Höhere Mathematik

Gradient berechnen

Inhaltsübersicht

Funktionen in der mehrdimensionalen Analysis können von verschiedenster Form sein. Funktionen, die aus dem \mathbb{R}^n in den \mathbb{R}^m abbilden, werden als Vektorfeld bezeichnet. Bilden sie hingegen von dem \mathbb{R}^n in die Menge der reellen Zahlen \mathbb{R} ab, heißen sie Skalarfeld. Für ein solches Skalarfeld ist der Gradient in der Mathematik definiert.

Definition: Gradient

Sei U\subset\mathbb{R}^n eine offene Menge und die Funktion f:U\longrightarrow\mathbb{R} partiell differenzierbar. Dann ist der Gradient von f an der Stelle x_0\in U der folgende Vektor:

grad(f)\left(x_0\right) = \left( \begin{array}{c}  \frac{\partial f}{\partial x_1}\left(x_0\right)\\\ \vdots\\\ \frac{\partial f}{\partial x_n}\left(x_0\right)\end{array}\right)

 

Er ist also der Spaltenvektor, dessen Einträge die ersten partiellen Ableitungen der Funktion f nach den n verschiedenen Variablen an der Stelle x_0 sind.

Schreibweise – Nabla-Operator

Häufig wird der Gradient einer Funktion auch mithilfe des Nabla-Operators notiert. Der Nabla-Operator ist folgendermaßen definiert:

\nabla = \left( \begin{array}{c}  \frac{\partial}{\partial x_1} \\\  \vdots \\\ \frac{\partial}{\partial x_n} \end{array}\right)

Wird der Nabla-Operator auf eine Funktion angewandt, so ergibt das den Gradienten der Funktion:

grad(f)\left(x_0\right)=\nabla f\left(x_0\right) = \left( \begin{array}{c}  \frac{\partial f}{\partial x_1}\left(x_0\right) \\\  \vdots \\\  \frac{\partial f}{\partial x_n}\left(x_0\right) \end{array}\right)

Häufig wird demzufolge der Gradient von f an der Stelle x_0 auch als Nabla f von x_0 bezeichnet.

Bedeutung des Gradienten

Dem Gradienten einer Funktion kommen mehrere Bedeutungen zu, die allerdings eng miteinander verknüpft sind.

Gradient und Totale Ableitung

Zunächst einmal fällt auf, dass der Gradient \nabla f\left(x_0\right) der Funktion f:\mathbb{R}^n\supset\ U\longrightarrow\mathbb{R} als Spaltenvektor dieselben Einträge besitzt wie die totale Ableitung Df\left(x_0\right)\ (bzw. die Jacobi-Matrix J_f\left(x_0\right) von f. Diese ist allerdings streng genommen ein Zeilenvektor und so ist der Gradient \nabla f\left(x_0\right) gerade Transponierte der totalen Ableitung Df\left(x_0\right):

\mathrm{\nabla\ f}\left(x_0\right)=\left(Df\left(x_0\right)\right)^T

Gradientenvektor als Richtung des stärksten Anstiegs

Der Gradient der Funktion f:\mathbb{R}^n\supset\ U\longrightarrow\mathbb{R} an der Stelle x_0 gibt außerdem die Richtung an, in welche der Funktionswert von f ausgehend vom Punkt x_0 am stärksten ansteigt.

Gradientenvektor als Richtung des steilsten Anstiegs (rote Pfeile) einer Funktion (blauer Graph)

Dies lässt sich mithilfe des Zusammenhangs zwischen Gradienten und den Richtungsableitungen zeigen, welcher im Folgenden erläutert werden soll.

Gradient und Richtungsableitungen

Die Richtungsableitung der Funktion f:\mathbb{R}^n\supset\ U\longrightarrow\mathbb{R} an der Stelle x_0\in\ U in die Richtung  v{\in\mathbb{R}}^n mit \parallel\ v\parallel=1 ist definiert als:

D_vf\left(x\right):=\lim\limits_{t\rightarrow0}{\frac{f\left(x_0+tv\right)-f\left(x_0\right)}{t}}

Es lässt sich folgender Zusammenhang zwischen Gradienten und den Richtungsableitungen zeigen:

Ist die Funktion f:\mathbb{R}^n\supset\ U\longrightarrow\mathbb{R} stetig differenzierbar, so gilt für alle x_0\in\ U und jeden Vektor v{\in\mathbb{R}}^n mit \parallel\ v\parallel=1:

D_vf\left(x\right)=<v,\ \mathrm{\nabla\ f}\left(x_0\right)>

Die Richtungsableitung von f an der Stelle x_0 in Richtung v lässt sich also als Skalarprodukt von v und dem Gradienten \mathrm{\nabla\ f}\left(x_0\right) von f an der Stelle x_0 berechnen.

Um die Richtung v_{max} zu erhalten, in die die Ableitung am größten ist, muss also dieses Skalarprodukt maximal sein. Das ist genau dann der Fall, wenn v parallel zum Gradienten \mathrm{\nabla\ f}\left(x_0\right) ist. Das bedeutet gerade, dass der Gradient in die Richtung des maximalen Anstiegs zeigt.

Beispiel 1 – Gradient berechnen

Wie die Berechnung des Gradienten einer Funktion konkret aussieht, soll anhand der Funktion

f\left(x,y\right)=e^{5x}+sin\left(2y\right)

gezeigt werden. Der Gradient soll hierbei allgemein an der Stelle \left(x,y\right) bestimmt werden. Für die Einträge des Gradienten müssen also die partiellen Ableitungen der Funktion f an dieser Stelle berechnet werden. Diese lauten wie folgt:

\frac{\partial f}{\partial x}\left(x,\ y\right)={5e}^{5x}

\frac{\partial f}{\partial y}\left(x,\ y\right)= 2cos(2y)

Das bedeutet, dass der Gradient folgendermaßen aussieht:

grad (f)\left(x,y\right)=\nabla f\left(x,y\right) = \left( \begin{array}{c} \frac{\partial f}{\partial x}\left(x,\ y\right) \\ \frac{\partial f}{\partial y}\left(x,\ y\right)\\ \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} {5e}^{5x}  \\ 2cos(2y)    \end{array}\right)

Anhand dieses Beispiels soll nochmal die Bedeutung des Gradienten verdeutlicht werden. Der Graph der betrachteten Funktion f kann nämlich als dreidimensional Hügellandschaft \left(x,\ y,\ z\right)=\left(x,\ y,\ f\left(x,y\right)\right) interpretiert werden.

Veranschaulichung des Gradientenvektors mit einer Beispielfunktion

Hier wird ein Graph der Funktion f\left(x,y\right)=e^{5x}+sin\left(2y\right) (blau) mit Veranschaulichung des Gradientenvektors (rot) an der Stelle \left(x,\ y\right)=\left(0,\ 0\right) gezeigt.

Wird dann der Gradient beispielsweise an der Stelle \left(x,\ y\right)=\left(0,\ 0\right) betrachtet, so gilt:

grad(f)\left(0,\ 0\right)= \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \\ \end{array}\right)

Das bedeutet, dass vom Ursprung \left(x,\ y\right)=\left(0,\ 0\right) ausgehend die Hügellandschaft in Richtung des Vektors \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2  \end{array}\right) am stärksten ansteigt.

Beispiel 2 – Gradient berechnen

Nun soll ein weiteres Beispiel aus der Praxis betrachtet werden. Es soll das elektrische Potential \phi im Inneren eines Plattenkondensators betrachtet werden. Die beiden Platten sollen dabei die Fläche  A besitzen un die eine Platte in der y-z-Ebene liegen, während die andere in x-Richtung dazu verschoben ist. Außerdem soll der Kondensator die Ladung Q tragen. Für das elektrische Potential \phi im Inneren der Platten gilt dann:

\phi\left(x,y,z\right)=\frac{Q\cdot x}{\varepsilon_0\cdot A}

Der Gradient berechnet sich zu:

grad(\phi)\left(x,y,z\right)\ =\nabla\phi\left(x,y,z\right)\ =\left( \begin{array}{c}  \frac{Q}{\varepsilon_0A} \\\ 0 \\\ 0 \end{array}\right)

Das bedeutet, dass das elektrische Potential des Plattenkondensators in x-Richtung am stärksten ansteigt. Da die elektrische Feldstärke \vec{E} der negative Gradient des elektrischen Potentials ist, zeigt dieses im betrachteten Plattenkondensator in negative x-Richtung.


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