Was bedeutet Monotonie bei einer Funktion im Intervall?

Monotonie im Intervall bedeutet, dass der Graph einer Funktion in diesem Abschnitt entweder steigt, fällt oder konstant bleibt. Damit beschreibst du also den Verlauf der Funktion auf einem bestimmten x-Bereich und ordnest ihn als (streng) monoton steigend, (streng) monoton fallend oder konstant ein.

Wie erkenne ich streng monoton steigend am Graphen?

Streng monoton steigend erkennst du am Graphen daran, dass er im ganzen betrachteten Intervall durchgehend nach oben verläuft. Das heißt: Wenn größer wird, wird auch immer größer, also .

Was ist der Unterschied zwischen monoton steigend und streng monoton steigend?

Monoton steigend heißt, dass die Funktionswerte bei größerem größer werden oder gleich bleiben, also . Streng monoton steigend heißt dagegen, dass die Funktionswerte immer wirklich größer werden, also .

Wie erkenne ich streng monoton fallend an der ersten Ableitung?

Streng monoton fallend erkennst du an der ersten Ableitung daran, dass sie im ganzen Intervall immer negativ ist. Dann gilt für alle Stellen: , also hat der Graph überall eine Steigung unter 0 und fällt durchgehend.

Wann ist eine Funktion im Intervall konstant?

Eine Funktion ist im Intervall konstant, wenn sie dort weder steigt noch fällt und jeder -Wert denselben Funktionswert hat. Dann ist die Steigung überall 0 und damit auch die erste Ableitung, also . Ein Beispiel ist die konstante Funktion .

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Monoton steigend und fallend

Wichtige Inhalte in diesem Video

Monotonie einer Funktion einfach erklärt

(00:15)

Streng monoton steigend

(00:59)

Monoton steigend

(01:30)

Streng monoton fallend

(02:03)

Monoton fallend

(02:39)

Du fragst dich, was Monotonie ist und wie du sie erkennen kannst? In diesem Beitrag und im Video zeigen wir dir, wie Monotonie Funktionen beschreibt und was streng monoton steigend und fallend überhaupt bedeutet.

Inhaltsübersicht

Monotonie einer Funktion einfach erklärt

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(00:15)

Die Monotonie beschreibt den Verlauf einer Funktion. Das Monotonieverhalten sagt dabei aus, ob der Graph der Funktion in einem Intervall steigt, fällt oder konstant bleibt. Du unterscheidest dabei zwischen vier verschiedenen Fällen.

Graph verläuft nach oben:

streng monoton steigend (I) oder
monoton steigend (II).

Graph verläuft nach unten:

streng monoton fallend (III) oder
monoton fallend (IV).

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Monotonie einer Funktion

Wie du die einzelnen Fälle voneinander unterscheiden kannst, sehen wir uns jetzt an.

Streng monoton steigend

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(00:59)

Wenn eine Funktion in einem betrachteten Intervall durchgehend nach oben geht, bezeichnest du sie als streng monoton steigend. Die Steigung einer streng monotonen Funktion muss also immer größer als 0 sein.

Eine Funktion f ist also streng monoton steigend, wenn bei einer Erhöhung des x-Wertes auch der Funktionswert f(x) größer wird.
Es gilt: $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$

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Die erste Ableitung $f^{\prime}(x)$ ist im Fall einer streng monotonen Steigung immer positiv, egal welchen Punkt du im Intervall untersuchst. Es gilt für alle $f^{\prime}(x)$ : $f^{\prime}(x) > 0$

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Monoton steigend

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(01:30)

Es ist jedoch nicht jede Funktion mit steigendem Graphen auch streng monoton steigend. Eine Funktion ist in einem Intervall nur monoton steigend, wenn sie grundsätzlich steigt, aber an manchen Stellen konstant bleibt. Jeder Punkt der Funktion muss also eine Steigung von 0 oder größer haben.

Eine Funktion f ist also monoton steigend, wenn bei einer Erhöhung des x-Wertes auch der Funktionswert f(x) größer wird oder gleich bleibt.
Es gilt: $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \leq f(x_2)$

Die erste Ableitung $f^{\prime}(x)$ ist in diesem Fall immer mindestens 0. Steigt der Graph an, ist die Ableitung positiv. Ist er konstant, ist die Ableitung an diesem Punkt gleich 0. Es gilt für alle $f^{\prime}(x)$ : $f^{\prime}(x) \geq 0$

Streng monoton fallend

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(02:03)

Eine Funktion gilt in einem Intervall als streng monoton fallend, wenn sie in diesem Abschnitt durchgehend fällt. Das bedeutet, dass der Graph der Funktion an jedem Punkt eine Steigung unter 0 hat.

Eine Funktion f ist also streng monoton fallend, wenn bei einer Erhöhung des x-Wertes der Funktionswert f(x) kleiner wird.
Es gilt: $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$

Da hier auch eine strenge Monotonie vorliegt, darf die erste Ableitung $f^{\prime}(x)$ an keinem Punkt 0 sein. Stattdessen ist sie immer negativ. Es gilt für alle $f^{\prime}(x)$ : $f^{\prime}(x) < 0$

Monoton fallend

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(02:39)

Es gibt aber auch Funktionen, die in einem Intervall sowohl fallen als auch konstant bleiben und daher als monoton fallend bezeichnet werden. Der Graph hat im ausgewählten Intervall also eine Steigung von 0 oder weniger.

Eine Funktion f ist also monoton fallend, wenn bei einer Erhöhung des x-Wertes der Funktionswert f(x) kleiner wird oder gleich bleibt.
Es gilt: $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \geq f(x_2)$

Wenn eine Funktion monoton fallend verläuft, ist die erste Ableitung $f^{\prime}(x)$ an konstanten Punkten 0 und sonst immer negativ. Es gilt für alle $f^{\prime}(x)$ : $f^{\prime}(x) \leq 0$

Konstante Funktionen

Wenn eine Funktion in einem Intervall weder steigt noch fällt, wird sie auch konstante Funktion genannt. Da jeder x-Wert denselben Funktionswert f(x) annimmt, ist die erste Ableitung und damit auch die Steigung immer 0. Das ist zum Beispiel bei der Funktion f(x) = 4 der Fall.

Monoton steigend und fallend — häufigste Fragen

(ausklappen)

Was bedeutet Monotonie bei einer Funktion im Intervall?

Monotonie im Intervall bedeutet, dass der Graph einer Funktion in diesem Abschnitt entweder steigt, fällt oder konstant bleibt. Damit beschreibst du also den Verlauf der Funktion auf einem bestimmten x-Bereich und ordnest ihn als (streng) monoton steigend, (streng) monoton fallend oder konstant ein.
Wie erkenne ich streng monoton steigend am Graphen?

Streng monoton steigend erkennst du am Graphen daran, dass er im ganzen betrachteten Intervall durchgehend nach oben verläuft. Das heißt: Wenn größer wird, wird auch immer größer, also $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$ .
Was ist der Unterschied zwischen monoton steigend und streng monoton steigend?

Monoton steigend heißt, dass die Funktionswerte bei größerem größer werden oder gleich bleiben, also $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \leq f(x_2)$ . Streng monoton steigend heißt dagegen, dass die Funktionswerte immer wirklich größer werden, also $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$ .
Wie erkenne ich streng monoton fallend an der ersten Ableitung?

Streng monoton fallend erkennst du an der ersten Ableitung daran, dass sie im ganzen Intervall immer negativ ist. Dann gilt für alle Stellen: , also hat der Graph überall eine Steigung unter 0 und fällt durchgehend.
Wann ist eine Funktion im Intervall konstant?

Eine Funktion ist im Intervall konstant, wenn sie dort weder steigt noch fällt und jeder -Wert denselben Funktionswert hat. Dann ist die Steigung überall 0 und damit auch die erste Ableitung, also . Ein Beispiel ist die konstante Funktion .

Monotonieverhalten bestimmen

Sehr gut! Jetzt weißt du über Monotonie und die unterschiedlichen Monotoniearten Bescheid. Wie du das Monotonieverhalten rechnerisch bestimmen kannst, zeigen wir dir hier.