Analysis

Newton Verfahren

In diesem Artikel erklären wir dir wozu du das Newton Verfahren verwendest und wie du der Durchführung vorgehen kannst. Das ganze zeigen wir dir dann auch anhand einiger Beispiele. Darüber hinaus gehen wir kurz auf die Konvergenzeigenschaften des Newton-Verfahrens und das mehrdimensionale Newtonverfahren, ein.

Zu dem Thema haben wir aber auch ein Video%Verweis% für dich erstellt. Dort haben wir das Wichtigste kurz und kompakt zusammengefasst und vor allem die visuellen Darstellungen werden dir das Lernen erleichtern.

Inhaltsübersicht

Newtonverfahren einfach erklärt

Mit dem Newton-Verfahren (oder auch Newton Raphson Verfahren) kann man die Nullstellen einer Funktion näherungsweise bestimmen. Beim Newton Verfahren wird ein Anfangswert in eine Formel und anschließend das erhaltene Ergebnis erneut in die Formel eingesetzt. Führt man das weiter fort, so erhält man im Idealfall ein immer besseres Ergebnis für eine Nullstelle der Funktion, die Berechnung der Nullstelle erfolgt also näherungsweise. Ein solches Verfahren nennt man Iterationsverfahren.

Newton Verfahren Formel

Die Formel für das Newton-Verfahren sieht folgendermaßen aus:

x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}

Die Formel wird Iterationsformel genannt. x_{n+1} ist der neue Wert, der berechnet wird und x_{n} ist der Wert, der im vorherigen Schritt ermittelt wurde.

Newton Verfahren Beispiel

Für die Funktion f(x)=x^3+2x+5 lautet die Iterationsformel folgendermaßen:

x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}=x_n-\frac{x_n^3+2x_n+5}{3x_n^2+2}

Hierfür muss nur die Ableitung%Verweis Differentialquotient% f'(x) der Funktion bestimmt werden und in die allgemeine Formel eingesetzt werden.

Newton Verfahren Aufgaben

Nun wollen wir einmal konkret das Newtonverfahren an folgender Beispielfunktion durchführen:

f(x)=5x^3+8x^2-1

Zunächst bestimmen wir die Ableitung der Funktion.

f'(x)=15x^2+16x

Nun ersetzen wir in der Funktion und der Ableitung das x durch x_n.

f(x_n)=5x_n^3+8x_n^2-1

f'(x_n)=15x_n^2+16x_n

Beides wird jetzt in die Iterationsformel eingesetzt.

x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}=x_n-\frac{5x_n^3+8x_n^2-1}{15x_n^2+16x_n}

In diese Formel können wir nun einen Startwert für x_n einsetzen (den wir x_0 nennen) und erhalten als Ergebnis einen neuen Wert. Diesen setzen wir dann wieder in die Formel ein und führen das ganze so weiter. Irgendwann erhalten wir dann einen Wert, der einer Nullstelle der Funktion sehr nahe kommt. Allerdings sollte man am Anfang darauf achten, welchen Wert x_0 man als erstes in die Formel einsetzt. Setzt man nämlich einen ungünstigen Wert ein, kann es passieren, dass das Verfahren nicht funktioniert und man sich nie einer Nullstelle der Funktion nähert.

Startwert bestimmen

In Aufgaben wird häufig ein Intervall angegeben, auf dem man sich einer Nullstelle mit dem Newton Verfahren nähern soll. Dann kann man als Startwert die Mitte dieses Intervalls wählen.

Wird kein solches Intervall angegeben, kann man eine Wertetabelle anlegen und nach einem Vorzeichenwechsel Ausschau halten. Den Startwert sollte man dann in dem Intervall wählen, in dem der Vorzeichenwechsel stattfindet.

Hier ist eine Wertetabelle für unsere Funktion f(x)=5x^3+8x^2-1 dargestellt.

x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
f(x) -193 -64 -9 2 -1 12 71 206 447

Auf dem betrachteten Bereich gibt es Vorzeichenwechsel auf den folgenden Intervalen:

[-2; -1] ; [-1; 0] ; [0; 1]

Wir wollen in diesem Beispiel die Nullstelle auf dem Intervall [0; 1] nähern und wählen dementsprechend als Startwert den Wert

x_0=0,5.

Diesen setzen wir nun in die Iterationsvorschrift ein und berechnen den Wert x_1:

x_{1}=0,5-\frac{5\cdot 0,5^3+8\cdot 0,5^2-1}{15\cdot 0,5^2+16\cdot 0,5}=0,36170212765

Wir runden in unserem Beispiel auf fünf Nachkommastellen und erhalten den folgenden Wert:

x_1=0,36170

Diesen können wir nun wieder in die Iterationsformel einsetzen und erhalten x_2:

x_{2}=0,36170-\frac{5\cdot 0,36170^3+8\cdot 0,36170^2-1}{15\cdot 0,36170^2+16\cdot 0,36170}=0,32515

x_{2}=0,32515

Auf die selbe Art berechnet sich der nächste Wert x_3:

x_{3}=0,32515-\frac{5\cdot 0,32515^3+8\cdot 0,32515^2-1}{15\cdot 0,32515^2+16\cdot 0,32515}=0,32255

x_{3}=0,32255

Und man erkennt schon, dass sich die zweite Nachkommastelle bereits nicht mehr verändert hat. Wr berechnen den Wert x_4:

x_{4}=0,32255-\frac{5\cdot 0,32255^3+8\cdot 0,32255^2-1}{15\cdot 0,32255^2+16\cdot 0,32255}=0,32254

x_{4}=0,32254

Bei diesem Schritt sind schon die ersten vier Nachkommastellen gleich geblieben. Der Wert x_5 lautet:

x_{5}=0,32254-\frac{5\cdot 0,32254^3+8\cdot 0,32254^2-1}{15\cdot 0,32254^2+16\cdot 0,32254}=0,32254

x_{5}=0,32254

In diesem Schritt hat sich keine der fünf betrachteten Nachkommastellen mehr verändert. Wir haben uns also mit einer Genauigkeit von fünf Nachkommastellen einer Nullstelle der Funktion genähert. Zur Sichertheit kann das Ergebnis noch in die Funktion eingesetzt werden und überprüft werden, ob es sich tatsächlich um eine Nullstelle handelt:

f(0,32254)=0.00003

Newton Verfahren Herleitung

Zur Herleitung der Iterationsvorschrift wollen wir uns die Idee des Newtonverfahrens ansehen. Das Ganze werden wir uns grafisch überlegen. Wenn wir eine Stelle x_0 kennen, an der die Funktion f einen kleinen Wert annimmt, legen wir an dieser Stelle eine Tangente an den Funktionsgraphen von f. Wir linearisieren  also die Funktion um die betrachtete Stelle. Das bedeutet, dass wir eine lineare Näherungsfunktion finden. Die Nullstelle der Tangenten ist dann sogleich unser erster Näherungswert x_1 für die Nullstelle von f.%Grafik%

Um den nächsten Näherungswert x_2 zu erhalten, bilden wir nun die Tangente an den Graphen von f an der Stelle x_1 und betrachten wieder deren Nullstelle. So führen wir das Verfahren immer weiter, bis wir eine ausreichende Genauigkeit der Näherung erhalten haben.

Nun wollen wir zeigen, dass dieses Vorgehen zu der oben beschriebenen Iterationsformel führt. Die Tangente an den Graphen von f an der Stelle x_n besitzt die Steigung f'(x_n) und die Tangentengleichung lautet:

g(x)=f(x_n)+f'(x_n)\cdot (x-x_n)

Nun wollen wir die Nullstelle dieser Tangente bestimmen, um den Wert x_{n+1} zu erhalten. Es muss also gelten:

g(x_{n+1})=0

f(x_n)+f'(x_n)\cdot (x_{n+1}-x_n})=0

Diese Gleichung lösen wir nun nach x_{n+1} auf und erhalten unsere Iterationsvorschrift:

x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}

 

Konvergenz Newton Verfahren

Ob das Newtonverfahren immer zum Ziel führt hängt wie schon erwähnt von der Wahl des Startwertes x_0 ab. Die Folge der berechneten Werte x_0, x_1, x_2, ... konvergiert nur dann mit Sicherheit, wenn der Startpunkt x_0 schon ausreichend nahe an der gesuchten Nullstelle liegt. Die Newtoniteration stellt also ein lokal konvergentes Verfahren dar. Der Bereich um die Nullstelle, innerhalb dessen man den Startwert wählen darf, sodass das Verfahren garantiert konvergiert, wird Konvergenzbereich genannt.

Liegt der Startwert x_0 außerhalb des Konvergenzbereichs, so kann die Folge divergieren, oszillieren oder auch gegen eine andere Nullstelle der Funktion konvergieren.

Gedämpftes Newtonverfahren

Der Konvergenzbereich kann vergrößert werden, indem die Formel des Newton Verfahrens ein wenig angepasst wird:

x_{n+1}=x_n-\omega _k\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}

Der Dämpfungsparameter \omega_k wird dabei im Intervall (0; 1] gewählt. Für die ersten Folgeglieder kann er klein gewählt werden, um die Konvergenz zu sichern. Für höhere Folgenglieder, sollte er größer werden, um eine schnellere Konvergenz zu erhalten.

Newtonverfahren mehrdimensional

Auch für mehrdimensionale Funktionen f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n können mithilfe des Newton-Verfahrens Nullstellen bestimmt werden. Die Linearisierung, also die Taylorentwicklung  1. Ordnung im Punkt x_n\in\mathbb{R}^n lautet dann:

g(x)=f(x_n)+J_f(x_n)\cdot (x-x_n)

Hierbei ist J_f(x_n) die Jacobi-Matrix  der Funktion f an der Stelle x_n. Sie enthält sämtliche partiellen Ableitungen  der Funktion f. Die Suche nach der Nullstelle x_{n+1} dieser Linearisierung führt zur Newtoniteration:

g(x_{n+1})=f(x_n)+J_f(x_n)\cdot (x_{n+1}-x_n)=0

x_{n+1}=x_n-f(x_n)\cdot \left(J_f(x_n)\right)^{-1}

In Kombination mit der gaußschen Fehlerquadratmethode ergibt sich dann das Gauß Newton Verfahren.


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