Analysis

e Funktion ableiten

In diesem Artikel erklären wir dir, wie du die e Funktion ableiten kannst. Dabei greifen wir auf die Kettenregel und andere Ableitungsregeln zurück und zeigen dir mehrere Beispiele.

Du hast in die Suchmaschine deines Vertrauens Ableitung e Funktion, e^x ableiten, Ableitung e^-x, e hoch x ableiten oder ähnliches eingegeben und bist hier gelandet? Dann bist du genau richtig!

Du möchtest möglichst schnell verstehen, wie du die Exponentialfunktion ableiten kannst? Kein Problem! Schau dir einfach unser Video  dazu an.

Inhaltsübersicht

E Funktion ableiten einfach erklärt

Die Ableitung der e Funktion ist die Funktion selbst.

Das heißt es gilt:

f(x)=e^x \quad \rightarrow \quad f'(x)=e^x.

Das kannst du dir leicht merken.

Kettenregel e Funktion ableiten

Schwieriger wird es erst, wenn du e Funktionen ableiten möchtest, die in ihrem Exponenten kompliziertere Ausdrücke als nur x stehen haben.

Beispiel 1

Ein Beispiel hierfür wäre die Funktion

f(x)=e^{3x^2+2}.

In so einem Fall musst du die Kettenregel  anwenden, um die e Funktion ableiten zu können. Dafür bestimmst du die innere Funktion h(x) und äußere Funktion g(x), berechnest deren Ableitungen h'(x) und g'(x) und setzt sie anschließend in die Formel der Kettenregel

f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)

ein. In diesem Beispiel erhältst du als

  • innere Funktion h und Ableitung h‘: 

h(x)=3x^2+2 \quad \rightarrow \quad h'(x)=6x

  • äußere Funktion g und Ableitung g‘: 

g(x)=e^x \quad \rightarrow \quad g'(x)=e^x.

Zur Bestimmung der inneren Ableitung musstest du die Potenz- und Faktorregel  anwenden.

Diese Ergebnisse in die Formel für die Kettenregel eingesetzt, liefert dir schließlich

f'(x) = g'(h(x))\cdot h'(x) = e^{3x^2+2} \cdot 6x.

Beispiel 2

Sehen wir uns ein weiteres Beispiel zum e Funktion Ableiten an:

f(x)= 2 e^{5x^2}.

In diesem Fall lautet die

  • innere Funktion h und Ableitung h‘:

h(x)=5x^2 \quad \rightarrow \quad h'(x)=10x

  • äußere Funktion g und Ableitung g‘: 

g(x)=2 e^x \quad \rightarrow \quad g'(x)=2e^x.

Setzt du die Funktionen in die Formel der Kettenregel ein, erhältst du schließlich

f'(x)= g'(h(x))\cdot h'(x)

=2e^{5x^2} \cdot 10x

=20x\cdot e^{5x^2}.

Achtung: Sei vorsichtig bei Aufgabenstellungen, in denen du e ableiten sollst. Denn die Lösung wäre Null, da e an sich nur eine Konstante ist. Erst wenn es heißt, bestimme die Ableitung von e hoch x, lautet die richtige Antwort für die Ableitung e^x.

E Funktion ableiten Aufgaben

Neben der Kettenregel kann es auch sein, dass du zum Bestimmen der Ableitung einer e Funktion noch weitere Ableitungsregeln benötigst. Im Folgenden stellen wir dir ein paar solcher Beispiele beziehungsweise Aufgabentypen vor, in denen du die e Funktion ableiten musst:

Ableitungsregel Funktion Ableitung
Summenregel f(x)=g(x)+h(x)

f(x)=e^{3x}+e^x

f'(x)=g'(x)+h'(x)

f'(x)=e^{3x}\cdot 3 + e^x

Differenzregel f(x)=g(x)-h(x)

f(x)=e^x-e^{x^2}

f'(x)=g'(x)-h'(x)

f'(x)=e^x-e^{x^2}\cdot 2x

Produktregel f(x)=g(x)\cdot h(x)

f(x)=e^{-x}\cdot 3x^2

f'(x)=g'(x)\cdot h(x)+g(x)\cdot h'(x)

f'(x)=-e^{-x}\cdot 3x^2 + e^{-x}\cdot 6x

Quotientenregel f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}

f(x)=\frac{e^x}{x^2+1}

f'(x)=\frac{g'(x)\cdot h(x)-g(x)\cdot h'(x)}{[h(x)]^2}

f'(x)=\frac{e^x\cdot (x^2+1)-e^x\cdot 2x}{(x^2+1)^2}

Faktorregel f(x)=a\cdot g(x)

f(x)=4 \cdot e^{x}

f'(x)=a \cdot g'(x)

f'(x)=4 \cdot e^{x}

Potenzregel f(x)=x^n

f(x)=x^4

f'(x)=n \cdot x^{n-1}

f'(x)=4 \cdot x^3

Weitere Funktionen und ihre Ableitungen

Die Ableitungen der folgenden Funktionen solltest du ebenfalls auswendig wissen und anwenden können:

Funktion Ableitung
Wurzel ableiten f(x)=\sqrt{x} f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}
Ableitung Cosinus f(x)=\cos(x) f'(x)=-\sin(x)
Ableitung Sinus f(x)=\sin(x) f'(x)=\cos(x)
Ableitung Tangens f(x)=\tan(x) f'(x)=\frac{1}{\cos^2(x)}
ln ableiten f(x)=\ln(x) f'(x)=\frac{1}{x}

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