Wendetangente berechnen

Wendetangente einfach erklärt

Betrachtest du eine Funktion f mit einem Maximum, dann hat dort eine Tangente die Steigung 0. Ab dann fängt die Steigung der Funktion an zu sinken. Erst wenn die Wendestelle erreicht ist, fängt die Steigung wieder an zu wachsen. Das heißt, am Wendepunkt zwischen einem Hoch- und Tiefpunkt ist der Punkt mit der geringsten Steigung. Dementsprechend ist eine Wendetangente zwischen einem Tief- und Hochpunkt die Tangente mit der größten Steigung.

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Was ist eine Wendetangente?

Im Allgemeinen ist eine Tangente eine lineare Funktion , die die Funktion f an einem Punkt berührt. Das Besondere an der Wendetangente ist allerdings, dass der Berührpunkt nicht irgendwo ist, sondern am Wendepunkt.

Dadurch, dass die Tangente die Funktion f nicht schneidet, sondern nur berührt, heißt das, dass die Wendetangente und der Funktionsgraph von f an der Wendestelle die gleiche Steigung haben. Deshalb musst du für die Ermittlung der Steigung der Tangente die Wendestelle in die erste Ableitung einsetzen.

Zur Bestimmung der Tangentengleichung verwendest du die Punktsteigungsform der Geradengleichung:

Wendetangente berechnen: Schritt-für-Schritt Anleitung

Nun geben wir dir eine Schritt-für-Schritt Anleitung, wie du eine Wendetangente berechnen kannst.

Schritt 1: Als erstes berechnest du die Wendepunkte

Erinnerung: Wendepunkt berechnen

1. Berechne die ersten drei Ableitungen der Funktion f.
2. Ermittle für welche x-Werte die zweite Ableitung gleich 0 ist.
3. Ist die dritte Ableitung an den gefundenen x-Werten ungleich 0, so handelt es sich um Wendepunkte.
4. Für die genauen Koordinaten setzt du die x-Werte in die Funktion f ein.

Schritt 2: Du setzt deine Wendestelle in die erste Ableitung ein, um so die Steigung zu erhalten.

Schritt 3: Jetzt setzt du die Koordinaten des Wendepunktes und die Steigung in die Punktsteigungsform ein und erhältst so die gesuchte Tangente.

Beispiel

Betrachten wir ein konkretes Beispiel. Angenommen wir haben folgende Funktion gegeben

Schritt 1: Zuallererst benötigen wir die Wendepunkte der Funktion.  Dazu brauchen wir die Ableitungen  

Nach Nullsetzen der zweiten Ableitung erhalten wir für x = 1 einen möglichen Kandidaten, welcher sich auch als Wendestelle herausstellt, da ist.

Da , haben wir bei einen Wendepunkt.

Schritt 2: Als nächstes benötigen wir die Steigung der Wendetangente. Dafür setzen wir die Wendestelle in die erste Ableitung ein und erhalten

Schritt 3: Nun hast du alle Bausteine der Tangente zusammen. Das heißt, du kannst nun alle Ergebnisse in die Punktsteigungsform einsetzen

Damit erhältst du die Gleichung für die Wendetangente

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Wendenormale

Im Folgenden erklären wir dir kurz, was die Wendenormale ist.

Die Wendenormale ist eine Lineare Funktion, die am Wendepunkt senkrecht zur Wendetangente steht. Da sie eine um 90° gedrehte Wendetangente ist, entspricht die Steigung der Wendenormale

Damit lautet die Geradengleichung für die Wendenormale

Beispiel

Betrachte hierfür das obere Beispiel mit und der Steigung . Setzt du die Werte nun in die Geradengleichung der Wendenormale ein, erhältst du

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Wichtige Begriffe der Kurvendiskussion

Bevor wir uns weitere Beispiele ansehen, geben wir dir an dieser Stelle eine kleine Übersicht wichtiger Begriffe, die du im Zusammenhang mit der Kurvendiskussion beherrschen solltest:

• Kurvendiskussion
• Kurvendiskussion Aufgaben
• Ableitung
• Ableitungsregeln
• Extrempunkte berechnen
• Hoch- und Tiefpunkte
• Monotonie
• Wendepunkt berechnen
• Sattelpunkt berechnen  
• y Achsenabschnitt berechnen  
• Symmetrie 
• Punktsymmetrie 
• Achsensymmetrie 

Wendetangente berechnen Aufgaben

Im Folgenden zeigen wir dir zwei verschiedene Aufgaben mit Lösungen zum Thema Wendetangente berechnen.

Aufgabe 1: Wendetangente berechnen e Funktion

Betrachte die Funktion

Berechne die Wendetangente!

Lösung: Aufgabe 1

Zunächst brauchst du die Wendestellen der Funktion f und damit die ersten drei Ableitungen.

Setze die zweite Ableitung gleich 0. Damit bekommst du eine Nullstelle bei . Da

ist, handelt es sich dabei um eine Wendestelle. Es ist . Damit haben wir bei einen Wendepunkt.

Bevor wir die dazugehörige Tangente berechnen können, fehlt uns noch die Steigung, die wir bekommen, wenn wir den x-Wert des Wendepunktes in einsetzen. Wir erhalten somit

Damit können wir die Funktion der Wendetangente berechnen, indem wir und in die Gleichung einsetzen:

Aufgabe 2: Wendetangente einer gebrochenrationalen Funktion

Sei folgende gebrochenrationale Funktion gegeben

Wie lautet die Wendetangente?

Lösung: Aufgabe 2

Mit Hilfe der Quotientenregel und Kettenregel erhalten wir die Ableitungen

Setzen wir nun die zweite Ableitung , so bekommen wir die Nullstelle x = 0. Da

ist und , haben wir einen Wendepunkt bei  .

Um die Geradengleichung der Wendetangente berechnen zu können, benötigen wir die Steigung . Dazu setzen wir den Wert in die erste Ableitung ein und erhalten

Nun können wir den Punkt W und die Steigung in die Punktsteigungsform einsetzen und erhalten somit

Extrempunkte berechnen

Gut gemacht! Du weißt jetzt, wie du die Tangente an einem Wendepunkt berechnen kannst. Damit hast du schon einen wichtigen Teil der Kurvendiskussion geschafft. Damit du alle Aufgaben dazu problemlos lösen kannst, musst du aber unbedingt auch noch wissen, wie Hoch- und Tiefpunkte (Extrempunkte) berechnet werden. Wie das geht, erklären wir dir in unserem Video zum Extrempunkte berechnen. Schau es dir gleich an!