Analysis

Totales Differential

In diesem Artikel erklären wir dir kurz, was ein totales Differential einer Funktion f in mehreren Variablen ist. Nach der Definition findest du ein einfaches Beispiel und die Bedeutung des totalen Differentials.

Du möchtest sehen, wie du Schritt für Schritt ein totales Differential berechnest? Dann kannst du dir auch direkt unser Video  anschauen.

Inhaltsübersicht

Totales Differential – Definition

Sei f eine total differenzierbare , reellwertige Funktion in mehreren Variablen, d.h. f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}. Dann kannst du ein totales Differential direkt über die partiellen Ableitungen berechnen:

Totales Differential Formel

df=\sum \limits_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_i} dx_i .

Achtung: Für das totale Differential verwenden wir immer das „normale“ d, während \partial die partiellen Ableitungen bezeichnet!

Totales Differential einfach erklärt

Ein totales Differential verrät dir, wie sich eine Funktion bei kleinen Abweichungen in den einzelnen Variablen verändert. Du kannst es verwenden, wenn du beispielsweise eine Funktion in zwei Variablen x und y gegeben hast und wissen willst, wie sie sich in der Umgebung eines konkreten Punktes p verhält. Ein totales Differential verrät dir, was passiert, wenn du das x „festhältst“ und nur am y-Wert ein bisschen wackelst.

Totales Differential - grafische Darstellung
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Totales Differential – grafische Darstellung

Um ein totales Differential zu bestimmen, betrachten wir immer eine Funktion f in mehreren Variablen, d.h. f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}. Diese Funktion muss  dabei total differenzierbar sein, die bloße Existenz der partiellen Ableitungen reicht noch nicht aus.

Übrigens: Wenn dein Dozent in diesem Kapitel von Differentialformen 1. Ordnung  oder Pfaff’schen Formen spricht, dann meint er damit ein totales Differential. Diese Theorie kann auf Mannigfaltigkeiten übertragen und verallgemeinert werden.

Totales Differential berechnen – Beispiel

Für die Berechnung des totalen Differentials musst du nur die partiellen Ableitungen von f bestimmen. Wir wollen es an einem kurzen Beispiel veranschaulichen. Sei f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}, wobei

\left( x, y\right) \longmapsto x^2y - y\sin(x).

  • Schritt 1: Berechne zuerst alle partiellen Ableitungen:

\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy - y\cos(x)

\frac{\partial f}{\partial y}  = x^2 -\sin(x).

  • Schritt 2: Nun multiplizierst du die partiellen Ableitungen mit den jeweiligen Differentialen und erhältst das totale Differential als Summe davon:

df(x,y) =  \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy = \left(2xy - y\cos(x) \right)dx+ \left(x^2 -\sin(x)\right) dy .

Bedeutung des totalen Differentials

Nun kannst du das totale Differential zwar berechnen, aber was bedeutet es eigentlich genau? Und worin besteht der Unterschied zum Gradienten , Richtungsableitungen oder zur Jacobi-Matrix? Wichtig ist, dass du die Zusammenhänge zu den anderen Begriffen der Differenzierbarkeit verstehst! Deswegen haben wir es dir hier noch einmal zusammengefasst.

Ein totales Differential sagt dir, wie stark sich eine Funktion verändert, wenn du den Punkt p nur ein bisschen in eine Richtung x_i verschiebst. Das ist sehr nützlich und wird in der Physik (z.B. in der Strömungsmechanik ) regelmäßig gebraucht. Dann ist es meistens noch etwas komplizierter, weil die Funktion zusätzlich von der Zeit abhängig ist. Unten findest du diesen Fall ausführlich erklärt.

Totales Differential und Richtungsableitungen

Du kannst das totale Differential df(p) von f im Punkt p \in \mathbb{R}^n als lineare Abbildung auffassen, die jedem Vektor v die Richtungsableitung von f am Punkt p in Richtung v zuordnet. Das wird meistens als totale Ableitung bezeichnet

df(p): \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}

v \mapsto \partial_v f(p) = \frac{d}{dt}f(p+tv) |_{t=0} = \sum \limits_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_i}(p)v_i.

Der Unterschied zur Definition am Anfang besteht darin, dass wir vorhin nur die partiellen Ableitungen angeschaut haben. Diese entsprechen gerade den Richtungsableitungen in Richtung der Koordinatenachsen. Jetzt kannst du ein totales Differential entlang einer beliebigen Richtung betrachten.

Zusammenhang zum Gradienten

Der Gradient  \nabla f unserer obigen Funktion f am Punkt p, ist definiert als (stehender) Vektor

\nabla f(p) =  \sum \limits_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_i}(p) \cdot e_i.

e_i bezeichnet hier den i-ten Einheitsvektor der Standardbasis des \mathbb{R}^n. Im \mathbb{R}^3 sind das die Vektoren

e_1 = \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0\end{matrix} \right), e_2 = \left( \begin{matrix} 0 \\1 \\ 0\end{matrix} \right), e_3 = \left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1\end{matrix} \right).

Der Gradient gibt dir also gerade die Diagonal-Elemente der Jakobi-Matrix . Damit kannst du das totale Differential auch als Skalarprodukt des Gradienten \nabla f mit dem Richtungsvektor v auffassen

df(p) = \nabla f(p) \cdot v = \sum \limits_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_i} (p)v_i .

Physikalische Anwendungsbereiche und Kettenregel

Ein totales Differential ist in verschiedenen Bereichen der Physik äußerst wichtig, nämlich immer dann, wenn du dich für die Änderung von Zustandsgrößen interessierst. Ein Beispiel hierfür ist der thermische Ausdehnungskoeffizient.

Ein anderer Anwendungsbereich ist die Mechanik (insbesondere die Strömungsmechanik). Hier wird beispielsweise die Bahn eines Punktes in der Ebene beschrieben. Oft sind die Ortskoordinaten x und y von f dann zusätzlich von der Zeit t abhängig. Willst du dafür ein totales Differential berechnen, brauchst du zusätzlich die (mehrdimensionale) Kettenregel .

Gegeben sind hier wieder x und y, wobei wir sie dieses mal als zwei Funktionen x = g(t) und y = h(t) interpretieren. Ihre Ableitungen lassen sich mittels Kettenregel bestimmen als dx = g'dt und dy = h'dt. Dann erhalten wir für unser totales Differential

df(x,y) = df(g(t), h(t)) = \frac{\partial f}{\partial x}g'dt +  \frac{\partial f}{\partial y}h'dt = \left( \frac{\partial f}{\partial x}g' +  \frac{\partial f}{\partial y}h' \right) dt.

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