Analysis

Ableitung Cosinus

In diesem Artikel zeigen wir dir die Cosinus Ableitung. Dabei erklären wir kurz die Kettenregel und rechnen im Anschluss viele Beispiele

Falls du unbedingt alles Wichtige zur Cos Ableitung erfahren möchtest, aber nur wenig Zeit hast, dann schau dir einfach unser Video  dazu an. 

Inhaltsübersicht

Ableitung Cos einfach erklärt

Die Ableitung des Cosinus ist sehr einfach. Leitest du den Cosinus ab, dann erhältst du den minus Sinus:

Ableitung Cosinus

f(x)=\cos(x) \quad \rightarrow \quad f'(x)= -\sin(x).

Ableitung Cosinus Graph, Kosinus, Cos ableiten
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Ableitung Cosinus – Graph

Um cos(x) ableiten zu können, musst du dir also nur diesen Zusammenhang merken.

Cos Ableitung mit Kettenregel

Aufwändiger wird es, wenn anstatt nur x ein komplizierterer Ausdruck in cos x steht, wie zum Beispiel bei f(x) = \cos(4x^2+2x), und du davon die Ableitung cos berechnen möchtest. In so einem Fall musst du für die Ableitung von cos die Kettenregel  anwenden.

Das heißt du identifizierst die innere Funktion h(x) und die äußere Funktion g(x) der verketteten Funktion 

f(x)=g(h(x)). 

Anschließend bestimmst du deren Ableitungen h'(x) und g'(x) und setzt sie zusammen mit h(x) in die Formel der Kettenregel ein

f'(x)=g'(h(x)) \cdot h'(x).

Beispiel 1

Um die Ableitung cos der erwähnten Funktion 

f(x)= \cos(4x^2+2x) 

zu berechnen, bestimmst du also 

  • innere Funktion h(x) und Ableitung h'(x): 

h(x)= 4x^2+2x \quad \rightarrow \quad h'(x)= 8x+2

  • äußere Funktion g(x) und Ableitung g'(x):

g(x)=\cos(x) \quad \rightarrow \quad g'(x)=-\sin(x).

Dabei hast du für die innere Ableitung die Potenz- und Faktorregel  angewandt.  

Nun setzt du die Ableitungen h'(x) und g'(x) zusammen mit h(x) in die Formel der Kettenregel ein: 

f'(x)=g'(h(x)) \cdot h'(x)

                    = -\sin(h(x)) \cdot h'(x)

                                    =-\sin(4x^2+2x)\cdot (8x+2).

Damit hast du bereits den cos abgeleitet. 

Beispiel 2

Sehen wir uns ein weiteres Beispiel zum cos Ableiten an, nämlich 

f(x)=5\cos^2(x)+3

             =5(\cos(x))^2+3

Für die Berechnung der \cos^2 Ableitung musst du ebenfalls die Kettenregel anwenden. Das bedeutet, du bestimmst erneut: 

  • innere Funktion h(x) und Ableitung h'(x): 

h(x)= \cos(x) \quad \rightarrow \quad h'(x)= -\sin(x)

  • äußere Funktion g(x) und Ableitung g'(x): 

g(x)=5x^2+3 \quad \rightarrow \quad g'(x)=10x.

Setzt du deine Ergebnisse nun wieder in die Formel der Kettenregel ein, liefert dir das: 

f'(x)= g'(h(x)) \cdot h'(x)

                   =10\cos(x) \cdot (-\sin(x))

                =-10\cos(x) \cdot \sin(x).

Ableitung cos Beispiele

Bisher hast du, wie zum Beispiel beim \cos^2 Ableiten, lediglich die Kettenregel und die Potenz- und Faktorregel verwendet. Allerdings kann es auch vorkommen, dass du noch weitere Ableitungsregeln benötigst, um eine Funktion mit Cosinus ableiten zu können. Dafür haben wir dir in der folgenden Tabelle eine Reihe solcher Beispiele zur Ableitung cos zusammengefasst: 

Ableitungsregel Funktion Ableitung
Summenregel f(x)=g(x)+h(x)

 

f(x)=\cos(3x)+\cos(x)

f'(x)=g'(x)+h'(x)

 

f'(x)=-3\sin(3x)-\sin(x) 

Differenzregel f(x)=g(x)-h(x)

 

f(x)=\cos(x)-\cos(x^2)

f'(x)=g'(x)-h'(x)

 

f'(x)=-\sin(x)+\sin(x^2)\cdot 2x

Produktregel f(x)=g(x)\cdot h(x)

 

f(x)=\cos(-x)\cdot 3x^2

f'(x)=g'(x)\cdot h(x)+g(x)\cdot h'(x)

 

f'(x)=\sin(-x)\cdot 3x^2 + \cos(-x) \cdot 6x

Quotientenregel f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}

 

f(x)=\frac{\cos(x)}{x^2+1}

f'(x)=\frac{g'(x)\cdot h(x)-g(x)\cdot h'(x)}{[h(x)]^2}

 

f'(x)=\frac{-\sin(x)\cdot (x^2+1)- \cos(x) \cdot 2x}{(x^2+1)^2}

Faktorregel f(x)=a\cdot g(x)

 

f(x)=4 \cdot \cos(x)

f'(x)=a \cdot g'(x)

 

f'(x)=-4 \cdot \sin(x)

Potenzregel f(x)=x^n

 

f(x)=\cos^4(x)

f'(x)=n \cdot x^{n-1}

 

f'(x)=4 \cdot \cos^3(x) \cdot (-\sin(x))

Weitere Funktionen und ihre Ableitungen

Neben der Ableitung cos x gibt es noch einige andere Funktionen, deren Ableitungen du dir ebenfalls gut einprägen solltest: 

  Funktion Ableitung
Ableitung Sinus f(x)=\sin(x) f'(x)=\cos(x)
Ableitung Tangens f(x)=\tan(x) f'(x)=\frac{1}{\cos^2(x)}
Wurzel ableiten f(x)=\sqrt{x} f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}
ln ableiten f(x)=\ln(x) f'(x)=\frac{1}{x}
e Funktion ableiten f(x)=e^x f'(x)=e^x

Ableitung cos Herleitung

Anstatt dir die Ableitung cos x zu merken, kannst du sie dir auch herleiten. Dafür stellst du die Ableitung von 

f(x)= \cos(x)

mit der h- Methode  als Differentialquotient dar: 

f'(x)= \lim \limits_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}

=\lim \limits_{h\to 0} \frac{\cos(x+h)-\cos(x)}{h}.

Mit dem Additionstheorem  

\cos(x+h)= \cos(x)\cdot \cos(h) - \sin(x)\cdot \sin(h)

kannst du nun den Zähler deines Bruchs folgendermaßen umschreiben:

f'(x)=\lim \limits_{h\to 0} \frac{\cos(x)\cdot \cos(h) - \sin(x)\cdot \sin(h)-\cos(x)}{h}.

Als nächstes klammerst du im Zähler \cos(x) aus und erhältst somit

f'(x)=\lim \limits_{h\to 0} \frac{\cos(x)\cdot (\cos(h) - 1)- \sin(x)\cdot \sin(h)}{h}.

Nun spaltest du den Bruch auf, sodass zwei separate Grenzwerte bzgl. h \to 0 entstehen: 

f'(x)=\lim \limits_{h\to 0} \frac{\cos(x)\cdot (\cos(h) - 1)}{h} - \lim \limits_{h\to 0} \frac{\sin(x)\cdot \sin(h)}{h}.

Da weder \cos(x), noch \sin(x) von h abhängt, kannst du den Ausdruck in beiden Fällen aus dem Grenzwert ziehen und erhältst so 

f'(x)= \cos(x) \cdot \lim \limits_{h\to 0} \frac{ \cos(h) - 1}{h} - \sin(x) \cdot \lim \limits_{h\to 0} \frac{ \sin(h)}{h}.

In beide Grenzwerten steht nun beim Erreichen der Grenze h=0 der unbestimmte Ausdruck \frac{0}{0}. Denn \cos(0)-1=1-1=0=\sin(0).

In solchen Fällen kann die Regel von l’Hospital  verwendet werden, um den Grenzwert zu bestimmen. Sie sagt aus, dass 

\lim \limits_{h\to 0} \frac{u(h)}{v(h)} = \lim \limits_{h\to 0} \frac{u'(h)}{v'(h)}.

Das liefert dir somit die beiden Grenzwerte: 

\lim \limits_{h\to 0} \frac{ \cos(h) - 1}{h} = \lim \limits_{h\to 0} \frac{ -\sin(h)}{1} = -\sin(0) =0

\lim \limits_{h\to 0} \frac{ \sin(h)}{h} = \lim \limits_{h\to 0} \frac{ \cos(h)}{1}= \cos(0) = 1.

Jetzt setzt du diese Ergebnisse in deine obige Funktion ein und erhältst damit 

f'(x)= \cos(x) \cdot \lim \limits_{h\to 0} \frac{ \cos(h) - 1}{h} - \sin(x) \cdot \lim \limits_{h\to 0} \frac{ \sin(h)}{h}

= \cos(x) \cdot 0 - \sin(x) \cdot 1

= -\sin(x).

Damit hast du schließlich die Ableitung cos hergeleitet. 

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