positives Vorzeichen, wohingegen es negativ ist, falls der Punkt unterhalb der Bezugsebene liegt. Das Zahlenpaar (r,\phi, z) nennt man Zylinderkoordinaten des Punktes P.

Zylinderkoordinaten umrechnen

Von großer Bedeutung ist die Umrechnung der Zylinderkoordinaten mit den kartesischen Koordinaten. Hierfür ist es am einfachsten, das Zylinderkoordinatensystem so zu wählen, dass die zylindrische Achse auf die z-Achse und die Polachse auf die positive x-Achse des kartesische Systems fällt.

Zylinderkoordinaten in kartesische Koordinaten umrechnen

Für die Umrechnung in kartesische Koordinaten ergeben sich nach geometrischen Überlegungen folgende Formeln:

x=r\cdot \cos{\phi}

y=r\cdot \sin{\phi}

z=z

Die Umrechnung entspricht für die x– und y-Koordinate derjenigen der Polarkoordinaten.

Kartesische Koordinaten in Zylinderkoordinaten umrechnen

Auch die umgekehrte Umrechnung erfolgt für die ersten beiden Koordinaten wie bei den Polarkoordinaten, während die z-Koordinate unverändert bleibt:

r=\sqrt{x^2+y^2}

\phi=\arctan{\frac{y}{x}}

z=z

Hierbei ist zu beachten, dass die Umrechnung für die Koordinate \phi  in dieser Form nur für den Fall gilt, dass x und y größer null sind. Eine genaue Fallunterscheidung findest du in unserem Artikel zu den Polarkoordinaten .

Transformation von Differentialen

Um Differentiale in Zylinderkoordinaten zu transformieren kann die Jacobi-Matrix  der Koordinatentransformation betrachtet werden.

Jacobi-Matrix und Funktionaldeterminante

Die Jacobi-Matrix J besitzt folgende Form:

J=\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (r,\phi,z}=\left( \begin{array}{ccc} \cos{\phi}&-r\cdot\sin{\phi}&0\\ \sin{\phi}&r\cdot\cos{\phi}&0\\ 0&0&1\\ \end{array} \right)

Die Funktionaldeterminante lautet demnach:

detJ=r

Differentiale (Volumenelement, Flächenelement, Linienelement)

Die Differentiale lassen sich nun mithilfe der Jacobi-Matrix durch folgende Abbildung angeben:

 \left( \begin{array}{ccc} \mathrm{d} x\\ \mathrm{d} y\\\mathrm{d} z\\ \end{array} \right)=J\cdot\left( \begin{array}{ccc} \mathrm{d} r\\\mathrm{d}\phi \\\mathrm{d}z \\ \end{array} \right)

Mit der Funktionaldeterminante lässt sich außerdem ganz einfach das Volumenelement \mathrm{d}V bestimmen:

\mathrm{d}V=\mathrm{det}J\cdot\mathrm{d}z \mathrm{d}\phi \mathrm{d}r=r\cdot \mathrm{d}z \mathrm{d}\phi \mathrm{d}r

Daraus ergibt sich durch Differentiation das Flächenelement \mathrm{d}A:

\mathrm{d}A=\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r}=r\cdot \mathrm{d}z \mathrm{d}\phi

Für das Linienelement \mathrm{d}s gilt:

\mathrm{d}s^2=\mathrm{d}x^2+\mathrm{d}y^2+\mathrm{d}z^2=\mathrm{d}r^2+r^2\mathrm{d}\phi^2+\mathrm{d}z^2

Transformation von Basisvektoren und Vektoroperatoren

Im Folgenden sollen die Einheitsvektoren sowie der Nabla– und der Laplaceoperator in Zylinderkoordinaten bestimmt werden.

Einheitsbasisvektoren

Aus dem allgemeinen Richtungsvektor  \vec{r}=\left( \begin{array}{ccc} r\cdot\sin{\theta}\cdot\cos{\phi}\\r\cdot\sin{\theta}\cdot\sin{\phi} \\r\cdot\cos{\theta} \\ \end{array} \right) lassen sich die Einheitsvektoren in Zylinderkoordinaten herleiten:

\vec{e_r}=\frac{\frac{\partial\vec{r}}{\partial r}}{\left\vert\frac{\partial\vec{r}}{\partial r}}\right\vert}=\left( \begin{array}{ccc} \cos{\phi}\\\sin{\phi} \\0 \\ \end{array} \right)

\vec{e_{\phi}}=\frac{\frac{\partial\vec{r}}{\partial \phi}}{\left\vert\frac{\partial\vec{r}}{\partial \phi}}\right\vert}=\left( \begin{array}{ccc} -\sin{\phi}\\\cos{\phi} \\0 \\ \end{array} \right)

\vec{e_{z}}=\frac{\frac{\partial\vec{r}}{\partial z}}{\left\vert\frac{\partial\vec{r}}{\partial z}}\right\vert}=\left( \begin{array}{ccc} 0\\0 \\1\\ \end{array} \right)

Partielle Ableitungen (Nabla- und Laplaceoperator)

Die partiellen Ableitungen in Zylinderkoordinaten sind durch folgende Abbildung gegeben:

\left(\frac{\partial}{\partial r}, \frac{\partial}{\partial \phi},\frac{\partial}{\partial z} \right)=\left(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z} \right)\cdot J

\left(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z} \right)=\left(\frac{\partial}{\partial r}, \frac{\partial}{\partial \phi},\frac{\partial}{\partial z} \right)\cdot J^{-1}

Der Nabla-Operator in Zylinderkoordinaten besitzt die folgende Form:

\nabla=\vec{e_r}\frac{\partial}{\partial r}+\vec{e_{\phi}}\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \phi}+\vec{e_z}\frac{\partial}{\partial z}

Der Nabla-Operator in dieser Form kann dann auf Skalarfelder angewandt werden, um den Gradienten in Zylinderkoordinaten zu bestimmen.

Für die Divergenz in Zylinderkoordinaten eines Vektorfeldes \vec{A}=A_r\cdot \vec{e_r}+A_{\theta}\cdot\vec{e_{\theta}}+A_{\phi}\cdot\vec{e_{\phi}} gilt:

\nabla \cdot\vec{A}=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(r\, A_r)+\frac{1}{r}\frac{\partial A_{\phi}}{\partial\phi}+\frac{\partial A_z}{\partial z}

Für ein solches Vektorfeld sieht die Rotation in Zylinderkoordinaten folgendermaßen aus:

\nabla \times\vec{A}=\left(\frac{1}{r}\frac{\partial A_z}{\partial\phi}-\frac{\partial A_{\phi}}{\partial z}\right)\vec{e_r}+\left(\frac{\partial A_{r}}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial r}\right)\vec{e_{\phi}}+\frac{1}{r}\left(\frac{\partial}{\partial r}(r\, A_{\phi})-\frac{\partial A_r}{\partial \phi}\right)\vec{e_{z}}

Setzt man nun in die Formel für die Divergenz als Vektorfeld den Nabla-Operator ein, so erhält man den Laplace-Operator:

\triangle=\nabla ^2=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}+\frac{\partial ^2}{\partial r^2}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial ^2}{\partial\phi ^2}+\frac{\partial ^2}{\partial z ^2}


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