Höhere Mathematik

Jacobi-Matrix

Inhaltsübersicht

Die Jacobi-Matrix (oder Jacobimatrix aber nicht Jakobi-Matrix) ist nach dem deutschen Mathematiker Carl Gustav Jacob Jacobi benannt und ist von großer Bedeutung für die Differentialrechnung im Mehrdimensionalen. Man bezeichnet sie auch als Funktionalmatrix oder Ableitungsmatrix. Du willst die Jacobi-Matrix noch schneller verstehen? Dann schau dir unser Video dazu an.

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Jacobi-Matrix

Definition: Jacobi-Matrix bzw. Funktionalmatrix

Sei U\subset \mathbb{R}^n offen und f eine Funktion von folgender Form:

f: U\rightarrow \mathbb{R}^m

(x_1,x_2, . . . ,x_n )\mapsto \left ( \begin{array}{r}f_1 (x_1,x_2, . . . ,x_n )\\ \vdots \\f_m (x_1,x_2, . . . ,x_n )\end{array} \right)

Existieren alle partiellen Ableitungen der Komponentenfunktionen f_1, . . . ,f_m, so lautet die Jacobi-Matrix im Punkt x_0\in U:

J_f (x_0):=(\frac{\partial f_i}{\partial x_jx} (x_0))_(_i_=_1_,_._._._,_m_;_ j_=_1_,_._._._,_n_)=

\left ( \begin {array} {rrr} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} (x_0) &\cdots &\frac{\partial f_1}{\partial x_n} (x_0 )\\ \vdots &\ddots &\vdots\\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1} (x_0 )&\cdots &\frac{\partial f_m}{partial x_n} (x_0 )\end {array} \right)

Häufig sieht man auch die Schreibweise Df(x_0 ) bzw. \frac{\partial (f_1,. . . ,f_m)}{\partial (x_1,x_2, . . . ,x_n)} (x_0 ) für die Jacobi-Matrix.

Jacobi-Matrix als totale Ableitung

Ist die betrachtete Funktion f: \mathbb{R}^n\supset U \rightarrow \mathbb{R}^m im Punkt x_0\in U total differenzierbar, so stellt die Jacobi-Matrix die totale Ableitung von f in x_0 dar. Dies soll im Folgenden bewiesen werden:

Ist f in x_0 total differenzierbar, so gilt mit der totalen Ableitung A:

f(x_0+h)=f(x_0)+A\cdot h+r(h),

wobei für die Restfunktion r(h) gilt:

\lim\limits_{h\to\ 0} \frac{r(h)}{|h|} =0

Hierbei ist A=(a_i_j)_(_i_=_1_,_._._._,_m_;_ j_=_1_,_._._._,_n_) eine Matrix und h=\left ( \begin{array}{r} h_1\\ \vdots\\h_n\end {array} \right) ein n-dimensionaler Vektor.

Nun soll die i-te Komponente von f(x_0+h) betrachtet werden:

f_i (x_0+h)=f_i (x_0 )+\sum\limits_{k=1}^n a_i_j\cdot h_k+r_j (h)

Behält man in h=\left ( \begin{array}{r} h_1\\ \vdots\\h_n\end{array} \right) nur die j-te Komponente ungleich null, wird daraus der Vektor h_j e_j=\left ( \begin {array}{r} 0\\ \vdots\\h_j\\ \vdots \\0 \end{array}\right) und es ergibt sich:

f_i (x_0+h_j e_j)=f_i (x_0)+a_i_j\cdot h_j+r_j (h_j e_j )

Nun lässt sich damit und mit \lim\limits_{h\to\ 0} \frac{r(h)}{|h|}=0 die partielle Ableitung der i-ten Komponente von f nach x_j berechnen:

\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x_0)=\lim\limits_{h_j\to\ 0} \frac {f_i (x_0+h_j e_j)-f_i (x_0)}{h_j} =a_i_j+\lim\limits_{h_j\to\ 0} \frac{r_j (h_j e_j )}{h_j} =a_i_j

Es wurde also gezeigt, dass gilt:

A=(a_i_j)_i_=_1_,_._._._,_m_;_j_=_1_,_._._._,_n=(\frac{\partial f_i}{\partial x_j} (x_0 ))_i_=_1_,_._._._,_m_;_j_=_1_,_._._._,_n=J_f (x_0)

Das bedeutet gerade, dass die Jacobi-Matrix die totale Ableitung von f im Punkt x_0 ist.

Beispiel 1 – Jacobi-Matrix berechnen

Die Berechnung der Jacobi-Matrix soll am Beispiel der Funktion

f: \mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^3

(x,y)\mapsto \left ( \begin{array}{r} f_1 (x,y)\\f_2 (x,y)\\f_3 (x,y)\end {array}\right )=\left ( \begin{array}{r} x^2+sin⁡(y)\\e^y+3\\2x^4\cdot y\end{array}\right )

illustriert werden.
Für die Jacobi-Matrix werden die partiellen Ableitungen der drei Komponenten f_1,f_2 und f_3 nach x und y bestimmt. Diese lauten:

Jacobi-Matrix berechnen Ableitungen
Jacobi-Matrix berechnen

Durch richtiges Anordnen dieser partiellen Ableitungen ergibt sich bereits die Jacobi-Matrix bzw. die Funktionalmatrix:

J_f (x,y)=Df(x,y)=\left ( \begin {array}{rr} \frac{\partial f_1}{\partial x} (x,y) & \frac{\partial f_1} {\partial y} (x,y)\\\frac{\partial f_2}{\partial x} (x,y) & \frac{\partial f_2}{\partial y} (x,y)\\ \frac{\partial f_3}{\partial x} (x,y) & \frac{\partial f_3}{\partial y} (x,y) \end {array} \right )=\left ( \begin {array} {rr} 2x & cos⁡(y)\\0 & e^y\\ 8x^3\cdot y & 2x^4 \end {array} \right)

Beispiel 2 – Jacobi-Matrix berechnen

Nun soll die Funktion

\theta: \mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}^3

(r,\theta ,\varphi)\mapsto \left ( \begin {array} {r} x(r,\theta,\varphi)\\ y(r,\theta,\varphi)\\ z(r,\theta ,\varphi) \end{array} \right )= \left ( \begin {array} {r} r\cdot sin⁡(\theta)\cdot cos⁡(\varphi)\\r\cdot sin⁡(\theta )cdot sin⁡(\varphi)\\r\cdot cos⁡(\theta) \end{array}\right)

betrachtet werden, welche eine Transformation der kartesischen in die Kugelkoordinaten beschreibt.

Die partiellen Ableitungen der einzelnen Komponenten lauten:

\frac{\partial x}{\partial r} (r,\theta ,\varphi)= sin⁡(\theta) cos⁡(\varphi)

\frac{\partial x}{\partial \theta} (r,\theta ,\varphi )=r cos⁡(\theta)cos⁡(\varphi)

\frac c{\partial x}{\partial \varphi) (r,\theta,\varphi)=-r sin⁡(\theta) sin⁡(\varphi)

 

\frac{\partial y}{\partial r} (r,\theta,\varphi)= sin⁡(\theta) sin⁡(\varphi)

\frac{\partial y}{\partial\theta} (r,\theta ,\varphi)=r cos⁡(\theta)sin⁡(\varphi)

\frac{\partial y}{\partial \varphi} (r,\theta ,\varphi )=r sin⁡(\theta)cos⁡(\varphi)

 

\frac{\partial z}{\partial r} (r,\theta ,\varphi)=cos⁡(\theta)

\frac {\partial z}{\partial \theta} (r,\theta,\varphi)=-r sin⁡(\theta)

\frac{\partial z}{\partial \varphi} (r,\theta,\varphi)=0

Die Jacobi-Matrix hat demzufolge folgende Form:

J_f (r,\theta,\varphi)=\left ( \begin{array}{rrr} sin⁡(\theta) cos⁡(\varphi) & r cos⁡(\theta) cos⁡(\varphi) & -r sin⁡(\theta) sin⁡(\varphi)\\\\frac{sin⁡(\theta)sin⁡(\varphi) & r cos⁡(\theta)sin⁡(\varphi) & r sin⁡(\theta)cos⁡(\varphi)\\cos⁡(\theta) & -r sin⁡(\theta) & 0\end {array}\right)

Da diese Jacobi-Matrix eine quadratische Matrix ist, lässt sich deren Determinante berechnen. Diese wird Jacobi-Determinante genannt. Sie spielt bei der Koordinatentransformation von Integralen eine wichtige Rolle. Im vorliegenden Fall lautet sie:

det(J_f (r,\theta,\varphi))=r^2\cdot sin⁡(\theta)


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