Wie erkenne ich, ob ich die Kettenregel brauche?

Du brauchst die Kettenregel, wenn eine Funktion in einer anderen Funktion „drinsteckt“ (Verkettung). Das erkennst du daran, dass im Argument oder Exponenten nicht nur steht, sondern ein ganzer Ausdruck. Beispiel: Bei oder musst du zusätzlich die innere Ableitung mitmultiplizieren.

Welche Fehler passieren oft beim Ableiten von Wurzeln?

Häufige Fehler beim Ableiten von Wurzeln sind ein falscher Exponent und ein vergessener Faktor . Schreibe zuerst als und leite dann mit der Potenzregel ab. Beispiel: Aus wird , nicht .

Wann muss ich beim Ableiten von Sinus und Cosinus ein Minus setzen?

Ein Minus brauchst du genau dann, wenn du den Cosinus ableitest: . Beim Sinus entsteht kein Minus, denn . Beispiel: Aus wird mit Kettenregel , aber aus wird .

Wie leite ich Tangens ab, wenn im Inneren nicht nur x steht?

Wenn im Tangens innen ein Ausdruck steht, leitest du zu ab. Das ist die Tangens-Ableitung kombiniert mit der Kettenregel, weil von abhängt. Beispiel: Für gilt .

Warum darf ich bei ln von x² nicht einfach 2 mal ln x ableiten?

Du darfst nicht einfach wie behandeln, weil nur für gleich ist. Für alle gilt nämlich , und das führt korrekt zu . Beispiel: Bei ist gar nicht definiert, aber schon.

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Ableitung bestimmter Funktionen

Wichtige Inhalte in diesem Video

Wurzelfunktion ableiten

(00:18)

Trigonometrischer Funktionen ableiten

(01:25)

Ableitung e-Funktion und ln-Funktion

(03:17)

Du möchtest schnell verstehen, wie du wichtige Funktionen ableiten kannst? Dann ist unser Video genau das Richtige für dich!

Die Themen Ableitung und Ableitungsregeln erklären wir dir ausführlich in extra Videos!

Inhaltsübersicht

Übersicht Ableitung wichtiger Funktionen

	Funktion	Ableitung
Wurzel ableiten	$f(x)=\sqrt{x}$	$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$
Cosinus ableiten	$f(x)=\cos(x)$	$f'(x)=-\sin(x)$
Sinus ableiten	$f(x)=\sin(x)$	$f'(x)=\cos(x)$
Tangens ableiten	$f(x)=\tan(x)$	$f'(x)=\frac{1}{\cos^2(x)}$
e Funktion ableiten
ln ableiten	$f(x)=\ln(x)$	$f'(x)=\frac{1}{x}$

Wurzelfunktion ableiten

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(00:18)

Im folgenden zeigen wir dir, wie du eine Wurzelfunktion ableiten kannst.

Die Wurzelfunktion

$f(x) = \sqrt[n]{x}$

kannst du auch schreiben als

$f(x) = x^{\frac{1}{n}}$ .

Damit haben wir die Form „Zahl mal x hoch eine andere Zahl“. Eine solche Form kannst du durch Verwendung der Regel „Exponent vor das x ziehen und dann den Exponenten bei x um eins reduzieren“ ableiten.

Ableitung Wurzelfunktion

Das Ableiten der Wurzelfunktion $f(x) = \sqrt[n]{x}$ ergibt

$f'(x) = \frac{1}{n} \cdot x^{\frac{1}{n} - 1}$ .

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Beispiel

Betrachte die Wurzelfunktion

$f(x) = \sqrt{x}= x^{\frac{1}{2}}.$

Das Ableiten ergibt

$f'(x) = \frac{1}{2} \cdot x^{\frac{1}{2} - 1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{x}}$ .

Trigonometrischer Funktionen ableiten

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(01:25)

Nun zeigen wir dir die Ableitungen der trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens.

Ableitung Sinus

Für den Sinus

$f(x) = \sin(x)$

ergibt das Ableiten

$f'(x) = \cos(x)$ .

Diese Ableitung musst du dir gut einprägen. In unserem Artikel über das Sinus ableiten , zeigen wir dir mehrere Beispiele dazu.

Ableitung Cosinus

Für den Cosinus

$f(x) = \cos(x)$

ergibt das Ableiten

$f'(x) = -\sin(x)$ .

Beachte, dass hier ein Minuszeichen vorkommt. Beim Ableiten vom Sinus hingegen kommt kein Minuszeichen vor. Auch zum Ableiten des Kosinus haben wir einen ausführlichen Artikel für dich vorbereitet mit Erklärungen und mehreren Beispielen.

Ableitung Tangens

Für den Tangens

$f(x) = \tan(x) = \frac{\sin(x)}{cos(x)}$

ergibt das Ableiten

$f'(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} = 1 + \tan^2(x)$ .

Du möchtest mehr über die Ableitung des Tangens erfahren und mehrere Beispiele durchrechnen? Dann schau dir unser Video dazu an!

Ableitung e-Funktion und ln-Funktion

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(03:17)

Schauen wir uns nun einmal die Ableitung der e Funktion und der ln Funktion an.

e Funktion ableiten

Für die e-Funktion

$f(x) = e^{x}$

ergibt das Ableiten

$f'(x) = e^{x}$ .

Beachte, dass die Ableitung gerade wieder die Funktion selbst ist. Das Ableiten der e-Funktion ergibt also wieder die e-Funktion. Erst wenn im Exponenten der e Funktion ein anderer Ausdruck als nur x steht, wird das Ableiten komplizierter. Dann musst du die Kettenregel anwenden.

Beispiel

Ein Beispiel für das Ableiten einer komplizierteren e Funktion wäre

$f(x)=e^{3x^2+4} \quad \rightarrow \quad f'(x)=e^{3x^2+4}\cdot 6x.$

Wie das genau funktioniert und viele Beispiele zum Ableiten der e Funktion findest du in einem eigenen Beitrag .

ln Funktion ableiten

Für die ln-Funktion

$f(x) = \ln(x)$

ergibt das Ableiten

$f'(x) = \frac{1}{x}$ .

Falls du einen Logarithmus ableiten möchtest, der nicht nur x im Argument stehen hat, benötigst du zusätzlich die Kettenregel.

Ableitung bestimmter Funktionen — häufigste Fragen

(ausklappen)

Wie erkenne ich, ob ich die Kettenregel brauche?

Du brauchst die Kettenregel, wenn eine Funktion in einer anderen Funktion „drinsteckt“ (Verkettung). Das erkennst du daran, dass im Argument oder Exponenten nicht nur steht, sondern ein ganzer Ausdruck. Beispiel: Bei $e^{3x^2+4}$ oder $\ln(x^2)$ musst du zusätzlich die innere Ableitung mitmultiplizieren.
Welche Fehler passieren oft beim Ableiten von Wurzeln?

Häufige Fehler beim Ableiten von Wurzeln sind ein falscher Exponent und ein vergessener Faktor $\frac{1}{2}$ . Schreibe $\sqrt{x}$ zuerst als $x^{\frac{1}{2}}$ und leite dann mit der Potenzregel ab. Beispiel: Aus $\sqrt{x}$ wird $\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ , nicht $\frac{1}{\sqrt{x}}$ .
Wann muss ich beim Ableiten von Sinus und Cosinus ein Minus setzen?

Ein Minus brauchst du genau dann, wenn du den Cosinus ableitest: $\frac{d}{dx}\cos(x)=-\sin(x)$ . Beim Sinus entsteht kein Minus, denn $\frac{d}{dx}\sin(x)=\cos(x)$ . Beispiel: Aus $\cos(5x)$ wird mit Kettenregel $-\sin(5x)\cdot 5$ , aber aus $\sin(5x)$ wird $\cos(5x)\cdot 5$ .
Wie leite ich Tangens ab, wenn im Inneren nicht nur x steht?

Wenn im Tangens innen ein Ausdruck steht, leitest du $\tan(u)$ zu $\frac{1}{\cos^2(u)}\cdot u'$ ab. Das ist die Tangens-Ableitung kombiniert mit der Kettenregel, weil von abhängt. Beispiel: Für $\tan(3x^2)$ gilt $f'(x)=\frac{1}{\cos^2(3x^2)}\cdot 6x$ .
Warum darf ich bei ln von x² nicht einfach 2 mal ln x ableiten?

Du darfst $\ln(x^2)$ nicht einfach wie $2\ln(x)$ behandeln, weil $2\ln(x)$ nur für gleich $\ln(x^2)$ ist. Für alle $x\neq 0$ gilt nämlich $\ln(x^2)=2\ln(|x|)$ , und das führt korrekt zu $f'(x)=\frac{2}{x}$ . Beispiel: Bei ist $\ln(x)$ gar nicht definiert, $\ln(x^2)$ aber schon.